Fuerza hidrostática
- Presión a una profundidad
- p = ρgh
- Fuerza sobre una pared vertical
- F = ρg·hc·A
- Centro de presiones
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rectángulo
- Ic = bH³/12
Mecánica de fluidos: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 8 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Continuidad y Bernoulli
- Continuidad
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Caudal
- Q = A·v
- Área del círculo
- A = πd²/4
Fricción en tuberías y pérdida de carga
- Número de Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Régimen de flujo
- laminar por debajo de Re ≈ 2000, turbulento por encima de Re ≈ 4000
- Velocidad media
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Pérdidas localizadas
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valores típicos de K
- entrada 0,5, salida 1,0, codo de 90° ≈ 0,3
- Caída de presión
- Δp = ρ·g·hf
- Dos depósitos abiertos
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Salida libre
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Bombas y potencia de bombeo
- Potencia hidráulica
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Potencia en el eje
- Pshaft = Ph/ηpump
- Potencia eléctrica
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Altura de la bomba
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Pérdidas del sistema
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2Problemas de práctica
1.Fuerza hidrostáticaMedia
Una compuerta rectangular vertical de 2 m de ancho está en la pared de un depósito de agua, con su borde superior a 2 m bajo la superficie. Halla la fuerza hidrostática resultante F sobre la compuerta.
d = 2 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Fuerza hidrostáticaDifícil
Una compuerta rectangular vertical de 3 m de ancho está en la pared de un depósito de aceite, con su borde superior a 4 m bajo la superficie. Halla la fuerza hidrostática resultante F sobre la compuerta.
d = 4 mH = 3 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Continuidad y BernoulliMedia
El agua circula por una tubería horizontal que se estrecha de 100 mm a 50 mm. En el tramo ancho la presión es 180 kPa y la velocidad 3 m/s. Sin pérdidas, halla la presión p2 en el tramo estrecho.
d1 = 100 mmd2 = 50 mmp1 = 180 kPav1 = 3 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Continuidad y BernoulliDifícil
Una manguera de 32 mm de diámetro interior saca agua por sifón de un depósito abierto. El punto más alto C de la manguera está 2 m por encima de la superficie del agua, y la salida (abierta al aire) está 4,5 m por debajo de la superficie del agua. Desprecia las pérdidas y toma g = 9,81 m/s². Halla el caudal Q.
d = 32 mmzC = +2 mz2 = −4,5 mg = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.Fricción en tuberías y pérdida de cargaMedia
Agua circula a razón de 50 L/s por una tubería de 100 m de longitud y 150 mm de diámetro interior. Usa el factor de fricción de Darcy f = 0,018 y g = 9,81 m/s². Halla la pérdida de carga por fricción hf.
Q = 50 L/sL = 100 mD = 150 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Fricción en tuberías y pérdida de cargaDifícil
Dos depósitos abiertos están unidos por una tubería de 400 m de longitud, 200 mm de diámetro interior y factor de fricción de Darcy f = 0,015. La superficie libre del depósito superior está 15 m por encima de la del inferior. Las pérdidas localizadas son una entrada de arista viva (K = 0,5), 2 codos (K = 0,3 cada uno), una válvula (K = 10) y la salida al depósito inferior (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Halla el caudal Q en L/s.
Δz = 15 mL = 400 mD = 200 mmf = 0,015Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×2)Kvalve = 10Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Bombas y potencia de bombeoMedia
Una bomba impulsa 25 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) contra una altura de 20 m. El rendimiento de la bomba es del 65 % y el motor eléctrico que la acciona tiene un rendimiento del 88 %. Usa g = 9,81 m/s². Halla la potencia eléctrica Pel que absorbe el motor, en kW.
Q = 25 L/sH = 20 mηpump = 65%ηmotor = 88%g = 9,81 m/s²
Pel = kW
8.Bombas y potencia de bombeoDifícil
Una bomba impulsa 60 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) desde un depósito inferior abierto hasta un depósito superior cuya superficie libre está 6 m más alta. La tubería mide 100 m de longitud, tiene 250 mm de diámetro interior y un factor de fricción de Darcy f = 0,025; los coeficientes de pérdidas localizadas suman ΣK = 6 (entrada y salida incluidas). Usa g = 9,81 m/s². El depósito superior está cerrado y el aire sobre el agua está a una presión manométrica de 350 kPa. Halla la altura H que debe añadir la bomba.
Q = 60 L/sΔz = 6 mL = 100 mD = 250 mmf = 0,025ΣK = 6ptank = 350 kPa
H = m
3Disoluciones
1.Fuerza hidrostática
Respuesta: F = 206 kN
Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·yc·A. Actúa en el centro de presiones, ycp = yc + Ic/(ycA), que siempre está por debajo del centroide.
Profundidad del centroide y área
yc = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3,5 m
A = H·b = 3·2 = 6 m²
Fuerza resultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·3,5·6 = 206 kN
Respuesta
F = 206 kN
2.Fuerza hidrostática
Respuesta: F = 427,3 kN
Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·yc·A. Actúa en el centro de presiones, ycp = yc + Ic/(ycA), que siempre está por debajo del centroide.
Profundidad del centroide y área
yc = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5,5 m
A = H·b = 3·3 = 9 m²
Fuerza resultante
F = ρ·g·yc·A = 880·9,81·5,5·9 = 427,3 kN
Respuesta
F = 427,3 kN
3.Continuidad y Bernoulli
Respuesta: p2 = 112,5 kPa
Continuidad y Bernoulli: en un fluido incompresible el caudal es el mismo en todas las secciones, Q = A₁v₁ = A₂v₂. A lo largo de una línea de corriente sin pérdidas, p + ½ρv² + ρgz es constante, así que donde el fluido va más rápido o más alto su presión es menor.
Continuidad y Bernoulli
Trabaja en Pa y después divide entre 1000 para obtener kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 3·(100/50)² = 12 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(3² − 12²)/1000 = −67,5 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 180 + (−67,5) = 112,5 kPa
Respuesta
p2 = 112,5 kPa
4.Continuidad y Bernoulli
Respuesta: Q = 7,557 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Velocidad en la manguera
La superficie y la salida están abiertas al aire, así que los términos de presión se anulan.
v = √(2g·4,5) = √(2·9,81·4,5) = 9,396 m/s
Caudal
Q = A·v = 0,0008042·9,396 = 0,007557 m³/s = 7,557 L/s
Respuesta
Q = 7,557 L/s
5.Fricción en tuberías y pérdida de carga
Respuesta: hf = 4,896 m
Flujo en tuberías: el número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue el flujo laminar (Re por debajo de unos 2000) del turbulento (por encima de unos 4000). La fricción a lo largo de una tubería produce la pérdida de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Los accesorios, las válvulas, la entrada y la salida añaden pérdidas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre las superficies libres de dos depósitos abiertos la ecuación de la energía da Δz = hf + hm, incluida la pérdida de salida K = 1.
Velocidad media
A = π·0,15²/4 = 0,01767 m²
V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s
Altura de velocidad
V²/(2g) = 2,829²/(2·9,81) = 0,408 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(100/0,15)·2,829²/(2·9,81) = 4,896 m
Respuesta
hf = 4,896 m
6.Fricción en tuberías y pérdida de carga
Respuesta: Q = 83,06 L/s
Flujo en tuberías: el número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue el flujo laminar (Re por debajo de unos 2000) del turbulento (por encima de unos 4000). La fricción a lo largo de una tubería produce la pérdida de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Los accesorios, las válvulas, la entrada y la salida añaden pérdidas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre las superficies libres de dos depósitos abiertos la ecuación de la energía da Δz = hf + hm, incluida la pérdida de salida K = 1.
Coeficientes de pérdida
f·L/D = 0,015·400/0,2 = 30
ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 10 + 1,0 = 12,1
Ecuación de la energía
Las dos superficies están abiertas al aire y prácticamente en reposo, así que todo Δz se pierde en la tubería.
15 = (30 + 12,1)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·15/42,1) = 2,644 m/s
Caudal
Q = V·π·D²/4 = 2,644·0,03142 = 0,08306 m³/s = 83,06 L/s
Respuesta
Q = 83,06 L/s
7.Bombas y potencia de bombeo
Respuesta: Pel = 8,575 kW
Potencia de una bomba: la potencia que recibe el agua es la potencia hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. El eje debe entregar más porque la bomba tiene pérdidas: Pshaft = Ph/ηpump, y el motor absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La altura de la bomba H sale de la ecuación de la energía: altura geométrica + altura de presión + todas las pérdidas por fricción y localizadas.
Potencia hidráulica
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,025·20 = 4,905 kW
Potencia en el eje
Pshaft = 4,905/0,65 = 7,546 kW
Potencia eléctrica
Pel = 7,546/0,88 = 8,575 kW
Respuesta
Pel = 8,575 kW
8.Bombas y potencia de bombeo
Respuesta: H = 42,9 m
Potencia de una bomba: la potencia que recibe el agua es la potencia hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. El eje debe entregar más porque la bomba tiene pérdidas: Pshaft = Ph/ηpump, y el motor absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La altura de la bomba H sale de la ecuación de la energía: altura geométrica + altura de presión + todas las pérdidas por fricción y localizadas.
Velocidad
V = Q/A = 0,06/0,04909 = 1,222 m/s
V²/(2g) = 0,07615 m
Pérdidas de carga
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (10 + 6)·0,07615 = 1,218 m
Altura de presión
p/(ρ·g) = 350000/(1000·9,81) = 35,68 m
Altura de la bomba
Las dos superficies están prácticamente en reposo, así que no hay término de altura de velocidad.
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 6 + 35,68 + 1,218 = 42,9 m
Respuesta
H = 42,9 m
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