Mecánica de fluidos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 8 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Fuerza hidrostática

Presión a una profundidad: p = ρgh
Fuerza sobre una pared vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de presiones: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rectángulo: I_c = bH³/12

Continuidad y Bernoulli

Continuidad: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Caudal: Q = A·v
Área del círculo: A = πd²/4

Fricción en tuberías y pérdida de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Régimen de flujo: laminar por debajo de Re ≈ 2000, turbulento por encima de Re ≈ 4000
Velocidad media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Pérdidas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, salida 1,0, codo de 90° ≈ 0,3
Caída de presión: Δp = ρ·g·h_f
Dos depósitos abiertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Salida libre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas y potencia de bombeo

Potencia hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potencia en el eje: P_shaft = P_h/η_pump
Potencia eléctrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura de la bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Pérdidas del sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Problemas de práctica

1.Fuerza hidrostáticaMedia

Una compuerta rectangular vertical de 2 m de ancho está en la pared de un depósito de agua, con su borde superior a 2 m bajo la superficie. Halla la fuerza hidrostática resultante F sobre la compuerta.

d = 2 mH = 2,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Fuerza hidrostáticaDifícil

Una compuerta rectangular vertical de 1 m de ancho está en la pared de un depósito de glicerina, con su borde superior a 2,5 m bajo la superficie. Halla la profundidad y_cp del centro de presiones bajo la superficie.

d = 2,5 mH = 1 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuidad y BernoulliMedia

Un tubo de Pitot estático en una tubería de agua indica una diferencia de 8 kPa entre la presión de estancamiento y la presión estática. Halla la velocidad del agua v en la punta.

p₀ − p = 8 kPaρ = 1000 kg/m³

v = m/s

4.Continuidad y BernoulliDifícil

El agua sube por una tubería que se estrecha de 75 mm a 50 mm mientras asciende 8 m. En la sección 1 la presión es 320 kPa y la velocidad 1,5 m/s. Sin pérdidas, halla la presión p₂ en la sección 2.

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 320 kPav₁ = 1,5 m/sΔz = 8 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Fricción en tuberías y pérdida de cargaMedia

Agua (ρ = 1000 kg/m³) circula a 1,7 m/s por una tubería horizontal de 50 m de longitud y 50 mm de diámetro interior. Usa el factor de fricción de Darcy f = 0,025 y g = 9,81 m/s². Halla la caída de presión Δp en la tubería en kPa.

V = 1,7 m/sL = 50 mD = 50 mmf = 0,025ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Fricción en tuberías y pérdida de cargaDifícil

Una tubería de 100 m de longitud y 150 mm de diámetro interior (factor de fricción de Darcy f = 0,022) sale de un depósito abierto y descarga como chorro libre a la atmósfera. Las pérdidas localizadas son una entrada de arista viva (K = 0,5), 4 codos (K = 0,3 cada uno) y una válvula (K = 10). Usa g = 9,81 m/s². ¿A qué altura H debe estar la superficie del depósito sobre la salida de la tubería para un caudal de 25 L/s?

Q = 25 L/sL = 100 mD = 150 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 10

H = m

7.Bombas y potencia de bombeoMedia

Una bomba impulsa 50 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) contra una altura de 58 m. El rendimiento de la bomba es del 78 % y el motor eléctrico que la acciona tiene un rendimiento del 88 %. Usa g = 9,81 m/s². Halla la potencia eléctrica P_el que absorbe el motor, en kW.

Q = 50 L/sH = 58 mη_pump = 78%η_motor = 88%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Bombas y potencia de bombeoDifícil

Una bomba impulsa 75 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) desde un depósito inferior abierto hasta un depósito superior cuya superficie libre está 20 m más alta. La tubería mide 400 m de longitud, tiene 200 mm de diámetro interior y un factor de fricción de Darcy f = 0,015; los coeficientes de pérdidas localizadas suman ΣK = 8 (entrada y salida incluidas). Usa g = 9,81 m/s². El rendimiento de la bomba es del 70 %. Halla la potencia en el eje P_shaft en kW.

Q = 75 L/sΔz = 20 mL = 400 mD = 200 mmf = 0,015ΣK = 8η = 70%

P_shaft = kW

3Disoluciones

1.Fuerza hidrostática

Respuesta: F = 159,4 kN

Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·y_c·A. Actúa en el centro de presiones, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que siempre está por debajo del centroide.

Profundidad del centroide y área

y_c = d + H/2 = 2 + 2,5/2 = 3,25 m

A = H·b = 2,5·2 = 5 m²

Fuerza resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,25·5 = 159,4 kN

Respuesta

F = 159,4 kN

2.Fuerza hidrostática

Respuesta: y_cp = 3,028 m

Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·y_c·A. Actúa en el centro de presiones, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que siempre está por debajo del centroide.

Profundidad del centroide y área

y_c = d + H/2 = 2,5 + 1/2 = 3 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

Fuerza resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·3·1 = 37,08 kN

Centro de presiones

La presión aumenta con la profundidad, así que la resultante actúa por debajo del centroide.

I_c = b·H³/12 = 1·1³/12 = 0,08333 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3 + 0,08333/(3·1) = 3,028 m

Respuesta

y_cp = 3,028 m

3.Continuidad y Bernoulli

Respuesta: v = 4 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Bernoulli hasta el punto de estancamiento

El flujo se detiene en la punta, así que su energía cinética aparece como presión adicional.

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·8000/1000) = 4 m/s

Respuesta

v = 4 m/s

4.Continuidad y Bernoulli

Respuesta: p₂ = 236,9 kPa

Continuidad y Bernoulli: en un fluido incompresible el caudal es el mismo en todas las secciones, Q = A₁v₁ = A₂v₂. A lo largo de una línea de corriente sin pérdidas, p + ½ρv² + ρgz es constante, así que donde el fluido va más rápido o más alto su presión es menor.

Continuidad y Bernoulli

Trabaja en Pa y después divide entre 1000 para obtener kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1,5·(75/50)² = 3,375 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1,5² − 3,375²)/1000 = −4,57 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·8/1000 = 78,48 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 320 + (−4,57) − 78,48 = 236,9 kPa

Respuesta

p₂ = 236,9 kPa

5.Fricción en tuberías y pérdida de carga

Respuesta: Δp = 36,12 kPa

Flujo en tuberías: el número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue el flujo laminar (Re por debajo de unos 2000) del turbulento (por encima de unos 4000). La fricción a lo largo de una tubería produce la pérdida de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Los accesorios, las válvulas, la entrada y la salida añaden pérdidas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre las superficies libres de dos depósitos abiertos la ecuación de la energía da Δz = h_f + h_m, incluida la pérdida de salida K = 1.

Pérdida de carga

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(50/0,05)·1,7²/(2·9,81) = 3,682 m

Caída de presión

La tubería es horizontal y la velocidad no cambia, así que la ecuación de la energía se reduce a Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·3,682 = 36125 Pa = 36,12 kPa

Respuesta

Δp = 36,12 kPa

6.Fricción en tuberías y pérdida de carga

Respuesta: H = 2,792 m

Velocidad

V = Q/A = 0,025/0,01767 = 1,415 m/s

V²/(2g) = 0,102 m

Coeficientes de pérdida

f·L/D = 0,022·100/0,15 = 14,67

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 10 = 11,7

Ecuación de la energía

El chorro de salida conserva su altura de velocidad; no es una pérdida, pero hay que aportarla.

H = (1 + 14,67 + 11,7)·0,102 = 2,792 m

Respuesta

H = 2,792 m

7.Bombas y potencia de bombeo

Respuesta: P_el = 41,45 kW

Potencia de una bomba: la potencia que recibe el agua es la potencia hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. El eje debe entregar más porque la bomba tiene pérdidas: P_shaft = P_h/η_pump, y el motor absorbe P_el = P_shaft/η_motor. La altura de la bomba H sale de la ecuación de la energía: altura geométrica + altura de presión + todas las pérdidas por fricción y localizadas.

Potencia hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,05·58 = 28,45 kW

Potencia en el eje

P_shaft = 28,45/0,78 = 36,47 kW

Potencia eléctrica

P_el = 36,47/0,88 = 41,45 kW

Respuesta

P_el = 41,45 kW

8.Bombas y potencia de bombeo

Respuesta: P_shaft = 32,62 kW

Velocidad

V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s

V²/(2g) = 0,2905 m

Pérdidas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (30 + 8)·0,2905 = 11,04 m

Altura de la bomba

H = Δz + h_L = 20 + 11,04 = 31,04 m

Potencia en el eje

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,075·31,04/0,7 = 32,62 kW

Respuesta

P_shaft = 32,62 kW

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