Fuerza hidrostática
- Presión a una profundidad
- p = ρgh
- Fuerza sobre una pared vertical
- F = ρg·hc·A
- Centro de presiones
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rectángulo
- Ic = bH³/12
Mecánica de fluidos: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 8 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Continuidad y Bernoulli
- Continuidad
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Caudal
- Q = A·v
- Área del círculo
- A = πd²/4
Fricción en tuberías y pérdida de carga
- Número de Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Régimen de flujo
- laminar por debajo de Re ≈ 2000, turbulento por encima de Re ≈ 4000
- Velocidad media
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Pérdidas localizadas
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valores típicos de K
- entrada 0,5, salida 1,0, codo de 90° ≈ 0,3
- Caída de presión
- Δp = ρ·g·hf
- Dos depósitos abiertos
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Salida libre
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Bombas y potencia de bombeo
- Potencia hidráulica
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Potencia en el eje
- Pshaft = Ph/ηpump
- Potencia eléctrica
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Altura de la bomba
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Pérdidas del sistema
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2Problemas de práctica
1.Fuerza hidrostáticaMedia
Una compuerta rectangular vertical de 2 m de ancho está en la pared de un depósito de agua, con su borde superior a 1,5 m bajo la superficie. Halla la fuerza hidrostática resultante F sobre la compuerta.
d = 1,5 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Fuerza hidrostáticaDifícil
Una compuerta rectangular vertical de 3 m de ancho está en la pared de un depósito de aceite, con su borde superior a 1,5 m bajo la superficie. Halla la profundidad ycp del centro de presiones bajo la superficie.
d = 1,5 mH = 3 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Continuidad y BernoulliMedia
Por una tubería horizontal que se estrecha de 100 mm a 50 mm circulan 6 L/s de agua. La presión en la sección estrecha es 100 kPa. Despreciando las pérdidas, halla la presión p1 en la sección ancha.
Q = 6 L/sd1 = 100 mmd2 = 50 mmp2 = 100 kPaρ = 1000 kg/m³
p1 = kPa
4.Continuidad y BernoulliDifícil
Un depósito de agua cerrado tiene aire comprimido sobre el agua a una presión manométrica de 50 kPa. El agua sale al aire libre por un orificio de 20 mm de diámetro, 5 m por debajo de la superficie del agua. Despreciando las pérdidas, halla el caudal Q. Usa g = 9,81 m/s².
pair = 50 kPa (manométrica)h = 5 md = 20 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.Fricción en tuberías y pérdida de cargaMedia
Agua circula a razón de 4 L/s por una tubería de 500 m de longitud y 75 mm de diámetro interior. Usa el factor de fricción de Darcy f = 0,03 y g = 9,81 m/s². Halla la pérdida de carga por fricción hf.
Q = 4 L/sL = 500 mD = 75 mmf = 0,03g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Fricción en tuberías y pérdida de cargaDifícil
Dos depósitos abiertos están unidos por una tubería de 300 m de longitud, 250 mm de diámetro interior y factor de fricción de Darcy f = 0,018. La superficie libre del depósito superior está 20 m por encima de la del inferior. Las pérdidas localizadas son una entrada de arista viva (K = 0,5), 3 codos (K = 0,3 cada uno), una válvula (K = 5) y la salida al depósito inferior (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Halla el caudal Q en L/s.
Δz = 20 mL = 300 mD = 250 mmf = 0,018Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×3)Kvalve = 5Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Bombas y potencia de bombeoMedia
En un ensayo, una bomba impulsa 60 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) contra una altura de 68 m mientras su eje absorbe 50 kW. Usa g = 9,81 m/s². Halla el rendimiento de la bomba η en porcentaje.
Q = 60 L/sH = 68 mPshaft = 50 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Bombas y potencia de bombeoDifícil
Una bomba impulsa 120 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) desde un depósito inferior abierto hasta un depósito superior cuya superficie libre está 20 m más alta. La tubería mide 600 m de longitud, tiene 250 mm de diámetro interior y un factor de fricción de Darcy f = 0,025; los coeficientes de pérdidas localizadas suman ΣK = 8 (entrada y salida incluidas). Usa g = 9,81 m/s². El depósito superior está cerrado y el aire sobre el agua está a una presión manométrica de 350 kPa. Halla la altura H que debe añadir la bomba.
Q = 120 L/sΔz = 20 mL = 600 mD = 250 mmf = 0,025ΣK = 8ptank = 350 kPa
H = m
3Disoluciones
1.Fuerza hidrostática
Respuesta: F = 39,24 kN
Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·yc·A. Actúa en el centro de presiones, ycp = yc + Ic/(ycA), que siempre está por debajo del centroide.
Profundidad del centroide y área
yc = d + H/2 = 1,5 + 1/2 = 2 m
A = H·b = 1·2 = 2 m²
Fuerza resultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2·2 = 39,24 kN
Respuesta
F = 39,24 kN
2.Fuerza hidrostática
Respuesta: ycp = 3,25 m
Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·yc·A. Actúa en el centro de presiones, ycp = yc + Ic/(ycA), que siempre está por debajo del centroide.
Profundidad del centroide y área
yc = d + H/2 = 1,5 + 3/2 = 3 m
A = H·b = 3·3 = 9 m²
Fuerza resultante
F = ρ·g·yc·A = 880·9,81·3·9 = 233,1 kN
Centro de presiones
La presión aumenta con la profundidad, así que la resultante actúa por debajo del centroide.
Ic = b·H³/12 = 3·3³/12 = 6,75 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3 + 6,75/(3·9) = 3,25 m
Respuesta
ycp = 3,25 m
3.Continuidad y Bernoulli
Respuesta: p1 = 104,4 kPa
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Velocidades
v1 = Q/A1 = 0,006/0,007854 = 0,7639 m/s
v2 = Q/A2 = 0,006/0,001963 = 3,056 m/s
Bernoulli
p1 = p2 + ½ρ(v2² − v1²) = 100 + ½·1000·(3,056² − 0,7639²)/1000 = 100 + 4,377 = 104,4 kPa
Respuesta
p1 = 104,4 kPa
4.Continuidad y Bernoulli
Respuesta: Q = 4,422 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Bernoulli de la superficie al chorro
v = √(2·(50000/1000 + 9,81·5)) = 14,07 m/s
Caudal
Q = A·v = 0,0003142·14,07 = 0,004422 m³/s = 4,422 L/s
Respuesta
Q = 4,422 L/s
5.Fricción en tuberías y pérdida de carga
Respuesta: hf = 8,357 m
Flujo en tuberías: el número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue el flujo laminar (Re por debajo de unos 2000) del turbulento (por encima de unos 4000). La fricción a lo largo de una tubería produce la pérdida de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Los accesorios, las válvulas, la entrada y la salida añaden pérdidas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre las superficies libres de dos depósitos abiertos la ecuación de la energía da Δz = hf + hm, incluida la pérdida de salida K = 1.
Velocidad media
A = π·0,075²/4 = 0,004418 m²
V = Q/A = 0,004/0,004418 = 0,9054 m/s
Altura de velocidad
V²/(2g) = 0,9054²/(2·9,81) = 0,04178 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(500/0,075)·0,9054²/(2·9,81) = 8,357 m
Respuesta
hf = 8,357 m
6.Fricción en tuberías y pérdida de carga
Respuesta: Q = 180,6 L/s
Flujo en tuberías: el número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue el flujo laminar (Re por debajo de unos 2000) del turbulento (por encima de unos 4000). La fricción a lo largo de una tubería produce la pérdida de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Los accesorios, las válvulas, la entrada y la salida añaden pérdidas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre las superficies libres de dos depósitos abiertos la ecuación de la energía da Δz = hf + hm, incluida la pérdida de salida K = 1.
Coeficientes de pérdida
f·L/D = 0,018·300/0,25 = 21,6
ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 5 + 1,0 = 7,4
Ecuación de la energía
Las dos superficies están abiertas al aire y prácticamente en reposo, así que todo Δz se pierde en la tubería.
20 = (21,6 + 7,4)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·20/29) = 3,678 m/s
Caudal
Q = V·π·D²/4 = 3,678·0,04909 = 0,1806 m³/s = 180,6 L/s
Respuesta
Q = 180,6 L/s
7.Bombas y potencia de bombeo
Respuesta: η = 80,05 %
Potencia de una bomba: la potencia que recibe el agua es la potencia hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. El eje debe entregar más porque la bomba tiene pérdidas: Pshaft = Ph/ηpump, y el motor absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La altura de la bomba H sale de la ecuación de la energía: altura geométrica + altura de presión + todas las pérdidas por fricción y localizadas.
Potencia hidráulica
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,06·68 = 40,02 kW
Rendimiento
η = Ph/Pshaft = 40,02/50 = 80,05%
Respuesta
η = 80,05%
8.Bombas y potencia de bombeo
Respuesta: H = 76,39 m
Potencia de una bomba: la potencia que recibe el agua es la potencia hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. El eje debe entregar más porque la bomba tiene pérdidas: Pshaft = Ph/ηpump, y el motor absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La altura de la bomba H sale de la ecuación de la energía: altura geométrica + altura de presión + todas las pérdidas por fricción y localizadas.
Velocidad
V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s
V²/(2g) = 0,3046 m
Pérdidas de carga
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (60 + 8)·0,3046 = 20,71 m
Altura de presión
p/(ρ·g) = 350000/(1000·9,81) = 35,68 m
Altura de la bomba
Las dos superficies están prácticamente en reposo, así que no hay término de altura de velocidad.
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 20 + 35,68 + 20,71 = 76,39 m
Respuesta
H = 76,39 m
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