Mecánica de fluidos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 8 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Fuerza hidrostática

Presión a una profundidad: p = ρgh
Fuerza sobre una pared vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de presiones: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rectángulo: I_c = bH³/12

Continuidad y Bernoulli

Continuidad: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Caudal: Q = A·v
Área del círculo: A = πd²/4

Fricción en tuberías y pérdida de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Régimen de flujo: laminar por debajo de Re ≈ 2000, turbulento por encima de Re ≈ 4000
Velocidad media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Pérdidas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, salida 1,0, codo de 90° ≈ 0,3
Caída de presión: Δp = ρ·g·h_f
Dos depósitos abiertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Salida libre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas y potencia de bombeo

Potencia hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potencia en el eje: P_shaft = P_h/η_pump
Potencia eléctrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura de la bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Pérdidas del sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Problemas de práctica

1.Fuerza hidrostáticaMedia

Una compuerta rectangular vertical de 1,5 m de ancho está en la pared de un depósito de agua, con su borde superior a 3 m bajo la superficie. Halla la fuerza hidrostática resultante F sobre la compuerta.

d = 3 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Fuerza hidrostáticaDifícil

Una compuerta rectangular vertical de 1,5 m de ancho está en la pared de un depósito de aceite, con su borde superior a 2 m bajo la superficie. Halla la profundidad y_cp del centro de presiones bajo la superficie.

d = 2 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuidad y BernoulliMedia

Un tubo de Pitot estático en un túnel de viento indica una diferencia de 600 Pa entre la presión de estancamiento y la presión estática. La densidad del aire es 1,2 kg/m³. Halla la velocidad del aire v.

p₀ − p = 600 Paρ = 1,2 kg/m³

v = m/s

4.Continuidad y BernoulliDifícil

El agua sube por una tubería que se estrecha de 150 mm a 75 mm mientras asciende 8 m. En la sección 1 la presión es 350 kPa y la velocidad 1,25 m/s. Sin pérdidas, halla la presión p₂ en la sección 2.

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₁ = 350 kPav₁ = 1,25 m/sΔz = 8 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Fricción en tuberías y pérdida de cargaMedia

Agua circula con una velocidad media de 2,1 m/s por una tubería de 200 m de longitud y 150 mm de diámetro interior. Usa el factor de fricción de Darcy f = 0,03 y g = 9,81 m/s². Halla la pérdida de carga por fricción h_f.

V = 2,1 m/sL = 200 mD = 150 mmf = 0,03g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Fricción en tuberías y pérdida de cargaDifícil

Dos depósitos abiertos están unidos por una tubería de 100 m de longitud, 100 mm de diámetro interior y factor de fricción de Darcy f = 0,018. La superficie libre del depósito superior está 25 m por encima de la del inferior. Las pérdidas localizadas son una entrada de arista viva (K = 0,5), 3 codos (K = 0,3 cada uno), una válvula (K = 0,2) y la salida al depósito inferior (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Halla el caudal Q en L/s.

Δz = 25 mL = 100 mD = 100 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 0,2K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Bombas y potencia de bombeoMedia

Una bomba con un rendimiento del 65 % impulsa 80 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) contra una altura de 48 m. Usa g = 9,81 m/s². Halla la potencia en el eje P_shaft necesaria, en kW.

Q = 80 L/sH = 48 mη = 65%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Bombas y potencia de bombeoDifícil

Una bomba impulsa 80 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) desde un depósito inferior abierto hasta un depósito superior cuya superficie libre está 5 m más alta. La tubería mide 300 m de longitud, tiene 200 mm de diámetro interior y un factor de fricción de Darcy f = 0,018; los coeficientes de pérdidas localizadas suman ΣK = 6 (entrada y salida incluidas). Usa g = 9,81 m/s². Halla la altura H que debe añadir la bomba.

Q = 80 L/sΔz = 5 mL = 300 mD = 200 mmf = 0,018ΣK = 6

H = m

3Disoluciones

1.Fuerza hidrostática

Respuesta: F = 51,5 kN

Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·y_c·A. Actúa en el centro de presiones, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que siempre está por debajo del centroide.

Profundidad del centroide y área

y_c = d + H/2 = 3 + 1/2 = 3,5 m

A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²

Fuerza resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,5·1,5 = 51,5 kN

Respuesta

F = 51,5 kN

2.Fuerza hidrostática

Respuesta: y_cp = 3,41 m

Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·y_c·A. Actúa en el centro de presiones, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que siempre está por debajo del centroide.

Profundidad del centroide y área

y_c = d + H/2 = 2 + 2,5/2 = 3,25 m

A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²

Fuerza resultante

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·3,25·3,75 = 105,2 kN

Centro de presiones

La presión aumenta con la profundidad, así que la resultante actúa por debajo del centroide.

I_c = b·H³/12 = 1,5·2,5³/12 = 1,953 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3,25 + 1,953/(3,25·3,75) = 3,41 m

Respuesta

y_cp = 3,41 m

3.Continuidad y Bernoulli

Respuesta: v = 31,62 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Bernoulli hasta el punto de estancamiento

El flujo se detiene en la punta, así que su energía cinética aparece como presión adicional.

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·600/1,2) = 31,62 m/s

Respuesta

v = 31,62 m/s

4.Continuidad y Bernoulli

Respuesta: p₂ = 259,8 kPa

Continuidad y Bernoulli: en un fluido incompresible el caudal es el mismo en todas las secciones, Q = A₁v₁ = A₂v₂. A lo largo de una línea de corriente sin pérdidas, p + ½ρv² + ρgz es constante, así que donde el fluido va más rápido o más alto su presión es menor.

Continuidad y Bernoulli

Trabaja en Pa y después divide entre 1000 para obtener kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1,25·(150/75)² = 5 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1,25² − 5²)/1000 = −11,72 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·8/1000 = 78,48 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 350 + (−11,72) − 78,48 = 259,8 kPa

Respuesta

p₂ = 259,8 kPa

5.Fricción en tuberías y pérdida de carga

Respuesta: h_f = 8,991 m

Flujo en tuberías: el número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue el flujo laminar (Re por debajo de unos 2000) del turbulento (por encima de unos 4000). La fricción a lo largo de una tubería produce la pérdida de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Los accesorios, las válvulas, la entrada y la salida añaden pérdidas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre las superficies libres de dos depósitos abiertos la ecuación de la energía da Δz = h_f + h_m, incluida la pérdida de salida K = 1.

Altura de velocidad

V²/(2g) = 2,1²/(2·9,81) = 0,2248 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(200/0,15)·2,1²/(2·9,81) = 8,991 m

Respuesta

h_f = 8,991 m

6.Fricción en tuberías y pérdida de carga

Respuesta: Q = 38,32 L/s

Coeficientes de pérdida

f·L/D = 0,018·100/0,1 = 18

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,6

Ecuación de la energía

Las dos superficies están abiertas al aire y prácticamente en reposo, así que todo Δz se pierde en la tubería.

25 = (18 + 2,6)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·25/20,6) = 4,88 m/s

Caudal

Q = V·π·D²/4 = 4,88·0,007854 = 0,03832 m³/s = 38,32 L/s

Respuesta

Q = 38,32 L/s

7.Bombas y potencia de bombeo

Respuesta: P_shaft = 57,95 kW

Potencia de una bomba: la potencia que recibe el agua es la potencia hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. El eje debe entregar más porque la bomba tiene pérdidas: P_shaft = P_h/η_pump, y el motor absorbe P_el = P_shaft/η_motor. La altura de la bomba H sale de la ecuación de la energía: altura geométrica + altura de presión + todas las pérdidas por fricción y localizadas.

Potencia hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,08·48 = 37,67 kW

Potencia en el eje

P_shaft = P_h/η = 37,67/0,65 = 57,95 kW

Respuesta

P_shaft = 57,95 kW

8.Bombas y potencia de bombeo

Respuesta: H = 15,91 m

Velocidad

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Pérdidas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (27 + 6)·0,3305 = 10,91 m

Altura de la bomba

Las dos superficies están abiertas y prácticamente en reposo, así que los términos de presión y velocidad se anulan.

H = Δz + h_L = 5 + 10,91 = 15,91 m

Respuesta

H = 15,91 m

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