Fuerza hidrostática
- Presión a una profundidad
- p = ρgh
- Fuerza sobre una pared vertical
- F = ρg·hc·A
- Centro de presiones
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rectángulo
- Ic = bH³/12
Mecánica de fluidos: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 8 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Continuidad y Bernoulli
- Continuidad
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Caudal
- Q = A·v
- Área del círculo
- A = πd²/4
Fricción en tuberías y pérdida de carga
- Número de Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Régimen de flujo
- laminar por debajo de Re ≈ 2000, turbulento por encima de Re ≈ 4000
- Velocidad media
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Pérdidas localizadas
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valores típicos de K
- entrada 0,5, salida 1,0, codo de 90° ≈ 0,3
- Caída de presión
- Δp = ρ·g·hf
- Dos depósitos abiertos
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Salida libre
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Bombas y potencia de bombeo
- Potencia hidráulica
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Potencia en el eje
- Pshaft = Ph/ηpump
- Potencia eléctrica
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Altura de la bomba
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Pérdidas del sistema
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2Problemas de práctica
1.Fuerza hidrostáticaMedia
Una compuerta rectangular vertical de 3 m de ancho está en la pared de un depósito de agua, con su borde superior a 1 m bajo la superficie. Halla la fuerza hidrostática resultante F sobre la compuerta.
d = 1 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Fuerza hidrostáticaDifícil
Una compuerta rectangular vertical de 1 m de ancho está en la pared de un depósito de agua, con su borde superior a 3 m bajo la superficie. Halla la profundidad ycp del centro de presiones bajo la superficie.
d = 3 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Continuidad y BernoulliMedia
Por una tubería horizontal que se estrecha de 150 mm a 100 mm circulan 27 L/s de agua. La presión en la sección estrecha es 250 kPa. Despreciando las pérdidas, halla la presión p1 en la sección ancha.
Q = 27 L/sd1 = 150 mmd2 = 100 mmp2 = 250 kPaρ = 1000 kg/m³
p1 = kPa
4.Continuidad y BernoulliDifícil
Por un venturímetro horizontal (entrada de 300 mm, garganta de 150 mm) circula agua. Un manómetro diferencial de mercurio en U conectado entre la entrada y la garganta indica una diferencia de nivel de 50 mm. El coeficiente de descarga es 0,96. Halla el caudal Q. Usa ρ = 1000 kg/m³ para el agua, 13 600 kg/m³ para el mercurio y g = 9,81 m/s².
d1 = 300 mmd2 = 150 mmΔh = 50 mmCd = 0,96ρHg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.Fricción en tuberías y pérdida de cargaMedia
Agua (ρ = 1000 kg/m³) circula a 1,3 m/s por una tubería horizontal de 50 m de longitud y 300 mm de diámetro interior. Usa el factor de fricción de Darcy f = 0,02 y g = 9,81 m/s². Halla la caída de presión Δp en la tubería en kPa.
V = 1,3 m/sL = 50 mD = 300 mmf = 0,02ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.Fricción en tuberías y pérdida de cargaDifícil
Una tubería de 200 m de longitud y 300 mm de diámetro interior (factor de fricción de Darcy f = 0,022) sale de un depósito abierto y descarga como chorro libre a la atmósfera. Las pérdidas localizadas son una entrada de arista viva (K = 0,5), 4 codos (K = 0,3 cada uno) y una válvula (K = 5). Usa g = 9,81 m/s². ¿A qué altura H debe estar la superficie del depósito sobre la salida de la tubería para un caudal de 80 L/s?
Q = 80 L/sL = 200 mD = 300 mmf = 0,022Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 5
H = m
7.Bombas y potencia de bombeoMedia
Una bomba con un rendimiento del 75 % impulsa 100 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) contra una altura de 20 m. Usa g = 9,81 m/s². Halla la potencia en el eje Pshaft necesaria, en kW.
Q = 100 L/sH = 20 mη = 75%g = 9,81 m/s²
Pshaft = kW
8.Bombas y potencia de bombeoDifícil
Una bomba impulsa 12 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) desde un depósito inferior abierto hasta un depósito superior cuya superficie libre está 5 m más alta. La tubería mide 200 m de longitud, tiene 100 mm de diámetro interior y un factor de fricción de Darcy f = 0,025; los coeficientes de pérdidas localizadas suman ΣK = 6 (entrada y salida incluidas). Usa g = 9,81 m/s². El rendimiento de la bomba es del 80 %. Halla la potencia en el eje Pshaft en kW.
Q = 12 L/sΔz = 5 mL = 200 mD = 100 mmf = 0,025ΣK = 6η = 80%
Pshaft = kW
3Disoluciones
1.Fuerza hidrostática
Respuesta: F = 77,25 kN
Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·yc·A. Actúa en el centro de presiones, ycp = yc + Ic/(ycA), que siempre está por debajo del centroide.
Profundidad del centroide y área
yc = d + H/2 = 1 + 1,5/2 = 1,75 m
A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²
Fuerza resultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·1,75·4,5 = 77,25 kN
Respuesta
F = 77,25 kN
2.Fuerza hidrostática
Respuesta: ycp = 4,373 m
Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·yc·A. Actúa en el centro de presiones, ycp = yc + Ic/(ycA), que siempre está por debajo del centroide.
Profundidad del centroide y área
yc = d + H/2 = 3 + 2,5/2 = 4,25 m
A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²
Fuerza resultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·4,25·2,5 = 104,2 kN
Centro de presiones
La presión aumenta con la profundidad, así que la resultante actúa por debajo del centroide.
Ic = b·H³/12 = 1·2,5³/12 = 1,302 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 4,25 + 1,302/(4,25·2,5) = 4,373 m
Respuesta
ycp = 4,373 m
3.Continuidad y Bernoulli
Respuesta: p1 = 254,7 kPa
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Velocidades
v1 = Q/A1 = 0,027/0,01767 = 1,528 m/s
v2 = Q/A2 = 0,027/0,007854 = 3,438 m/s
Bernoulli
p1 = p2 + ½ρ(v2² − v1²) = 250 + ½·1000·(3,438² − 1,528²)/1000 = 250 + 4,742 = 254,7 kPa
Respuesta
p1 = 254,7 kPa
4.Continuidad y Bernoulli
Respuesta: Q = 61,6 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Diferencia de presión a partir del manómetro
Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,05 = 6180 Pa
Velocidad en la garganta
La continuidad y Bernoulli juntas dan la velocidad ideal en la garganta.
β = 150/300 = 0,5
v2 = √(2·6180/(1000·(1 − 0,0625))) = 3,631 m/s
Caudal real
Q = Cd·A2·v2 = 0,96·0,01767·3,631 = 0,0616 m³/s = 61,6 L/s
Respuesta
Q = 61,6 L/s
5.Fricción en tuberías y pérdida de carga
Respuesta: Δp = 2,817 kPa
Flujo en tuberías: el número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue el flujo laminar (Re por debajo de unos 2000) del turbulento (por encima de unos 4000). La fricción a lo largo de una tubería produce la pérdida de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Los accesorios, las válvulas, la entrada y la salida añaden pérdidas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre las superficies libres de dos depósitos abiertos la ecuación de la energía da Δz = hf + hm, incluida la pérdida de salida K = 1.
Pérdida de carga
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(50/0,3)·1,3²/(2·9,81) = 0,2871 m
Caída de presión
La tubería es horizontal y la velocidad no cambia, así que la ecuación de la energía se reduce a Δp = ρ·g·hf.
Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·0,2871 = 2817 Pa = 2,817 kPa
Respuesta
Δp = 2,817 kPa
6.Fricción en tuberías y pérdida de carga
Respuesta: H = 1,46 m
Flujo en tuberías: el número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue el flujo laminar (Re por debajo de unos 2000) del turbulento (por encima de unos 4000). La fricción a lo largo de una tubería produce la pérdida de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Los accesorios, las válvulas, la entrada y la salida añaden pérdidas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre las superficies libres de dos depósitos abiertos la ecuación de la energía da Δz = hf + hm, incluida la pérdida de salida K = 1.
Velocidad
V = Q/A = 0,08/0,07069 = 1,132 m/s
V²/(2g) = 0,06529 m
Coeficientes de pérdida
f·L/D = 0,022·200/0,3 = 14,67
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 = 6,7
Ecuación de la energía
El chorro de salida conserva su altura de velocidad; no es una pérdida, pero hay que aportarla.
H = (1 + 14,67 + 6,7)·0,06529 = 1,46 m
Respuesta
H = 1,46 m
7.Bombas y potencia de bombeo
Respuesta: Pshaft = 26,16 kW
Potencia de una bomba: la potencia que recibe el agua es la potencia hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. El eje debe entregar más porque la bomba tiene pérdidas: Pshaft = Ph/ηpump, y el motor absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La altura de la bomba H sale de la ecuación de la energía: altura geométrica + altura de presión + todas las pérdidas por fricción y localizadas.
Potencia hidráulica
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,1·20 = 19,62 kW
Potencia en el eje
Pshaft = Ph/η = 19,62/0,75 = 26,16 kW
Respuesta
Pshaft = 26,16 kW
8.Bombas y potencia de bombeo
Respuesta: Pshaft = 1,716 kW
Potencia de una bomba: la potencia que recibe el agua es la potencia hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. El eje debe entregar más porque la bomba tiene pérdidas: Pshaft = Ph/ηpump, y el motor absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La altura de la bomba H sale de la ecuación de la energía: altura geométrica + altura de presión + todas las pérdidas por fricción y localizadas.
Velocidad
V = Q/A = 0,012/0,007854 = 1,528 m/s
V²/(2g) = 0,119 m
Pérdidas de carga
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (50 + 6)·0,119 = 6,663 m
Altura de la bomba
H = Δz + hL = 5 + 6,663 = 11,66 m
Potencia en el eje
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,012·11,66/0,8 = 1,716 kW
Respuesta
Pshaft = 1,716 kW
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