Mecánica de fluidos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 8 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Fuerza hidrostática

Presión a una profundidad: p = ρgh
Fuerza sobre una pared vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de presiones: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rectángulo: I_c = bH³/12

Continuidad y Bernoulli

Continuidad: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Caudal: Q = A·v
Área del círculo: A = πd²/4

Fricción en tuberías y pérdida de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Régimen de flujo: laminar por debajo de Re ≈ 2000, turbulento por encima de Re ≈ 4000
Velocidad media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Pérdidas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, salida 1,0, codo de 90° ≈ 0,3
Caída de presión: Δp = ρ·g·h_f
Dos depósitos abiertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Salida libre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas y potencia de bombeo

Potencia hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potencia en el eje: P_shaft = P_h/η_pump
Potencia eléctrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura de la bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Pérdidas del sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Problemas de práctica

1.Fuerza hidrostáticaMedia

Una compuerta rectangular vertical de 1 m de ancho está en la pared de un depósito de agua, con su borde superior a 2 m bajo la superficie. Halla la fuerza hidrostática resultante F sobre la compuerta.

d = 2 mH = 1,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Fuerza hidrostáticaDifícil

Una compuerta rectangular vertical de 1 m de ancho está en la pared de un depósito de agua, con su borde superior a 1 m bajo la superficie. Halla la fuerza hidrostática resultante F sobre la compuerta.

d = 1 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuidad y BernoulliMedia

El agua circula por una tubería horizontal que se estrecha de 75 mm a 25 mm. En el tramo ancho la presión es 140 kPa y la velocidad 0,75 m/s. Sin pérdidas, halla la presión p₂ en el tramo estrecho.

d₁ = 75 mmd₂ = 25 mmp₁ = 140 kPav₁ = 0,75 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Continuidad y BernoulliDifícil

El agua sube por una tubería que se estrecha de 200 mm a 100 mm mientras asciende 10 m. En la sección 1 la presión es 140 kPa y la velocidad 1,25 m/s. Sin pérdidas, halla la presión p₂ en la sección 2.

d₁ = 200 mmd₂ = 100 mmp₁ = 140 kPav₁ = 1,25 m/sΔz = 10 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Fricción en tuberías y pérdida de cargaMedia

Agua circula a razón de 10 L/s por una tubería de 500 m de longitud y 100 mm de diámetro interior. Usa el factor de fricción de Darcy f = 0,025 y g = 9,81 m/s². Halla la pérdida de carga por fricción h_f.

Q = 10 L/sL = 500 mD = 100 mmf = 0,025g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Fricción en tuberías y pérdida de cargaDifícil

Una tubería de 300 m de longitud y 250 mm de diámetro interior (factor de fricción de Darcy f = 0,022) sale de un depósito abierto y descarga como chorro libre a la atmósfera. Las pérdidas localizadas son una entrada de arista viva (K = 0,5), 3 codos (K = 0,3 cada uno) y una válvula (K = 2). Usa g = 9,81 m/s². ¿A qué altura H debe estar la superficie del depósito sobre la salida de la tubería para un caudal de 50 L/s?

Q = 50 L/sL = 300 mD = 250 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 2

H = m

7.Bombas y potencia de bombeoMedia

Una bomba con un rendimiento del 65 % impulsa 60 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) contra una altura de 48 m. Usa g = 9,81 m/s². Halla la potencia en el eje P_shaft necesaria, en kW.

Q = 60 L/sH = 48 mη = 65%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Bombas y potencia de bombeoDifícil

Una bomba impulsa 100 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) desde un depósito inferior abierto hasta un depósito superior cuya superficie libre está 16 m más alta. La tubería mide 100 m de longitud, tiene 250 mm de diámetro interior y un factor de fricción de Darcy f = 0,02; los coeficientes de pérdidas localizadas suman ΣK = 8 (entrada y salida incluidas). Usa g = 9,81 m/s². El rendimiento de la bomba es del 82 %. Halla la potencia en el eje P_shaft en kW.

Q = 100 L/sΔz = 16 mL = 100 mD = 250 mmf = 0,02ΣK = 8η = 82%

P_shaft = kW

3Disoluciones

1.Fuerza hidrostática

Respuesta: F = 40,47 kN

Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·y_c·A. Actúa en el centro de presiones, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que siempre está por debajo del centroide.

Profundidad del centroide y área

y_c = d + H/2 = 2 + 1,5/2 = 2,75 m

A = H·b = 1,5·1 = 1,5 m²

Fuerza resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,75·1,5 = 40,47 kN

Respuesta

F = 40,47 kN

2.Fuerza hidrostática

Respuesta: F = 73,58 kN

Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·y_c·A. Actúa en el centro de presiones, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que siempre está por debajo del centroide.

Profundidad del centroide y área

y_c = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2,5 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

Fuerza resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,5·3 = 73,58 kN

Respuesta

F = 73,58 kN

3.Continuidad y Bernoulli

Respuesta: p₂ = 117,5 kPa

Continuidad y Bernoulli: en un fluido incompresible el caudal es el mismo en todas las secciones, Q = A₁v₁ = A₂v₂. A lo largo de una línea de corriente sin pérdidas, p + ½ρv² + ρgz es constante, así que donde el fluido va más rápido o más alto su presión es menor.

Continuidad y Bernoulli

Trabaja en Pa y después divide entre 1000 para obtener kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0,75·(75/25)² = 6,75 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0,75² − 6,75²)/1000 = −22,5 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 140 + (−22,5) = 117,5 kPa

Respuesta

p₂ = 117,5 kPa

4.Continuidad y Bernoulli

Respuesta: p₂ = 30,18 kPa

Continuidad y Bernoulli

Trabaja en Pa y después divide entre 1000 para obtener kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1,25·(200/100)² = 5 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1,25² − 5²)/1000 = −11,72 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·10/1000 = 98,1 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 140 + (−11,72) − 98,1 = 30,18 kPa

Respuesta

p₂ = 30,18 kPa

5.Fricción en tuberías y pérdida de carga

Respuesta: h_f = 10,33 m

Flujo en tuberías: el número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue el flujo laminar (Re por debajo de unos 2000) del turbulento (por encima de unos 4000). La fricción a lo largo de una tubería produce la pérdida de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Los accesorios, las válvulas, la entrada y la salida añaden pérdidas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre las superficies libres de dos depósitos abiertos la ecuación de la energía da Δz = h_f + h_m, incluida la pérdida de salida K = 1.

Velocidad media

A = π·0,1²/4 = 0,007854 m²

V = Q/A = 0,01/0,007854 = 1,273 m/s

Altura de velocidad

V²/(2g) = 1,273²/(2·9,81) = 0,08263 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(500/0,1)·1,273²/(2·9,81) = 10,33 m

Respuesta

h_f = 10,33 m

6.Fricción en tuberías y pérdida de carga

Respuesta: H = 1,629 m

Velocidad

V = Q/A = 0,05/0,04909 = 1,019 m/s

V²/(2g) = 0,05288 m

Coeficientes de pérdida

f·L/D = 0,022·300/0,25 = 26,4

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 2 = 3,4

Ecuación de la energía

El chorro de salida conserva su altura de velocidad; no es una pérdida, pero hay que aportarla.

H = (1 + 26,4 + 3,4)·0,05288 = 1,629 m

Respuesta

H = 1,629 m

7.Bombas y potencia de bombeo

Respuesta: P_shaft = 43,47 kW

Potencia de una bomba: la potencia que recibe el agua es la potencia hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. El eje debe entregar más porque la bomba tiene pérdidas: P_shaft = P_h/η_pump, y el motor absorbe P_el = P_shaft/η_motor. La altura de la bomba H sale de la ecuación de la energía: altura geométrica + altura de presión + todas las pérdidas por fricción y localizadas.

Potencia hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,06·48 = 28,25 kW

Potencia en el eje

P_shaft = P_h/η = 28,25/0,65 = 43,47 kW

Respuesta

P_shaft = 43,47 kW

8.Bombas y potencia de bombeo

Respuesta: P_shaft = 23,19 kW

Velocidad

V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s

V²/(2g) = 0,2115 m

Pérdidas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (8 + 8)·0,2115 = 3,384 m

Altura de la bomba

H = Δz + h_L = 16 + 3,384 = 19,38 m

Potencia en el eje

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,1·19,38/0,82 = 23,19 kW

Respuesta

P_shaft = 23,19 kW

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