Fuerza hidrostática
- Presión a una profundidad
- p = ρgh
- Fuerza sobre una pared vertical
- F = ρg·hc·A
- Centro de presiones
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rectángulo
- Ic = bH³/12
Mecánica de fluidos: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 8 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Continuidad y Bernoulli
- Continuidad
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Caudal
- Q = A·v
- Área del círculo
- A = πd²/4
Fricción en tuberías y pérdida de carga
- Número de Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Régimen de flujo
- laminar por debajo de Re ≈ 2000, turbulento por encima de Re ≈ 4000
- Velocidad media
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Pérdidas localizadas
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valores típicos de K
- entrada 0,5, salida 1,0, codo de 90° ≈ 0,3
- Caída de presión
- Δp = ρ·g·hf
- Dos depósitos abiertos
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Salida libre
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Bombas y potencia de bombeo
- Potencia hidráulica
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Potencia en el eje
- Pshaft = Ph/ηpump
- Potencia eléctrica
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Altura de la bomba
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Pérdidas del sistema
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2Problemas de práctica
1.Fuerza hidrostáticaMedia
Una compuerta rectangular vertical de 2 m de ancho está en la pared de un depósito de agua, con su borde superior a 2 m bajo la superficie. Halla la fuerza hidrostática resultante F sobre la compuerta.
d = 2 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Fuerza hidrostáticaDifícil
Una compuerta rectangular vertical de 2 m de ancho está en la pared de un depósito de agua, con su borde superior a 1,5 m bajo la superficie. Halla la fuerza hidrostática resultante F sobre la compuerta.
d = 1,5 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Continuidad y BernoulliMedia
El agua circula por una tubería horizontal que se estrecha de 150 mm a 40 mm. En el tramo ancho la presión es 220 kPa y la velocidad 1 m/s. Sin pérdidas, halla la presión p2 en el tramo estrecho.
d1 = 150 mmd2 = 40 mmp1 = 220 kPav1 = 1 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Continuidad y BernoulliDifícil
Una manguera de 20 mm de diámetro interior saca agua por sifón de un depósito abierto. El punto más alto C de la manguera está 2 m por encima de la superficie del agua, y la salida (abierta al aire) está 1,5 m por debajo de la superficie del agua. Desprecia las pérdidas y toma g = 9,81 m/s². Halla la presión absoluta pC en el punto C. La presión atmosférica es 101,3 kPa.
d = 20 mmzC = +2 mz2 = −1,5 mg = 9,81 m/s²patm = 101,3 kPa
pC = kPa
5.Fricción en tuberías y pérdida de cargaMedia
Agua (ρ = 1000 kg/m³) circula a 1,7 m/s por una tubería horizontal de 400 m de longitud y 150 mm de diámetro interior. Usa el factor de fricción de Darcy f = 0,02 y g = 9,81 m/s². Halla la caída de presión Δp en la tubería en kPa.
V = 1,7 m/sL = 400 mD = 150 mmf = 0,02ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.Fricción en tuberías y pérdida de cargaDifícil
Dos depósitos abiertos están unidos por una tubería de 300 m de longitud, 200 mm de diámetro interior y factor de fricción de Darcy f = 0,015. La superficie libre del depósito superior está 9 m por encima de la del inferior. Las pérdidas localizadas son una entrada de arista viva (K = 0,5), 3 codos (K = 0,3 cada uno), una válvula (K = 10) y la salida al depósito inferior (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Halla el caudal Q en L/s.
Δz = 9 mL = 300 mD = 200 mmf = 0,015Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×3)Kvalve = 10Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Bombas y potencia de bombeoMedia
En un ensayo, una bomba impulsa 100 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) contra una altura de 42 m mientras su eje absorbe 68,7 kW. Usa g = 9,81 m/s². Halla el rendimiento de la bomba η en porcentaje.
Q = 100 L/sH = 42 mPshaft = 68,7 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Bombas y potencia de bombeoDifícil
Una bomba impulsa 60 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) desde un depósito inferior abierto hasta un depósito superior cuya superficie libre está 9 m más alta. La tubería mide 200 m de longitud, tiene 200 mm de diámetro interior y un factor de fricción de Darcy f = 0,022; los coeficientes de pérdidas localizadas suman ΣK = 5 (entrada y salida incluidas). Usa g = 9,81 m/s². El rendimiento de la bomba es del 78 %. Halla la potencia en el eje Pshaft en kW.
Q = 60 L/sΔz = 9 mL = 200 mD = 200 mmf = 0,022ΣK = 5η = 78%
Pshaft = kW
3Disoluciones
1.Fuerza hidrostática
Respuesta: F = 206 kN
Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·yc·A. Actúa en el centro de presiones, ycp = yc + Ic/(ycA), que siempre está por debajo del centroide.
Profundidad del centroide y área
yc = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3,5 m
A = H·b = 3·2 = 6 m²
Fuerza resultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·3,5·6 = 206 kN
Respuesta
F = 206 kN
2.Fuerza hidrostática
Respuesta: F = 176,6 kN
Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·yc·A. Actúa en el centro de presiones, ycp = yc + Ic/(ycA), que siempre está por debajo del centroide.
Profundidad del centroide y área
yc = d + H/2 = 1,5 + 3/2 = 3 m
A = H·b = 3·2 = 6 m²
Fuerza resultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·3·6 = 176,6 kN
Respuesta
F = 176,6 kN
3.Continuidad y Bernoulli
Respuesta: p2 = 121,6 kPa
Continuidad y Bernoulli: en un fluido incompresible el caudal es el mismo en todas las secciones, Q = A₁v₁ = A₂v₂. A lo largo de una línea de corriente sin pérdidas, p + ½ρv² + ρgz es constante, así que donde el fluido va más rápido o más alto su presión es menor.
Continuidad y Bernoulli
Trabaja en Pa y después divide entre 1000 para obtener kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 1·(150/40)² = 14,06 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1² − 14,06²)/1000 = −98,38 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 220 + (−98,38) = 121,6 kPa
Respuesta
p2 = 121,6 kPa
4.Continuidad y Bernoulli
Respuesta: pC = 66,97 kPa
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Velocidad en la manguera
La superficie y la salida están abiertas al aire, así que los términos de presión se anulan.
v = √(2g·1,5) = √(2·9,81·1,5) = 5,425 m/s
Bernoulli de la superficie a C
patm = pC + ½ρv² + ρgzC
pC = 101,3 − 1000·(5,425²/2 + 9,81·2)/1000 = 101,3 − 34,34 = 66,97 kPa
Respuesta
pC = 66,97 kPa
Si esta presión baja hasta la presión de vapor del agua, el sifón deja de funcionar.
5.Fricción en tuberías y pérdida de carga
Respuesta: Δp = 77,07 kPa
Flujo en tuberías: el número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue el flujo laminar (Re por debajo de unos 2000) del turbulento (por encima de unos 4000). La fricción a lo largo de una tubería produce la pérdida de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Los accesorios, las válvulas, la entrada y la salida añaden pérdidas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre las superficies libres de dos depósitos abiertos la ecuación de la energía da Δz = hf + hm, incluida la pérdida de salida K = 1.
Pérdida de carga
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(400/0,15)·1,7²/(2·9,81) = 7,856 m
Caída de presión
La tubería es horizontal y la velocidad no cambia, así que la ecuación de la energía se reduce a Δp = ρ·g·hf.
Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·7,856 = 77067 Pa = 77,07 kPa
Respuesta
Δp = 77,07 kPa
6.Fricción en tuberías y pérdida de carga
Respuesta: Q = 70,67 L/s
Flujo en tuberías: el número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue el flujo laminar (Re por debajo de unos 2000) del turbulento (por encima de unos 4000). La fricción a lo largo de una tubería produce la pérdida de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Los accesorios, las válvulas, la entrada y la salida añaden pérdidas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre las superficies libres de dos depósitos abiertos la ecuación de la energía da Δz = hf + hm, incluida la pérdida de salida K = 1.
Coeficientes de pérdida
f·L/D = 0,015·300/0,2 = 22,5
ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 10 + 1,0 = 12,4
Ecuación de la energía
Las dos superficies están abiertas al aire y prácticamente en reposo, así que todo Δz se pierde en la tubería.
9 = (22,5 + 12,4)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·9/34,9) = 2,249 m/s
Caudal
Q = V·π·D²/4 = 2,249·0,03142 = 0,07067 m³/s = 70,67 L/s
Respuesta
Q = 70,67 L/s
7.Bombas y potencia de bombeo
Respuesta: η = 59,97 %
Potencia de una bomba: la potencia que recibe el agua es la potencia hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. El eje debe entregar más porque la bomba tiene pérdidas: Pshaft = Ph/ηpump, y el motor absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La altura de la bomba H sale de la ecuación de la energía: altura geométrica + altura de presión + todas las pérdidas por fricción y localizadas.
Potencia hidráulica
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,1·42 = 41,2 kW
Rendimiento
η = Ph/Pshaft = 41,2/68,7 = 59,97%
Respuesta
η = 59,97%
8.Bombas y potencia de bombeo
Respuesta: Pshaft = 10,58 kW
Potencia de una bomba: la potencia que recibe el agua es la potencia hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. El eje debe entregar más porque la bomba tiene pérdidas: Pshaft = Ph/ηpump, y el motor absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La altura de la bomba H sale de la ecuación de la energía: altura geométrica + altura de presión + todas las pérdidas por fricción y localizadas.
Velocidad
V = Q/A = 0,06/0,03142 = 1,91 m/s
V²/(2g) = 0,1859 m
Pérdidas de carga
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (22 + 5)·0,1859 = 5,02 m
Altura de la bomba
H = Δz + hL = 9 + 5,02 = 14,02 m
Potencia en el eje
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,06·14,02/0,78 = 10,58 kW
Respuesta
Pshaft = 10,58 kW
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