Mecánica de fluidos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 8 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Fuerza hidrostática

Presión a una profundidad: p = ρgh
Fuerza sobre una pared vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de presiones: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rectángulo: I_c = bH³/12

Continuidad y Bernoulli

Continuidad: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Caudal: Q = A·v
Área del círculo: A = πd²/4

Fricción en tuberías y pérdida de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Régimen de flujo: laminar por debajo de Re ≈ 2000, turbulento por encima de Re ≈ 4000
Velocidad media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Pérdidas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, salida 1,0, codo de 90° ≈ 0,3
Caída de presión: Δp = ρ·g·h_f
Dos depósitos abiertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Salida libre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas y potencia de bombeo

Potencia hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potencia en el eje: P_shaft = P_h/η_pump
Potencia eléctrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura de la bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Pérdidas del sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Problemas de práctica

1.Fuerza hidrostáticaMedia

Una compuerta rectangular vertical de 1,5 m de ancho está en la pared de un depósito de agua, con su borde superior a 4 m bajo la superficie. Halla la fuerza hidrostática resultante F sobre la compuerta.

d = 4 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Fuerza hidrostáticaDifícil

Una compuerta rectangular vertical de 3 m de ancho está en la pared de un depósito de agua, con su borde superior a 2 m bajo la superficie. Halla la profundidad y_cp del centro de presiones bajo la superficie.

d = 2 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuidad y BernoulliMedia

Un tubo de Pitot estático en un túnel de viento indica una diferencia de 500 Pa entre la presión de estancamiento y la presión estática. La densidad del aire es 1,2 kg/m³. Halla la velocidad del aire v.

p₀ − p = 500 Paρ = 1,2 kg/m³

v = m/s

4.Continuidad y BernoulliDifícil

El agua sube por una tubería que se estrecha de 150 mm a 100 mm mientras asciende 6 m. En la sección 1 la presión es 260 kPa y la velocidad 2,25 m/s. Sin pérdidas, halla la presión p₂ en la sección 2.

d₁ = 150 mmd₂ = 100 mmp₁ = 260 kPav₁ = 2,25 m/sΔz = 6 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Fricción en tuberías y pérdida de cargaMedia

Agua (ρ = 1000 kg/m³) circula a 1,4 m/s por una tubería horizontal de 50 m de longitud y 100 mm de diámetro interior. Usa el factor de fricción de Darcy f = 0,028 y g = 9,81 m/s². Halla la caída de presión Δp en la tubería en kPa.

V = 1,4 m/sL = 50 mD = 100 mmf = 0,028ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Fricción en tuberías y pérdida de cargaDifícil

Dos depósitos abiertos están unidos por una tubería de 150 m de longitud, 200 mm de diámetro interior y factor de fricción de Darcy f = 0,025. Las pérdidas localizadas son una entrada de arista viva (K = 0,5), 3 codos (K = 0,3 cada uno), una válvula (K = 5) y la salida al depósito inferior (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². ¿Qué diferencia de nivel de agua Δz entre los depósitos da un caudal de 100 L/s?

Q = 100 L/sL = 150 mD = 200 mmf = 0,025K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 5K_exit = 1,0

Δz = m

7.Bombas y potencia de bombeoMedia

Una bomba impulsa 150 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) contra una altura de 60 m. El rendimiento de la bomba es del 85 % y el motor eléctrico que la acciona tiene un rendimiento del 94 %. Usa g = 9,81 m/s². Halla la potencia eléctrica P_el que absorbe el motor, en kW.

Q = 150 L/sH = 60 mη_pump = 85%η_motor = 94%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Bombas y potencia de bombeoDifícil

Una bomba impulsa 100 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) desde un depósito inferior abierto hasta un depósito superior cuya superficie libre está 19 m más alta. La tubería mide 300 m de longitud, tiene 250 mm de diámetro interior y un factor de fricción de Darcy f = 0,025; los coeficientes de pérdidas localizadas suman ΣK = 8 (entrada y salida incluidas). Usa g = 9,81 m/s². El rendimiento de la bomba es del 65 %. Halla la potencia en el eje P_shaft en kW.

Q = 100 L/sΔz = 19 mL = 300 mD = 250 mmf = 0,025ΣK = 8η = 65%

P_shaft = kW

3Disoluciones

1.Fuerza hidrostática

Respuesta: F = 193,1 kN

Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·y_c·A. Actúa en el centro de presiones, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que siempre está por debajo del centroide.

Profundidad del centroide y área

y_c = d + H/2 = 4 + 2,5/2 = 5,25 m

A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²

Fuerza resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·5,25·3,75 = 193,1 kN

Respuesta

F = 193,1 kN

2.Fuerza hidrostática

Respuesta: y_cp = 3,714 m

Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·y_c·A. Actúa en el centro de presiones, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que siempre está por debajo del centroide.

Profundidad del centroide y área

y_c = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3,5 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

Fuerza resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,5·9 = 309 kN

Centro de presiones

La presión aumenta con la profundidad, así que la resultante actúa por debajo del centroide.

I_c = b·H³/12 = 3·3³/12 = 6,75 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3,5 + 6,75/(3,5·9) = 3,714 m

Respuesta

y_cp = 3,714 m

3.Continuidad y Bernoulli

Respuesta: v = 28,87 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Bernoulli hasta el punto de estancamiento

El flujo se detiene en la punta, así que su energía cinética aparece como presión adicional.

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·500/1,2) = 28,87 m/s

Respuesta

v = 28,87 m/s

4.Continuidad y Bernoulli

Respuesta: p₂ = 190,9 kPa

Continuidad y Bernoulli: en un fluido incompresible el caudal es el mismo en todas las secciones, Q = A₁v₁ = A₂v₂. A lo largo de una línea de corriente sin pérdidas, p + ½ρv² + ρgz es constante, así que donde el fluido va más rápido o más alto su presión es menor.

Continuidad y Bernoulli

Trabaja en Pa y después divide entre 1000 para obtener kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2,25·(150/100)² = 5,063 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2,25² − 5,063²)/1000 = −10,28 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·6/1000 = 58,86 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 260 + (−10,28) − 58,86 = 190,9 kPa

Respuesta

p₂ = 190,9 kPa

5.Fricción en tuberías y pérdida de carga

Respuesta: Δp = 13,72 kPa

Flujo en tuberías: el número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue el flujo laminar (Re por debajo de unos 2000) del turbulento (por encima de unos 4000). La fricción a lo largo de una tubería produce la pérdida de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Los accesorios, las válvulas, la entrada y la salida añaden pérdidas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre las superficies libres de dos depósitos abiertos la ecuación de la energía da Δz = h_f + h_m, incluida la pérdida de salida K = 1.

Pérdida de carga

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(50/0,1)·1,4²/(2·9,81) = 1,399 m

Caída de presión

La tubería es horizontal y la velocidad no cambia, así que la ecuación de la energía se reduce a Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·1,399 = 13720 Pa = 13,72 kPa

Respuesta

Δp = 13,72 kPa

6.Fricción en tuberías y pérdida de carga

Respuesta: Δz = 13,5 m

Velocidad

V = Q/A = 0,1/0,03142 = 3,183 m/s

V²/(2g) = 0,5164 m

Coeficientes de pérdida

f·L/D = 0,025·150/0,2 = 18,75

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 5 + 1,0 = 7,4

Pérdida de carga total

h_f = 18,75·0,5164 = 9,683 m

h_m = 7,4·0,5164 = 3,821 m

Δz = h_f + h_m = 13,5 m

Respuesta

Δz = 13,5 m

7.Bombas y potencia de bombeo

Respuesta: P_el = 110,5 kW

Potencia de una bomba: la potencia que recibe el agua es la potencia hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. El eje debe entregar más porque la bomba tiene pérdidas: P_shaft = P_h/η_pump, y el motor absorbe P_el = P_shaft/η_motor. La altura de la bomba H sale de la ecuación de la energía: altura geométrica + altura de presión + todas las pérdidas por fricción y localizadas.

Potencia hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,15·60 = 88,29 kW

Potencia en el eje

P_shaft = 88,29/0,85 = 103,9 kW

Potencia eléctrica

P_el = 103,9/0,94 = 110,5 kW

Respuesta

P_el = 110,5 kW

8.Bombas y potencia de bombeo

Respuesta: P_shaft = 40,81 kW

Velocidad

V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s

V²/(2g) = 0,2115 m

Pérdidas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (30 + 8)·0,2115 = 8,038 m

Altura de la bomba

H = Δz + h_L = 19 + 8,038 = 27,04 m

Potencia en el eje

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,1·27,04/0,65 = 40,81 kW

Respuesta

P_shaft = 40,81 kW

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