Fuerza hidrostática
- Presión a una profundidad
- p = ρgh
- Fuerza sobre una pared vertical
- F = ρg·hc·A
- Centro de presiones
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rectángulo
- Ic = bH³/12
Mecánica de fluidos: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 8 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Continuidad y Bernoulli
- Continuidad
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Caudal
- Q = A·v
- Área del círculo
- A = πd²/4
Fricción en tuberías y pérdida de carga
- Número de Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Régimen de flujo
- laminar por debajo de Re ≈ 2000, turbulento por encima de Re ≈ 4000
- Velocidad media
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Pérdidas localizadas
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valores típicos de K
- entrada 0,5, salida 1,0, codo de 90° ≈ 0,3
- Caída de presión
- Δp = ρ·g·hf
- Dos depósitos abiertos
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Salida libre
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Bombas y potencia de bombeo
- Potencia hidráulica
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Potencia en el eje
- Pshaft = Ph/ηpump
- Potencia eléctrica
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Altura de la bomba
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Pérdidas del sistema
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2Problemas de práctica
1.Fuerza hidrostáticaMedia
Una compuerta rectangular vertical de 2 m de ancho está en la pared de un depósito de agua, con su borde superior a 0,5 m bajo la superficie. Halla la fuerza hidrostática resultante F sobre la compuerta.
d = 0,5 mH = 2,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Fuerza hidrostáticaDifícil
Una compuerta rectangular vertical de 3 m de ancho está en la pared de un depósito de aceite, con su borde superior a 2 m bajo la superficie. Halla la profundidad ycp del centro de presiones bajo la superficie.
d = 2 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Continuidad y BernoulliMedia
Por un venturímetro horizontal con un diámetro de entrada de 200 mm y un diámetro de garganta de 100 mm circula agua. La presión en la entrada es 55 kPa mayor que en la garganta. Despreciando las pérdidas, halla el caudal Q.
d1 = 200 mmd2 = 100 mmp1 − p2 = 55 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.Continuidad y BernoulliDifícil
Por un venturímetro horizontal (entrada de 300 mm, garganta de 150 mm) circula agua. Un manómetro diferencial de mercurio en U conectado entre la entrada y la garganta indica una diferencia de nivel de 90 mm. El coeficiente de descarga es 0,95. Halla el caudal Q. Usa ρ = 1000 kg/m³ para el agua, 13 600 kg/m³ para el mercurio y g = 9,81 m/s².
d1 = 300 mmd2 = 150 mmΔh = 90 mmCd = 0,95ρHg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.Fricción en tuberías y pérdida de cargaMedia
Agua circula a razón de 3 L/s por una tubería de 1000 m de longitud y 50 mm de diámetro interior. Usa el factor de fricción de Darcy f = 0,03 y g = 9,81 m/s². Halla la pérdida de carga por fricción hf.
Q = 3 L/sL = 1000 mD = 50 mmf = 0,03g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Fricción en tuberías y pérdida de cargaDifícil
Dos depósitos abiertos están unidos por una tubería de 150 m de longitud, 150 mm de diámetro interior y factor de fricción de Darcy f = 0,015. La superficie libre del depósito superior está 37 m por encima de la del inferior. Las pérdidas localizadas son una entrada de arista viva (K = 0,5), 3 codos (K = 0,3 cada uno), una válvula (K = 5) y la salida al depósito inferior (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Halla el caudal Q en L/s.
Δz = 37 mL = 150 mD = 150 mmf = 0,015Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×3)Kvalve = 5Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Bombas y potencia de bombeoMedia
Una bomba con un rendimiento del 82 % impulsa 40 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) contra una altura de 64 m. Usa g = 9,81 m/s². Halla la potencia en el eje Pshaft necesaria, en kW.
Q = 40 L/sH = 64 mη = 82%g = 9,81 m/s²
Pshaft = kW
8.Bombas y potencia de bombeoDifícil
Una bomba impulsa 100 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) desde un depósito inferior abierto hasta un depósito superior cuya superficie libre está 14 m más alta. La tubería mide 300 m de longitud, tiene 250 mm de diámetro interior y un factor de fricción de Darcy f = 0,02; los coeficientes de pérdidas localizadas suman ΣK = 6 (entrada y salida incluidas). Usa g = 9,81 m/s². Halla la altura H que debe añadir la bomba.
Q = 100 L/sΔz = 14 mL = 300 mD = 250 mmf = 0,02ΣK = 6
H = m
3Disoluciones
1.Fuerza hidrostática
Respuesta: F = 85,84 kN
Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·yc·A. Actúa en el centro de presiones, ycp = yc + Ic/(ycA), que siempre está por debajo del centroide.
Profundidad del centroide y área
yc = d + H/2 = 0,5 + 2,5/2 = 1,75 m
A = H·b = 2,5·2 = 5 m²
Fuerza resultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·1,75·5 = 85,84 kN
Respuesta
F = 85,84 kN
2.Fuerza hidrostática
Respuesta: ycp = 3,41 m
Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·yc·A. Actúa en el centro de presiones, ycp = yc + Ic/(ycA), que siempre está por debajo del centroide.
Profundidad del centroide y área
yc = d + H/2 = 2 + 2,5/2 = 3,25 m
A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²
Fuerza resultante
F = ρ·g·yc·A = 880·9,81·3,25·7,5 = 210,4 kN
Centro de presiones
La presión aumenta con la profundidad, así que la resultante actúa por debajo del centroide.
Ic = b·H³/12 = 3·2,5³/12 = 3,906 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3,25 + 3,906/(3,25·7,5) = 3,41 m
Respuesta
ycp = 3,41 m
3.Continuidad y Bernoulli
Respuesta: Q = 85,07 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Continuidad
v1 = v2·(100/200)² = 0,25·v2
Bernoulli entre la entrada y la garganta
La tubería es horizontal, así que solo cambian la presión y la velocidad.
p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·55000/(1000·(1 − 0,0625))) = 10,83 m/s
v1 = 2,708 m/s
Caudal
Q = A2·v2 = 0,007854·10,83 = 0,08507 m³/s = 85,07 L/s
Respuesta
Q = 85,07 L/s
4.Continuidad y Bernoulli
Respuesta: Q = 81,78 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Diferencia de presión a partir del manómetro
Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,09 = 11125 Pa
Velocidad en la garganta
La continuidad y Bernoulli juntas dan la velocidad ideal en la garganta.
β = 150/300 = 0,5
v2 = √(2·11125/(1000·(1 − 0,0625))) = 4,872 m/s
Caudal real
Q = Cd·A2·v2 = 0,95·0,01767·4,872 = 0,08178 m³/s = 81,78 L/s
Respuesta
Q = 81,78 L/s
5.Fricción en tuberías y pérdida de carga
Respuesta: hf = 71,39 m
Flujo en tuberías: el número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue el flujo laminar (Re por debajo de unos 2000) del turbulento (por encima de unos 4000). La fricción a lo largo de una tubería produce la pérdida de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Los accesorios, las válvulas, la entrada y la salida añaden pérdidas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre las superficies libres de dos depósitos abiertos la ecuación de la energía da Δz = hf + hm, incluida la pérdida de salida K = 1.
Velocidad media
A = π·0,05²/4 = 0,001963 m²
V = Q/A = 0,003/0,001963 = 1,528 m/s
Altura de velocidad
V²/(2g) = 1,528²/(2·9,81) = 0,119 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(1000/0,05)·1,528²/(2·9,81) = 71,39 m
Respuesta
hf = 71,39 m
6.Fricción en tuberías y pérdida de carga
Respuesta: Q = 100,6 L/s
Flujo en tuberías: el número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue el flujo laminar (Re por debajo de unos 2000) del turbulento (por encima de unos 4000). La fricción a lo largo de una tubería produce la pérdida de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Los accesorios, las válvulas, la entrada y la salida añaden pérdidas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre las superficies libres de dos depósitos abiertos la ecuación de la energía da Δz = hf + hm, incluida la pérdida de salida K = 1.
Coeficientes de pérdida
f·L/D = 0,015·150/0,15 = 15
ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 5 + 1,0 = 7,4
Ecuación de la energía
Las dos superficies están abiertas al aire y prácticamente en reposo, así que todo Δz se pierde en la tubería.
37 = (15 + 7,4)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·37/22,4) = 5,693 m/s
Caudal
Q = V·π·D²/4 = 5,693·0,01767 = 0,1006 m³/s = 100,6 L/s
Respuesta
Q = 100,6 L/s
7.Bombas y potencia de bombeo
Respuesta: Pshaft = 30,63 kW
Potencia de una bomba: la potencia que recibe el agua es la potencia hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. El eje debe entregar más porque la bomba tiene pérdidas: Pshaft = Ph/ηpump, y el motor absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La altura de la bomba H sale de la ecuación de la energía: altura geométrica + altura de presión + todas las pérdidas por fricción y localizadas.
Potencia hidráulica
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,04·64 = 25,11 kW
Potencia en el eje
Pshaft = Ph/η = 25,11/0,82 = 30,63 kW
Respuesta
Pshaft = 30,63 kW
8.Bombas y potencia de bombeo
Respuesta: H = 20,35 m
Potencia de una bomba: la potencia que recibe el agua es la potencia hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. El eje debe entregar más porque la bomba tiene pérdidas: Pshaft = Ph/ηpump, y el motor absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La altura de la bomba H sale de la ecuación de la energía: altura geométrica + altura de presión + todas las pérdidas por fricción y localizadas.
Velocidad
V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s
V²/(2g) = 0,2115 m
Pérdidas de carga
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (24 + 6)·0,2115 = 6,346 m
Altura de la bomba
Las dos superficies están abiertas y prácticamente en reposo, así que los términos de presión y velocidad se anulan.
H = Δz + hL = 14 + 6,346 = 20,35 m
Respuesta
H = 20,35 m
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