Mecánica de fluidos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 8 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Fuerza hidrostática

Presión a una profundidad: p = ρgh
Fuerza sobre una pared vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de presiones: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rectángulo: I_c = bH³/12

Continuidad y Bernoulli

Continuidad: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Caudal: Q = A·v
Área del círculo: A = πd²/4

Fricción en tuberías y pérdida de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Régimen de flujo: laminar por debajo de Re ≈ 2000, turbulento por encima de Re ≈ 4000
Velocidad media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Pérdidas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, salida 1,0, codo de 90° ≈ 0,3
Caída de presión: Δp = ρ·g·h_f
Dos depósitos abiertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Salida libre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas y potencia de bombeo

Potencia hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potencia en el eje: P_shaft = P_h/η_pump
Potencia eléctrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura de la bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Pérdidas del sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Problemas de práctica

1.Fuerza hidrostáticaMedia

Una compuerta rectangular vertical de 1,5 m de ancho está en la pared de un depósito de agua, con su borde superior a 2 m bajo la superficie. Halla la fuerza hidrostática resultante F sobre la compuerta.

d = 2 mH = 2 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Fuerza hidrostáticaDifícil

Una compuerta rectangular vertical de 2 m de ancho está en la pared de un depósito de agua, con su borde superior a 2,5 m bajo la superficie. Halla la fuerza hidrostática resultante F sobre la compuerta.

d = 2,5 mH = 1,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuidad y BernoulliMedia

Un tubo de Pitot estático en una tubería de agua indica una diferencia de 34 kPa entre la presión de estancamiento y la presión estática. Halla la velocidad del agua v en la punta.

p₀ − p = 34 kPaρ = 1000 kg/m³

v = m/s

4.Continuidad y BernoulliDifícil

Un depósito de agua cerrado tiene aire comprimido sobre el agua a una presión manométrica de 80 kPa. El agua sale al aire libre por un orificio de 25 mm de diámetro, 4,5 m por debajo de la superficie del agua. Despreciando las pérdidas, halla el caudal Q. Usa g = 9,81 m/s².

p_air = 80 kPa (manométrica)h = 4,5 md = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Fricción en tuberías y pérdida de cargaMedia

Agua circula a razón de 8 L/s por una tubería de 200 m de longitud y 100 mm de diámetro interior. Usa el factor de fricción de Darcy f = 0,015 y g = 9,81 m/s². Halla la pérdida de carga por fricción h_f.

Q = 8 L/sL = 200 mD = 100 mmf = 0,015g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Fricción en tuberías y pérdida de cargaDifícil

Dos depósitos abiertos están unidos por una tubería de 200 m de longitud, 200 mm de diámetro interior y factor de fricción de Darcy f = 0,02. Las pérdidas localizadas son una entrada de arista viva (K = 0,5), 2 codos (K = 0,3 cada uno), una válvula (K = 5) y la salida al depósito inferior (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². ¿Qué diferencia de nivel de agua Δz entre los depósitos da un caudal de 40 L/s?

Q = 40 L/sL = 200 mD = 200 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 5K_exit = 1,0

Δz = m

7.Bombas y potencia de bombeoMedia

Una bomba con un rendimiento del 80 % impulsa 60 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) contra una altura de 70 m. Usa g = 9,81 m/s². Halla la potencia en el eje P_shaft necesaria, en kW.

Q = 60 L/sH = 70 mη = 80%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Bombas y potencia de bombeoDifícil

Una bomba impulsa 10 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) desde un depósito inferior abierto hasta un depósito superior cuya superficie libre está 6 m más alta. La tubería mide 100 m de longitud, tiene 100 mm de diámetro interior y un factor de fricción de Darcy f = 0,015; los coeficientes de pérdidas localizadas suman ΣK = 8 (entrada y salida incluidas). Usa g = 9,81 m/s². El rendimiento de la bomba es del 80 %. Halla la potencia en el eje P_shaft en kW.

Q = 10 L/sΔz = 6 mL = 100 mD = 100 mmf = 0,015ΣK = 8η = 80%

P_shaft = kW

3Disoluciones

1.Fuerza hidrostática

Respuesta: F = 88,29 kN

Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·y_c·A. Actúa en el centro de presiones, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que siempre está por debajo del centroide.

Profundidad del centroide y área

y_c = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m

A = H·b = 2·1,5 = 3 m²

Fuerza resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3·3 = 88,29 kN

Respuesta

F = 88,29 kN

2.Fuerza hidrostática

Respuesta: F = 95,65 kN

Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·y_c·A. Actúa en el centro de presiones, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que siempre está por debajo del centroide.

Profundidad del centroide y área

y_c = d + H/2 = 2,5 + 1,5/2 = 3,25 m

A = H·b = 1,5·2 = 3 m²

Fuerza resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,25·3 = 95,65 kN

Respuesta

F = 95,65 kN

3.Continuidad y Bernoulli

Respuesta: v = 8,246 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Bernoulli hasta el punto de estancamiento

El flujo se detiene en la punta, así que su energía cinética aparece como presión adicional.

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·34000/1000) = 8,246 m/s

Respuesta

v = 8,246 m/s

4.Continuidad y Bernoulli

Respuesta: Q = 7,735 L/s

Bernoulli de la superficie al chorro

v = √(2·(80000/1000 + 9,81·4,5)) = 15,76 m/s

Caudal

Q = A·v = 0,0004909·15,76 = 0,007735 m³/s = 7,735 L/s

Respuesta

Q = 7,735 L/s

5.Fricción en tuberías y pérdida de carga

Respuesta: h_f = 1,586 m

Flujo en tuberías: el número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue el flujo laminar (Re por debajo de unos 2000) del turbulento (por encima de unos 4000). La fricción a lo largo de una tubería produce la pérdida de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Los accesorios, las válvulas, la entrada y la salida añaden pérdidas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre las superficies libres de dos depósitos abiertos la ecuación de la energía da Δz = h_f + h_m, incluida la pérdida de salida K = 1.

Velocidad media

A = π·0,1²/4 = 0,007854 m²

V = Q/A = 0,008/0,007854 = 1,019 m/s

Altura de velocidad

V²/(2g) = 1,019²/(2·9,81) = 0,05288 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(200/0,1)·1,019²/(2·9,81) = 1,586 m

Respuesta

h_f = 1,586 m

6.Fricción en tuberías y pérdida de carga

Respuesta: Δz = 2,239 m

Velocidad

V = Q/A = 0,04/0,03142 = 1,273 m/s

V²/(2g) = 0,08263 m

Coeficientes de pérdida

f·L/D = 0,02·200/0,2 = 20

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 5 + 1,0 = 7,1

Pérdida de carga total

h_f = 20·0,08263 = 1,653 m

h_m = 7,1·0,08263 = 0,5867 m

Δz = h_f + h_m = 2,239 m

Respuesta

Δz = 2,239 m

7.Bombas y potencia de bombeo

Respuesta: P_shaft = 51,5 kW

Potencia de una bomba: la potencia que recibe el agua es la potencia hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. El eje debe entregar más porque la bomba tiene pérdidas: P_shaft = P_h/η_pump, y el motor absorbe P_el = P_shaft/η_motor. La altura de la bomba H sale de la ecuación de la energía: altura geométrica + altura de presión + todas las pérdidas por fricción y localizadas.

Potencia hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,06·70 = 41,2 kW

Potencia en el eje

P_shaft = P_h/η = 41,2/0,8 = 51,5 kW

Respuesta

P_shaft = 51,5 kW

8.Bombas y potencia de bombeo

Respuesta: P_shaft = 0,9688 kW

Velocidad

V = Q/A = 0,01/0,007854 = 1,273 m/s

V²/(2g) = 0,08263 m

Pérdidas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (15 + 8)·0,08263 = 1,9 m

Altura de la bomba

H = Δz + h_L = 6 + 1,9 = 7,9 m

Potencia en el eje

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,01·7,9/0,8 = 0,9688 kW

Respuesta

P_shaft = 0,9688 kW

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