Mecánica de fluidos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 8 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Fuerza hidrostática

Presión a una profundidad: p = ρgh
Fuerza sobre una pared vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de presiones: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rectángulo: I_c = bH³/12

Continuidad y Bernoulli

Continuidad: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Caudal: Q = A·v
Área del círculo: A = πd²/4

Fricción en tuberías y pérdida de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Régimen de flujo: laminar por debajo de Re ≈ 2000, turbulento por encima de Re ≈ 4000
Velocidad media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Pérdidas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, salida 1,0, codo de 90° ≈ 0,3
Caída de presión: Δp = ρ·g·h_f
Dos depósitos abiertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Salida libre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas y potencia de bombeo

Potencia hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potencia en el eje: P_shaft = P_h/η_pump
Potencia eléctrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura de la bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Pérdidas del sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Problemas de práctica

1.Fuerza hidrostáticaMedia

Una compuerta rectangular vertical de 1 m de ancho está en la pared de un depósito de agua, con su borde superior a 1,5 m bajo la superficie. Halla la fuerza hidrostática resultante F sobre la compuerta.

d = 1,5 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Fuerza hidrostáticaDifícil

Una compuerta rectangular vertical de 1,5 m de ancho está en la pared de un depósito de glicerina, con su borde superior a 0,5 m bajo la superficie. Halla la profundidad y_cp del centro de presiones bajo la superficie.

d = 0,5 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuidad y BernoulliMedia

El agua circula por una tubería horizontal que se estrecha de 75 mm a 40 mm. En el tramo ancho la presión es 280 kPa y la velocidad 2 m/s. Sin pérdidas, halla la presión p₂ en el tramo estrecho.

d₁ = 75 mmd₂ = 40 mmp₁ = 280 kPav₁ = 2 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Continuidad y BernoulliDifícil

La tobera de una fuente apunta verticalmente hacia arriba. Justo debajo de la tobera, la tubería de alimentación tiene un diámetro de 100 mm y una presión manométrica de 70 kPa. El diámetro de salida de la tobera es 25 mm, y la diferencia de altura a través de la tobera es despreciable. Despreciando las pérdidas y la resistencia del aire, halla la altura H que sube el chorro por encima de la tobera. Usa g = 9,81 m/s².

d₁ = 100 mmp₁ = 70 kPa (manométrica)d₂ = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

H = m

5.Fricción en tuberías y pérdida de cargaMedia

Agua circula a razón de 75 L/s por una tubería de 400 m de longitud y 300 mm de diámetro interior. Usa el factor de fricción de Darcy f = 0,03 y g = 9,81 m/s². Halla la pérdida de carga por fricción h_f.

Q = 75 L/sL = 400 mD = 300 mmf = 0,03g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Fricción en tuberías y pérdida de cargaDifícil

Dos depósitos abiertos están unidos por una tubería de 100 m de longitud, 200 mm de diámetro interior y factor de fricción de Darcy f = 0,022. Las pérdidas localizadas son una entrada de arista viva (K = 0,5), 3 codos (K = 0,3 cada uno), una válvula (K = 0,2) y la salida al depósito inferior (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². ¿Qué diferencia de nivel de agua Δz entre los depósitos da un caudal de 75 L/s?

Q = 75 L/sL = 100 mD = 200 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 0,2K_exit = 1,0

Δz = m

7.Bombas y potencia de bombeoMedia

En un ensayo, una bomba impulsa 100 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) contra una altura de 18 m mientras su eje absorbe 22,1 kW. Usa g = 9,81 m/s². Halla el rendimiento de la bomba η en porcentaje.

Q = 100 L/sH = 18 mP_shaft = 22,1 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Bombas y potencia de bombeoDifícil

Una bomba impulsa 40 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) desde un depósito inferior abierto hasta un depósito superior cuya superficie libre está 5 m más alta. La tubería mide 400 m de longitud, tiene 200 mm de diámetro interior y un factor de fricción de Darcy f = 0,022; los coeficientes de pérdidas localizadas suman ΣK = 8 (entrada y salida incluidas). Usa g = 9,81 m/s². El rendimiento de la bomba es del 80 %. Halla la potencia en el eje P_shaft en kW.

Q = 40 L/sΔz = 5 mL = 400 mD = 200 mmf = 0,022ΣK = 8η = 80%

P_shaft = kW

3Disoluciones

1.Fuerza hidrostática

Respuesta: F = 88,29 kN

Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·y_c·A. Actúa en el centro de presiones, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que siempre está por debajo del centroide.

Profundidad del centroide y área

y_c = d + H/2 = 1,5 + 3/2 = 3 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

Fuerza resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3·3 = 88,29 kN

Respuesta

F = 88,29 kN

2.Fuerza hidrostática

Respuesta: y_cp = 1,083 m

Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·y_c·A. Actúa en el centro de presiones, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que siempre está por debajo del centroide.

Profundidad del centroide y área

y_c = d + H/2 = 0,5 + 1/2 = 1 m

A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²

Fuerza resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·1·1,5 = 18,54 kN

Centro de presiones

La presión aumenta con la profundidad, así que la resultante actúa por debajo del centroide.

I_c = b·H³/12 = 1,5·1³/12 = 0,125 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1 + 0,125/(1·1,5) = 1,083 m

Respuesta

y_cp = 1,083 m

3.Continuidad y Bernoulli

Respuesta: p₂ = 257,3 kPa

Continuidad y Bernoulli: en un fluido incompresible el caudal es el mismo en todas las secciones, Q = A₁v₁ = A₂v₂. A lo largo de una línea de corriente sin pérdidas, p + ½ρv² + ρgz es constante, así que donde el fluido va más rápido o más alto su presión es menor.

Continuidad y Bernoulli

Trabaja en Pa y después divide entre 1000 para obtener kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2·(75/40)² = 7,031 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2² − 7,031²)/1000 = −22,72 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 280 + (−22,72) = 257,3 kPa

Respuesta

p₂ = 257,3 kPa

4.Continuidad y Bernoulli

Respuesta: H = 7,164 m

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Velocidad de salida

β = 25/100 = 0,25

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·70000/(1000·0,9961)) = 11,86 m/s

Altura del chorro

Bernoulli a lo largo del chorro: en lo más alto la velocidad es nula y la presión vuelve a ser la atmosférica.

H = v₂²/(2g) = 11,86²/(2·9,81) = 7,164 m

Respuesta

H = 7,164 m

5.Fricción en tuberías y pérdida de carga

Respuesta: h_f = 2,295 m

Flujo en tuberías: el número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue el flujo laminar (Re por debajo de unos 2000) del turbulento (por encima de unos 4000). La fricción a lo largo de una tubería produce la pérdida de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Los accesorios, las válvulas, la entrada y la salida añaden pérdidas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre las superficies libres de dos depósitos abiertos la ecuación de la energía da Δz = h_f + h_m, incluida la pérdida de salida K = 1.

Velocidad media

A = π·0,3²/4 = 0,07069 m²

V = Q/A = 0,075/0,07069 = 1,061 m/s

Altura de velocidad

V²/(2g) = 1,061²/(2·9,81) = 0,05738 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(400/0,3)·1,061²/(2·9,81) = 2,295 m

Respuesta

h_f = 2,295 m

6.Fricción en tuberías y pérdida de carga

Respuesta: Δz = 3,951 m

Velocidad

V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s

V²/(2g) = 0,2905 m

Coeficientes de pérdida

f·L/D = 0,022·100/0,2 = 11

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,6

Pérdida de carga total

h_f = 11·0,2905 = 3,195 m

h_m = 2,6·0,2905 = 0,7553 m

Δz = h_f + h_m = 3,951 m

Respuesta

Δz = 3,951 m

7.Bombas y potencia de bombeo

Respuesta: η = 79,9 %

Potencia de una bomba: la potencia que recibe el agua es la potencia hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. El eje debe entregar más porque la bomba tiene pérdidas: P_shaft = P_h/η_pump, y el motor absorbe P_el = P_shaft/η_motor. La altura de la bomba H sale de la ecuación de la energía: altura geométrica + altura de presión + todas las pérdidas por fricción y localizadas.

Potencia hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,1·18 = 17,66 kW

Rendimiento

η = P_h/P_shaft = 17,66/22,1 = 79,9%

Respuesta

η = 79,9%

8.Bombas y potencia de bombeo

Respuesta: P_shaft = 4,56 kW

Velocidad

V = Q/A = 0,04/0,03142 = 1,273 m/s

V²/(2g) = 0,08263 m

Pérdidas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (44 + 8)·0,08263 = 4,297 m

Altura de la bomba

H = Δz + h_L = 5 + 4,297 = 9,297 m

Potencia en el eje

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,04·9,297/0,8 = 4,56 kW

Respuesta

P_shaft = 4,56 kW

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