Mecánica de fluidos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 8 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Fuerza hidrostática

Presión a una profundidad: p = ρgh
Fuerza sobre una pared vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de presiones: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rectángulo: I_c = bH³/12

Continuidad y Bernoulli

Continuidad: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Caudal: Q = A·v
Área del círculo: A = πd²/4

Fricción en tuberías y pérdida de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Régimen de flujo: laminar por debajo de Re ≈ 2000, turbulento por encima de Re ≈ 4000
Velocidad media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Pérdidas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, salida 1,0, codo de 90° ≈ 0,3
Caída de presión: Δp = ρ·g·h_f
Dos depósitos abiertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Salida libre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas y potencia de bombeo

Potencia hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potencia en el eje: P_shaft = P_h/η_pump
Potencia eléctrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura de la bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Pérdidas del sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Problemas de práctica

1.Fuerza hidrostáticaMedia

Una compuerta rectangular vertical de 3 m de ancho está en la pared de un depósito de agua, con su borde superior a 0,5 m bajo la superficie. Halla la fuerza hidrostática resultante F sobre la compuerta.

d = 0,5 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Fuerza hidrostáticaDifícil

Una compuerta rectangular vertical de 1,5 m de ancho está en la pared de un depósito de agua de mar, con su borde superior a 2 m bajo la superficie. Halla la fuerza hidrostática resultante F sobre la compuerta.

d = 2 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuidad y BernoulliMedia

Por una tubería horizontal que se estrecha de 200 mm a 100 mm circulan 23 L/s de agua. La presión en la sección estrecha es 220 kPa. Despreciando las pérdidas, halla la presión p₁ en la sección ancha.

Q = 23 L/sd₁ = 200 mmd₂ = 100 mmp₂ = 220 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

4.Continuidad y BernoulliDifícil

Una manguera de 25 mm de diámetro interior saca agua por sifón de un depósito abierto. El punto más alto C de la manguera está 2 m por encima de la superficie del agua, y la salida (abierta al aire) está 1 m por debajo de la superficie del agua. Desprecia las pérdidas y toma g = 9,81 m/s². Halla la presión absoluta p_C en el punto C. La presión atmosférica es 101,3 kPa.

d = 25 mmz_C = +2 mz₂ = −1 mg = 9,81 m/s²p_atm = 101,3 kPa

p_C = kPa

5.Fricción en tuberías y pérdida de cargaMedia

Agua circula con una velocidad media de 1 m/s por una tubería de 300 m de longitud y 150 mm de diámetro interior. Usa el factor de fricción de Darcy f = 0,028 y g = 9,81 m/s². Halla la pérdida de carga por fricción h_f.

V = 1 m/sL = 300 mD = 150 mmf = 0,028g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Fricción en tuberías y pérdida de cargaDifícil

Una tubería de 200 m de longitud y 100 mm de diámetro interior (factor de fricción de Darcy f = 0,015) sale de un depósito abierto y descarga como chorro libre a la atmósfera. Las pérdidas localizadas son una entrada de arista viva (K = 0,5), 2 codos (K = 0,3 cada uno) y una válvula (K = 10). Usa g = 9,81 m/s². ¿A qué altura H debe estar la superficie del depósito sobre la salida de la tubería para un caudal de 12 L/s?

Q = 12 L/sL = 200 mD = 100 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 10

H = m

7.Bombas y potencia de bombeoMedia

Una bomba con un rendimiento del 78 % impulsa 25 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) contra una altura de 74 m. Usa g = 9,81 m/s². Halla la potencia en el eje P_shaft necesaria, en kW.

Q = 25 L/sH = 74 mη = 78%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Bombas y potencia de bombeoDifícil

Una bomba impulsa 50 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) desde un depósito inferior abierto hasta un depósito superior cuya superficie libre está 5 m más alta. La tubería mide 100 m de longitud, tiene 150 mm de diámetro interior y un factor de fricción de Darcy f = 0,025; los coeficientes de pérdidas localizadas suman ΣK = 5 (entrada y salida incluidas). Usa g = 9,81 m/s². Halla la altura H que debe añadir la bomba.

Q = 50 L/sΔz = 5 mL = 100 mD = 150 mmf = 0,025ΣK = 5

H = m

3Disoluciones

1.Fuerza hidrostática

Respuesta: F = 176,6 kN

Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·y_c·A. Actúa en el centro de presiones, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que siempre está por debajo del centroide.

Profundidad del centroide y área

y_c = d + H/2 = 0,5 + 3/2 = 2 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

Fuerza resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2·9 = 176,6 kN

Respuesta

F = 176,6 kN

2.Fuerza hidrostática

Respuesta: F = 122,5 kN

Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·y_c·A. Actúa en el centro de presiones, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que siempre está por debajo del centroide.

Profundidad del centroide y área

y_c = d + H/2 = 2 + 2,5/2 = 3,25 m

A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²

Fuerza resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·3,25·3,75 = 122,5 kN

Respuesta

F = 122,5 kN

3.Continuidad y Bernoulli

Respuesta: p₁ = 224 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Velocidades

v₁ = Q/A₁ = 0,023/0,03142 = 0,7321 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0,023/0,007854 = 2,928 m/s

Bernoulli

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 220 + ½·1000·(2,928² − 0,7321²)/1000 = 220 + 4,02 = 224 kPa

Respuesta

p₁ = 224 kPa

4.Continuidad y Bernoulli

Respuesta: p_C = 71,87 kPa

Velocidad en la manguera

La superficie y la salida están abiertas al aire, así que los términos de presión se anulan.

v = √(2g·1) = √(2·9,81·1) = 4,429 m/s

Bernoulli de la superficie a C

p_atm = p_C + ½ρv² + ρgz_C

p_C = 101,3 − 1000·(4,429²/2 + 9,81·2)/1000 = 101,3 − 29,43 = 71,87 kPa

Respuesta

p_C = 71,87 kPa

Si esta presión baja hasta la presión de vapor del agua, el sifón deja de funcionar.

5.Fricción en tuberías y pérdida de carga

Respuesta: h_f = 2,854 m

Flujo en tuberías: el número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue el flujo laminar (Re por debajo de unos 2000) del turbulento (por encima de unos 4000). La fricción a lo largo de una tubería produce la pérdida de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Los accesorios, las válvulas, la entrada y la salida añaden pérdidas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre las superficies libres de dos depósitos abiertos la ecuación de la energía da Δz = h_f + h_m, incluida la pérdida de salida K = 1.

Altura de velocidad

V²/(2g) = 1²/(2·9,81) = 0,05097 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(300/0,15)·1²/(2·9,81) = 2,854 m

Respuesta

h_f = 2,854 m

6.Fricción en tuberías y pérdida de carga

Respuesta: H = 5,009 m

Velocidad

V = Q/A = 0,012/0,007854 = 1,528 m/s

V²/(2g) = 0,119 m

Coeficientes de pérdida

f·L/D = 0,015·200/0,1 = 30

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 10 = 11,1

Ecuación de la energía

El chorro de salida conserva su altura de velocidad; no es una pérdida, pero hay que aportarla.

H = (1 + 30 + 11,1)·0,119 = 5,009 m

Respuesta

H = 5,009 m

7.Bombas y potencia de bombeo

Respuesta: P_shaft = 23,27 kW

Potencia de una bomba: la potencia que recibe el agua es la potencia hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. El eje debe entregar más porque la bomba tiene pérdidas: P_shaft = P_h/η_pump, y el motor absorbe P_el = P_shaft/η_motor. La altura de la bomba H sale de la ecuación de la energía: altura geométrica + altura de presión + todas las pérdidas por fricción y localizadas.

Potencia hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,025·74 = 18,15 kW

Potencia en el eje

P_shaft = P_h/η = 18,15/0,78 = 23,27 kW

Respuesta

P_shaft = 23,27 kW

8.Bombas y potencia de bombeo

Respuesta: H = 13,84 m

Velocidad

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Pérdidas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (16,67 + 5)·0,408 = 8,841 m

Altura de la bomba

Las dos superficies están abiertas y prácticamente en reposo, así que los términos de presión y velocidad se anulan.

H = Δz + h_L = 5 + 8,841 = 13,84 m

Respuesta

H = 13,84 m

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