Mecánica de fluidos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 8 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Fuerza hidrostática

Presión a una profundidad: p = ρgh
Fuerza sobre una pared vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de presiones: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rectángulo: I_c = bH³/12

Continuidad y Bernoulli

Continuidad: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Caudal: Q = A·v
Área del círculo: A = πd²/4

Fricción en tuberías y pérdida de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Régimen de flujo: laminar por debajo de Re ≈ 2000, turbulento por encima de Re ≈ 4000
Velocidad media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Pérdidas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, salida 1,0, codo de 90° ≈ 0,3
Caída de presión: Δp = ρ·g·h_f
Dos depósitos abiertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Salida libre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas y potencia de bombeo

Potencia hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potencia en el eje: P_shaft = P_h/η_pump
Potencia eléctrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura de la bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Pérdidas del sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Problemas de práctica

1.Fuerza hidrostáticaMedia

Una compuerta rectangular vertical de 2 m de ancho está en la pared de un depósito de agua, con su borde superior a 2,5 m bajo la superficie. Halla la fuerza hidrostática resultante F sobre la compuerta.

d = 2,5 mH = 1,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Fuerza hidrostáticaDifícil

Una compuerta rectangular vertical de 3 m de ancho está en la pared de un depósito de agua de mar, con su borde superior a 1,5 m bajo la superficie. Halla la fuerza hidrostática resultante F sobre la compuerta.

d = 1,5 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuidad y BernoulliMedia

Por un venturímetro horizontal con un diámetro de entrada de 100 mm y un diámetro de garganta de 50 mm circula agua. La presión en la entrada es 36 kPa mayor que en la garganta. Despreciando las pérdidas, halla el caudal Q.

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₁ − p₂ = 36 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

4.Continuidad y BernoulliDifícil

Un depósito de agua cerrado tiene aire comprimido sobre el agua a una presión manométrica de 70 kPa. El agua sale al aire libre por un orificio de 30 mm de diámetro, 2 m por debajo de la superficie del agua. Despreciando las pérdidas, halla el caudal Q. Usa g = 9,81 m/s².

p_air = 70 kPa (manométrica)h = 2 md = 30 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Fricción en tuberías y pérdida de cargaMedia

Agua circula con una velocidad media de 2,2 m/s por una tubería de 500 m de longitud y 100 mm de diámetro interior. Usa el factor de fricción de Darcy f = 0,03 y g = 9,81 m/s². Halla la pérdida de carga por fricción h_f.

V = 2,2 m/sL = 500 mD = 100 mmf = 0,03g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Fricción en tuberías y pérdida de cargaDifícil

Una tubería de 400 m de longitud y 250 mm de diámetro interior (factor de fricción de Darcy f = 0,015) sale de un depósito abierto y descarga como chorro libre a la atmósfera. Las pérdidas localizadas son una entrada de arista viva (K = 0,5), 4 codos (K = 0,3 cada uno) y una válvula (K = 10). Usa g = 9,81 m/s². ¿A qué altura H debe estar la superficie del depósito sobre la salida de la tubería para un caudal de 60 L/s?

Q = 60 L/sL = 400 mD = 250 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 10

H = m

7.Bombas y potencia de bombeoMedia

Una bomba con un rendimiento del 60 % impulsa 30 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) contra una altura de 32 m. Usa g = 9,81 m/s². Halla la potencia en el eje P_shaft necesaria, en kW.

Q = 30 L/sH = 32 mη = 60%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Bombas y potencia de bombeoDifícil

Una bomba impulsa 120 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) desde un depósito inferior abierto hasta un depósito superior cuya superficie libre está 29 m más alta. La tubería mide 200 m de longitud, tiene 250 mm de diámetro interior y un factor de fricción de Darcy f = 0,022; los coeficientes de pérdidas localizadas suman ΣK = 8 (entrada y salida incluidas). Usa g = 9,81 m/s². El depósito superior está cerrado y el aire sobre el agua está a una presión manométrica de 300 kPa. Halla la altura H que debe añadir la bomba.

Q = 120 L/sΔz = 29 mL = 200 mD = 250 mmf = 0,022ΣK = 8p_tank = 300 kPa

H = m

3Disoluciones

1.Fuerza hidrostática

Respuesta: F = 95,65 kN

Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·y_c·A. Actúa en el centro de presiones, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que siempre está por debajo del centroide.

Profundidad del centroide y área

y_c = d + H/2 = 2,5 + 1,5/2 = 3,25 m

A = H·b = 1,5·2 = 3 m²

Fuerza resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,25·3 = 95,65 kN

Respuesta

F = 95,65 kN

2.Fuerza hidrostática

Respuesta: F = 101,8 kN

Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·y_c·A. Actúa en el centro de presiones, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que siempre está por debajo del centroide.

Profundidad del centroide y área

y_c = d + H/2 = 1,5 + 1,5/2 = 2,25 m

A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²

Fuerza resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·2,25·4,5 = 101,8 kN

Respuesta

F = 101,8 kN

3.Continuidad y Bernoulli

Respuesta: Q = 17,21 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Continuidad

v₁ = v₂·(50/100)² = 0,25·v₂

Bernoulli entre la entrada y la garganta

La tubería es horizontal, así que solo cambian la presión y la velocidad.

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·36000/(1000·(1 − 0,0625))) = 8,764 m/s

v₁ = 2,191 m/s

Caudal

Q = A₂·v₂ = 0,001963·8,764 = 0,01721 m³/s = 17,21 L/s

Respuesta

Q = 17,21 L/s

4.Continuidad y Bernoulli

Respuesta: Q = 9,463 L/s

Bernoulli de la superficie al chorro

v = √(2·(70000/1000 + 9,81·2)) = 13,39 m/s

Caudal

Q = A·v = 0,0007069·13,39 = 0,009463 m³/s = 9,463 L/s

Respuesta

Q = 9,463 L/s

5.Fricción en tuberías y pérdida de carga

Respuesta: h_f = 37 m

Flujo en tuberías: el número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue el flujo laminar (Re por debajo de unos 2000) del turbulento (por encima de unos 4000). La fricción a lo largo de una tubería produce la pérdida de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Los accesorios, las válvulas, la entrada y la salida añaden pérdidas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre las superficies libres de dos depósitos abiertos la ecuación de la energía da Δz = h_f + h_m, incluida la pérdida de salida K = 1.

Altura de velocidad

V²/(2g) = 2,2²/(2·9,81) = 0,2467 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(500/0,1)·2,2²/(2·9,81) = 37 m

Respuesta

h_f = 37 m

6.Fricción en tuberías y pérdida de carga

Respuesta: H = 2,795 m

Velocidad

V = Q/A = 0,06/0,04909 = 1,222 m/s

V²/(2g) = 0,07615 m

Coeficientes de pérdida

f·L/D = 0,015·400/0,25 = 24

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 10 = 11,7

Ecuación de la energía

El chorro de salida conserva su altura de velocidad; no es una pérdida, pero hay que aportarla.

H = (1 + 24 + 11,7)·0,07615 = 2,795 m

Respuesta

H = 2,795 m

7.Bombas y potencia de bombeo

Respuesta: P_shaft = 15,7 kW

Potencia de una bomba: la potencia que recibe el agua es la potencia hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. El eje debe entregar más porque la bomba tiene pérdidas: P_shaft = P_h/η_pump, y el motor absorbe P_el = P_shaft/η_motor. La altura de la bomba H sale de la ecuación de la energía: altura geométrica + altura de presión + todas las pérdidas por fricción y localizadas.

Potencia hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,03·32 = 9,418 kW

Potencia en el eje

P_shaft = P_h/η = 9,418/0,6 = 15,7 kW

Respuesta

P_shaft = 15,7 kW

8.Bombas y potencia de bombeo

Respuesta: H = 67,38 m

Velocidad

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s

V²/(2g) = 0,3046 m

Pérdidas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (17,6 + 8)·0,3046 = 7,798 m

Altura de presión

p/(ρ·g) = 300000/(1000·9,81) = 30,58 m

Altura de la bomba

Las dos superficies están prácticamente en reposo, así que no hay término de altura de velocidad.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 29 + 30,58 + 7,798 = 67,38 m

Respuesta

H = 67,38 m

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