Fuerza hidrostática
- Presión a una profundidad
- p = ρgh
- Fuerza sobre una pared vertical
- F = ρg·hc·A
- Centro de presiones
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rectángulo
- Ic = bH³/12
Mecánica de fluidos: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 8 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Continuidad y Bernoulli
- Continuidad
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Caudal
- Q = A·v
- Área del círculo
- A = πd²/4
Fricción en tuberías y pérdida de carga
- Número de Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Régimen de flujo
- laminar por debajo de Re ≈ 2000, turbulento por encima de Re ≈ 4000
- Velocidad media
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Pérdidas localizadas
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valores típicos de K
- entrada 0,5, salida 1,0, codo de 90° ≈ 0,3
- Caída de presión
- Δp = ρ·g·hf
- Dos depósitos abiertos
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Salida libre
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Bombas y potencia de bombeo
- Potencia hidráulica
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Potencia en el eje
- Pshaft = Ph/ηpump
- Potencia eléctrica
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Altura de la bomba
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Pérdidas del sistema
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2Problemas de práctica
1.Fuerza hidrostáticaMedia
Una compuerta rectangular vertical de 2 m de ancho está en la pared de un depósito de agua, con su borde superior a 2,5 m bajo la superficie. Halla la fuerza hidrostática resultante F sobre la compuerta.
d = 2,5 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Fuerza hidrostáticaDifícil
Una compuerta rectangular vertical de 3 m de ancho está en la pared de un depósito de aceite, con su borde superior a 2 m bajo la superficie. Halla la profundidad ycp del centro de presiones bajo la superficie.
d = 2 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Continuidad y BernoulliMedia
El agua circula por una tubería horizontal que se estrecha de 100 mm a 50 mm. En el tramo ancho la presión es 360 kPa y la velocidad 1 m/s. Sin pérdidas, halla la presión p2 en el tramo estrecho.
d1 = 100 mmd2 = 50 mmp1 = 360 kPav1 = 1 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Continuidad y BernoulliDifícil
Una manguera de 50 mm de diámetro interior saca agua por sifón de un depósito abierto. El punto más alto C de la manguera está 0,5 m por encima de la superficie del agua, y la salida (abierta al aire) está 4,5 m por debajo de la superficie del agua. Desprecia las pérdidas y toma g = 9,81 m/s². Halla la presión absoluta pC en el punto C. La presión atmosférica es 101,3 kPa.
d = 50 mmzC = +0,5 mz2 = −4,5 mg = 9,81 m/s²patm = 101,3 kPa
pC = kPa
5.Fricción en tuberías y pérdida de cargaMedia
Agua circula a razón de 5 L/s por una tubería de 300 m de longitud y 75 mm de diámetro interior. Usa el factor de fricción de Darcy f = 0,025 y g = 9,81 m/s². Halla la pérdida de carga por fricción hf.
Q = 5 L/sL = 300 mD = 75 mmf = 0,025g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Fricción en tuberías y pérdida de cargaDifícil
Una tubería de 100 m de longitud y 300 mm de diámetro interior (factor de fricción de Darcy f = 0,02) sale de un depósito abierto y descarga como chorro libre a la atmósfera. Las pérdidas localizadas son una entrada de arista viva (K = 0,5), 4 codos (K = 0,3 cada uno) y una válvula (K = 0,2). Usa g = 9,81 m/s². ¿A qué altura H debe estar la superficie del depósito sobre la salida de la tubería para un caudal de 150 L/s?
Q = 150 L/sL = 100 mD = 300 mmf = 0,02Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 0,2
H = m
7.Bombas y potencia de bombeoMedia
En un ensayo, una bomba impulsa 80 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) contra una altura de 24 m mientras su eje absorbe 23 kW. Usa g = 9,81 m/s². Halla el rendimiento de la bomba η en porcentaje.
Q = 80 L/sH = 24 mPshaft = 23 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Bombas y potencia de bombeoDifícil
Una bomba impulsa 75 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) desde un depósito inferior abierto hasta un depósito superior cuya superficie libre está 21 m más alta. La tubería mide 300 m de longitud, tiene 200 mm de diámetro interior y un factor de fricción de Darcy f = 0,018; los coeficientes de pérdidas localizadas suman ΣK = 6 (entrada y salida incluidas). Usa g = 9,81 m/s². Halla la altura H que debe añadir la bomba.
Q = 75 L/sΔz = 21 mL = 300 mD = 200 mmf = 0,018ΣK = 6
H = m
3Disoluciones
1.Fuerza hidrostática
Respuesta: F = 58,86 kN
Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·yc·A. Actúa en el centro de presiones, ycp = yc + Ic/(ycA), que siempre está por debajo del centroide.
Profundidad del centroide y área
yc = d + H/2 = 2,5 + 1/2 = 3 m
A = H·b = 1·2 = 2 m²
Fuerza resultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·3·2 = 58,86 kN
Respuesta
F = 58,86 kN
2.Fuerza hidrostática
Respuesta: ycp = 2,818 m
Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·yc·A. Actúa en el centro de presiones, ycp = yc + Ic/(ycA), que siempre está por debajo del centroide.
Profundidad del centroide y área
yc = d + H/2 = 2 + 1,5/2 = 2,75 m
A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²
Fuerza resultante
F = ρ·g·yc·A = 880·9,81·2,75·4,5 = 106,8 kN
Centro de presiones
La presión aumenta con la profundidad, así que la resultante actúa por debajo del centroide.
Ic = b·H³/12 = 3·1,5³/12 = 0,8438 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 2,75 + 0,8438/(2,75·4,5) = 2,818 m
Respuesta
ycp = 2,818 m
3.Continuidad y Bernoulli
Respuesta: p2 = 352,5 kPa
Continuidad y Bernoulli: en un fluido incompresible el caudal es el mismo en todas las secciones, Q = A₁v₁ = A₂v₂. A lo largo de una línea de corriente sin pérdidas, p + ½ρv² + ρgz es constante, así que donde el fluido va más rápido o más alto su presión es menor.
Continuidad y Bernoulli
Trabaja en Pa y después divide entre 1000 para obtener kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 1·(100/50)² = 4 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1² − 4²)/1000 = −7,5 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 360 + (−7,5) = 352,5 kPa
Respuesta
p2 = 352,5 kPa
4.Continuidad y Bernoulli
Respuesta: pC = 52,25 kPa
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Velocidad en la manguera
La superficie y la salida están abiertas al aire, así que los términos de presión se anulan.
v = √(2g·4,5) = √(2·9,81·4,5) = 9,396 m/s
Bernoulli de la superficie a C
patm = pC + ½ρv² + ρgzC
pC = 101,3 − 1000·(9,396²/2 + 9,81·0,5)/1000 = 101,3 − 49,05 = 52,25 kPa
Respuesta
pC = 52,25 kPa
Si esta presión baja hasta la presión de vapor del agua, el sifón deja de funcionar.
5.Fricción en tuberías y pérdida de carga
Respuesta: hf = 6,529 m
Flujo en tuberías: el número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue el flujo laminar (Re por debajo de unos 2000) del turbulento (por encima de unos 4000). La fricción a lo largo de una tubería produce la pérdida de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Los accesorios, las válvulas, la entrada y la salida añaden pérdidas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre las superficies libres de dos depósitos abiertos la ecuación de la energía da Δz = hf + hm, incluida la pérdida de salida K = 1.
Velocidad media
A = π·0,075²/4 = 0,004418 m²
V = Q/A = 0,005/0,004418 = 1,132 m/s
Altura de velocidad
V²/(2g) = 1,132²/(2·9,81) = 0,06529 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(300/0,075)·1,132²/(2·9,81) = 6,529 m
Respuesta
hf = 6,529 m
6.Fricción en tuberías y pérdida de carga
Respuesta: H = 2,196 m
Flujo en tuberías: el número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue el flujo laminar (Re por debajo de unos 2000) del turbulento (por encima de unos 4000). La fricción a lo largo de una tubería produce la pérdida de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Los accesorios, las válvulas, la entrada y la salida añaden pérdidas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre las superficies libres de dos depósitos abiertos la ecuación de la energía da Δz = hf + hm, incluida la pérdida de salida K = 1.
Velocidad
V = Q/A = 0,15/0,07069 = 2,122 m/s
V²/(2g) = 0,2295 m
Coeficientes de pérdida
f·L/D = 0,02·100/0,3 = 6,667
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 0,2 = 1,9
Ecuación de la energía
El chorro de salida conserva su altura de velocidad; no es una pérdida, pero hay que aportarla.
H = (1 + 6,667 + 1,9)·0,2295 = 2,196 m
Respuesta
H = 2,196 m
7.Bombas y potencia de bombeo
Respuesta: η = 81,89 %
Potencia de una bomba: la potencia que recibe el agua es la potencia hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. El eje debe entregar más porque la bomba tiene pérdidas: Pshaft = Ph/ηpump, y el motor absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La altura de la bomba H sale de la ecuación de la energía: altura geométrica + altura de presión + todas las pérdidas por fricción y localizadas.
Potencia hidráulica
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,08·24 = 18,84 kW
Rendimiento
η = Ph/Pshaft = 18,84/23 = 81,89%
Respuesta
η = 81,89%
8.Bombas y potencia de bombeo
Respuesta: H = 30,59 m
Potencia de una bomba: la potencia que recibe el agua es la potencia hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. El eje debe entregar más porque la bomba tiene pérdidas: Pshaft = Ph/ηpump, y el motor absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La altura de la bomba H sale de la ecuación de la energía: altura geométrica + altura de presión + todas las pérdidas por fricción y localizadas.
Velocidad
V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s
V²/(2g) = 0,2905 m
Pérdidas de carga
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (27 + 6)·0,2905 = 9,586 m
Altura de la bomba
Las dos superficies están abiertas y prácticamente en reposo, así que los términos de presión y velocidad se anulan.
H = Δz + hL = 21 + 9,586 = 30,59 m
Respuesta
H = 30,59 m
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