Fuerza hidrostática
- Presión a una profundidad
- p = ρgh
- Fuerza sobre una pared vertical
- F = ρg·hc·A
- Centro de presiones
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rectángulo
- Ic = bH³/12
Mecánica de fluidos: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 8 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Continuidad y Bernoulli
- Continuidad
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Caudal
- Q = A·v
- Área del círculo
- A = πd²/4
Fricción en tuberías y pérdida de carga
- Número de Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Régimen de flujo
- laminar por debajo de Re ≈ 2000, turbulento por encima de Re ≈ 4000
- Velocidad media
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Pérdidas localizadas
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valores típicos de K
- entrada 0,5, salida 1,0, codo de 90° ≈ 0,3
- Caída de presión
- Δp = ρ·g·hf
- Dos depósitos abiertos
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Salida libre
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Bombas y potencia de bombeo
- Potencia hidráulica
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Potencia en el eje
- Pshaft = Ph/ηpump
- Potencia eléctrica
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Altura de la bomba
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Pérdidas del sistema
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2Problemas de práctica
1.Fuerza hidrostáticaMedia
Una compuerta rectangular vertical de 1 m de ancho está en la pared de un depósito de agua, con su borde superior a 2 m bajo la superficie. Halla la fuerza hidrostática resultante F sobre la compuerta.
d = 2 mH = 1,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Fuerza hidrostáticaDifícil
Una compuerta rectangular vertical de 2 m de ancho está en la pared de un depósito de agua de mar, con su borde superior a 2 m bajo la superficie. Halla la fuerza hidrostática resultante F sobre la compuerta.
d = 2 mH = 3 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Continuidad y BernoulliMedia
El agua circula por una tubería horizontal que se estrecha de 100 mm a 40 mm. En el tramo ancho la presión es 170 kPa y la velocidad 1,25 m/s. Sin pérdidas, halla la presión p2 en el tramo estrecho.
d1 = 100 mmd2 = 40 mmp1 = 170 kPav1 = 1,25 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Continuidad y BernoulliDifícil
Por un venturímetro horizontal (entrada de 200 mm, garganta de 100 mm) circula agua. Un manómetro diferencial de mercurio en U conectado entre la entrada y la garganta indica una diferencia de nivel de 240 mm. El coeficiente de descarga es 0,96. Halla el caudal Q. Usa ρ = 1000 kg/m³ para el agua, 13 600 kg/m³ para el mercurio y g = 9,81 m/s².
d1 = 200 mmd2 = 100 mmΔh = 240 mmCd = 0,96ρHg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.Fricción en tuberías y pérdida de cargaMedia
Agua circula a razón de 150 L/s por una tubería de 300 m de longitud y 300 mm de diámetro interior. Usa el factor de fricción de Darcy f = 0,03 y g = 9,81 m/s². Halla la pérdida de carga por fricción hf.
Q = 150 L/sL = 300 mD = 300 mmf = 0,03g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Fricción en tuberías y pérdida de cargaDifícil
Dos depósitos abiertos están unidos por una tubería de 100 m de longitud, 200 mm de diámetro interior y factor de fricción de Darcy f = 0,022. Las pérdidas localizadas son una entrada de arista viva (K = 0,5), 2 codos (K = 0,3 cada uno), una válvula (K = 10) y la salida al depósito inferior (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². ¿Qué diferencia de nivel de agua Δz entre los depósitos da un caudal de 75 L/s?
Q = 75 L/sL = 100 mD = 200 mmf = 0,022Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×2)Kvalve = 10Kexit = 1,0
Δz = m
7.Bombas y potencia de bombeoMedia
Una bomba con un rendimiento del 82 % impulsa 100 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) contra una altura de 80 m. Usa g = 9,81 m/s². Halla la potencia en el eje Pshaft necesaria, en kW.
Q = 100 L/sH = 80 mη = 82%g = 9,81 m/s²
Pshaft = kW
8.Bombas y potencia de bombeoDifícil
Una bomba impulsa 60 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) desde un depósito inferior abierto hasta un depósito superior cuya superficie libre está 5 m más alta. La tubería mide 400 m de longitud, tiene 200 mm de diámetro interior y un factor de fricción de Darcy f = 0,022; los coeficientes de pérdidas localizadas suman ΣK = 4 (entrada y salida incluidas). Usa g = 9,81 m/s². El rendimiento de la bomba es del 85 %. Halla la potencia en el eje Pshaft en kW.
Q = 60 L/sΔz = 5 mL = 400 mD = 200 mmf = 0,022ΣK = 4η = 85%
Pshaft = kW
3Disoluciones
1.Fuerza hidrostática
Respuesta: F = 40,47 kN
Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·yc·A. Actúa en el centro de presiones, ycp = yc + Ic/(ycA), que siempre está por debajo del centroide.
Profundidad del centroide y área
yc = d + H/2 = 2 + 1,5/2 = 2,75 m
A = H·b = 1,5·1 = 1,5 m²
Fuerza resultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2,75·1,5 = 40,47 kN
Respuesta
F = 40,47 kN
2.Fuerza hidrostática
Respuesta: F = 211,2 kN
Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·yc·A. Actúa en el centro de presiones, ycp = yc + Ic/(ycA), que siempre está por debajo del centroide.
Profundidad del centroide y área
yc = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3,5 m
A = H·b = 3·2 = 6 m²
Fuerza resultante
F = ρ·g·yc·A = 1025·9,81·3,5·6 = 211,2 kN
Respuesta
F = 211,2 kN
3.Continuidad y Bernoulli
Respuesta: p2 = 140,3 kPa
Continuidad y Bernoulli: en un fluido incompresible el caudal es el mismo en todas las secciones, Q = A₁v₁ = A₂v₂. A lo largo de una línea de corriente sin pérdidas, p + ½ρv² + ρgz es constante, así que donde el fluido va más rápido o más alto su presión es menor.
Continuidad y Bernoulli
Trabaja en Pa y después divide entre 1000 para obtener kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 1,25·(100/40)² = 7,813 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1,25² − 7,813²)/1000 = −29,74 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 170 + (−29,74) = 140,3 kPa
Respuesta
p2 = 140,3 kPa
4.Continuidad y Bernoulli
Respuesta: Q = 59,98 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Diferencia de presión a partir del manómetro
Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,24 = 29665 Pa
Velocidad en la garganta
La continuidad y Bernoulli juntas dan la velocidad ideal en la garganta.
β = 100/200 = 0,5
v2 = √(2·29665/(1000·(1 − 0,0625))) = 7,955 m/s
Caudal real
Q = Cd·A2·v2 = 0,96·0,007854·7,955 = 0,05998 m³/s = 59,98 L/s
Respuesta
Q = 59,98 L/s
5.Fricción en tuberías y pérdida de carga
Respuesta: hf = 6,886 m
Flujo en tuberías: el número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue el flujo laminar (Re por debajo de unos 2000) del turbulento (por encima de unos 4000). La fricción a lo largo de una tubería produce la pérdida de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Los accesorios, las válvulas, la entrada y la salida añaden pérdidas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre las superficies libres de dos depósitos abiertos la ecuación de la energía da Δz = hf + hm, incluida la pérdida de salida K = 1.
Velocidad media
A = π·0,3²/4 = 0,07069 m²
V = Q/A = 0,15/0,07069 = 2,122 m/s
Altura de velocidad
V²/(2g) = 2,122²/(2·9,81) = 0,2295 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(300/0,3)·2,122²/(2·9,81) = 6,886 m
Respuesta
hf = 6,886 m
6.Fricción en tuberías y pérdida de carga
Respuesta: Δz = 6,71 m
Flujo en tuberías: el número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue el flujo laminar (Re por debajo de unos 2000) del turbulento (por encima de unos 4000). La fricción a lo largo de una tubería produce la pérdida de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Los accesorios, las válvulas, la entrada y la salida añaden pérdidas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre las superficies libres de dos depósitos abiertos la ecuación de la energía da Δz = hf + hm, incluida la pérdida de salida K = 1.
Velocidad
V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s
V²/(2g) = 0,2905 m
Coeficientes de pérdida
f·L/D = 0,022·100/0,2 = 11
ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 10 + 1,0 = 12,1
Pérdida de carga total
hf = 11·0,2905 = 3,195 m
hm = 12,1·0,2905 = 3,515 m
Δz = hf + hm = 6,71 m
Respuesta
Δz = 6,71 m
7.Bombas y potencia de bombeo
Respuesta: Pshaft = 95,71 kW
Potencia de una bomba: la potencia que recibe el agua es la potencia hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. El eje debe entregar más porque la bomba tiene pérdidas: Pshaft = Ph/ηpump, y el motor absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La altura de la bomba H sale de la ecuación de la energía: altura geométrica + altura de presión + todas las pérdidas por fricción y localizadas.
Potencia hidráulica
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,1·80 = 78,48 kW
Potencia en el eje
Pshaft = Ph/η = 78,48/0,82 = 95,71 kW
Respuesta
Pshaft = 95,71 kW
8.Bombas y potencia de bombeo
Respuesta: Pshaft = 9,642 kW
Potencia de una bomba: la potencia que recibe el agua es la potencia hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. El eje debe entregar más porque la bomba tiene pérdidas: Pshaft = Ph/ηpump, y el motor absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La altura de la bomba H sale de la ecuación de la energía: altura geométrica + altura de presión + todas las pérdidas por fricción y localizadas.
Velocidad
V = Q/A = 0,06/0,03142 = 1,91 m/s
V²/(2g) = 0,1859 m
Pérdidas de carga
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (44 + 4)·0,1859 = 8,924 m
Altura de la bomba
H = Δz + hL = 5 + 8,924 = 13,92 m
Potencia en el eje
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,06·13,92/0,85 = 9,642 kW
Respuesta
Pshaft = 9,642 kW
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