Fuerza hidrostática
- Presión a una profundidad
- p = ρgh
- Fuerza sobre una pared vertical
- F = ρg·hc·A
- Centro de presiones
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rectángulo
- Ic = bH³/12
Mecánica de fluidos: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 8 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Continuidad y Bernoulli
- Continuidad
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Caudal
- Q = A·v
- Área del círculo
- A = πd²/4
Fricción en tuberías y pérdida de carga
- Número de Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Régimen de flujo
- laminar por debajo de Re ≈ 2000, turbulento por encima de Re ≈ 4000
- Velocidad media
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Pérdidas localizadas
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valores típicos de K
- entrada 0,5, salida 1,0, codo de 90° ≈ 0,3
- Caída de presión
- Δp = ρ·g·hf
- Dos depósitos abiertos
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Salida libre
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Bombas y potencia de bombeo
- Potencia hidráulica
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Potencia en el eje
- Pshaft = Ph/ηpump
- Potencia eléctrica
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Altura de la bomba
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Pérdidas del sistema
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2Problemas de práctica
1.Fuerza hidrostáticaMedia
Una compuerta rectangular vertical de 3 m de ancho está en la pared de un depósito de agua, con su borde superior a 1,5 m bajo la superficie. Halla la fuerza hidrostática resultante F sobre la compuerta.
d = 1,5 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Fuerza hidrostáticaDifícil
Una compuerta rectangular vertical de 1 m de ancho está en la pared de un depósito de glicerina, con su borde superior a 0,5 m bajo la superficie. Halla la profundidad ycp del centro de presiones bajo la superficie.
d = 0,5 mH = 2 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Continuidad y BernoulliMedia
El agua circula por una tubería horizontal que se estrecha de 75 mm a 40 mm. En el tramo ancho la presión es 330 kPa y la velocidad 1,75 m/s. Sin pérdidas, halla la presión p2 en el tramo estrecho.
d1 = 75 mmd2 = 40 mmp1 = 330 kPav1 = 1,75 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Continuidad y BernoulliDifícil
La tobera de una fuente apunta verticalmente hacia arriba. Justo debajo de la tobera, la tubería de alimentación tiene un diámetro de 50 mm y una presión manométrica de 100 kPa. El diámetro de salida de la tobera es 20 mm, y la diferencia de altura a través de la tobera es despreciable. Despreciando las pérdidas y la resistencia del aire, halla la altura H que sube el chorro por encima de la tobera. Usa g = 9,81 m/s².
d1 = 50 mmp1 = 100 kPa (manométrica)d2 = 20 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
H = m
5.Fricción en tuberías y pérdida de cargaMedia
Agua circula con una velocidad media de 2,4 m/s por una tubería de 50 m de longitud y 100 mm de diámetro interior. Usa el factor de fricción de Darcy f = 0,03 y g = 9,81 m/s². Halla la pérdida de carga por fricción hf.
V = 2,4 m/sL = 50 mD = 100 mmf = 0,03g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Fricción en tuberías y pérdida de cargaDifícil
Dos depósitos abiertos están unidos por una tubería de 400 m de longitud, 300 mm de diámetro interior y factor de fricción de Darcy f = 0,022. La superficie libre del depósito superior está 20 m por encima de la del inferior. Las pérdidas localizadas son una entrada de arista viva (K = 0,5), 2 codos (K = 0,3 cada uno), una válvula (K = 2) y la salida al depósito inferior (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Halla el caudal Q en L/s.
Δz = 20 mL = 400 mD = 300 mmf = 0,022Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×2)Kvalve = 2Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Bombas y potencia de bombeoMedia
En un ensayo, una bomba impulsa 40 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) contra una altura de 40 m mientras su eje absorbe 18,5 kW. Usa g = 9,81 m/s². Halla el rendimiento de la bomba η en porcentaje.
Q = 40 L/sH = 40 mPshaft = 18,5 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Bombas y potencia de bombeoDifícil
Una bomba impulsa 40 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) desde un depósito inferior abierto hasta un depósito superior cuya superficie libre está 13 m más alta. La tubería mide 100 m de longitud, tiene 150 mm de diámetro interior y un factor de fricción de Darcy f = 0,015; los coeficientes de pérdidas localizadas suman ΣK = 6 (entrada y salida incluidas). Usa g = 9,81 m/s². El rendimiento de la bomba es del 80 %. Halla la potencia en el eje Pshaft en kW.
Q = 40 L/sΔz = 13 mL = 100 mD = 150 mmf = 0,015ΣK = 6η = 80%
Pshaft = kW
3Disoluciones
1.Fuerza hidrostática
Respuesta: F = 147,2 kN
Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·yc·A. Actúa en el centro de presiones, ycp = yc + Ic/(ycA), que siempre está por debajo del centroide.
Profundidad del centroide y área
yc = d + H/2 = 1,5 + 2/2 = 2,5 m
A = H·b = 2·3 = 6 m²
Fuerza resultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2,5·6 = 147,2 kN
Respuesta
F = 147,2 kN
2.Fuerza hidrostática
Respuesta: ycp = 1,722 m
Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·yc·A. Actúa en el centro de presiones, ycp = yc + Ic/(ycA), que siempre está por debajo del centroide.
Profundidad del centroide y área
yc = d + H/2 = 0,5 + 2/2 = 1,5 m
A = H·b = 2·1 = 2 m²
Fuerza resultante
F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·1,5·2 = 37,08 kN
Centro de presiones
La presión aumenta con la profundidad, así que la resultante actúa por debajo del centroide.
Ic = b·H³/12 = 1·2³/12 = 0,6667 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 1,5 + 0,6667/(1,5·2) = 1,722 m
Respuesta
ycp = 1,722 m
3.Continuidad y Bernoulli
Respuesta: p2 = 312,6 kPa
Continuidad y Bernoulli: en un fluido incompresible el caudal es el mismo en todas las secciones, Q = A₁v₁ = A₂v₂. A lo largo de una línea de corriente sin pérdidas, p + ½ρv² + ρgz es constante, así que donde el fluido va más rápido o más alto su presión es menor.
Continuidad y Bernoulli
Trabaja en Pa y después divide entre 1000 para obtener kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 1,75·(75/40)² = 6,152 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1,75² − 6,152²)/1000 = −17,39 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 330 + (−17,39) = 312,6 kPa
Respuesta
p2 = 312,6 kPa
4.Continuidad y Bernoulli
Respuesta: H = 10,46 m
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Velocidad de salida
β = 20/50 = 0,4
v2 = √(2p1/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·100000/(1000·0,9744)) = 14,33 m/s
Altura del chorro
Bernoulli a lo largo del chorro: en lo más alto la velocidad es nula y la presión vuelve a ser la atmosférica.
H = v2²/(2g) = 14,33²/(2·9,81) = 10,46 m
Respuesta
H = 10,46 m
5.Fricción en tuberías y pérdida de carga
Respuesta: hf = 4,404 m
Flujo en tuberías: el número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue el flujo laminar (Re por debajo de unos 2000) del turbulento (por encima de unos 4000). La fricción a lo largo de una tubería produce la pérdida de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Los accesorios, las válvulas, la entrada y la salida añaden pérdidas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre las superficies libres de dos depósitos abiertos la ecuación de la energía da Δz = hf + hm, incluida la pérdida de salida K = 1.
Altura de velocidad
V²/(2g) = 2,4²/(2·9,81) = 0,2936 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(50/0,1)·2,4²/(2·9,81) = 4,404 m
Respuesta
hf = 4,404 m
6.Fricción en tuberías y pérdida de carga
Respuesta: Q = 242,2 L/s
Flujo en tuberías: el número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue el flujo laminar (Re por debajo de unos 2000) del turbulento (por encima de unos 4000). La fricción a lo largo de una tubería produce la pérdida de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Los accesorios, las válvulas, la entrada y la salida añaden pérdidas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre las superficies libres de dos depósitos abiertos la ecuación de la energía da Δz = hf + hm, incluida la pérdida de salida K = 1.
Coeficientes de pérdida
f·L/D = 0,022·400/0,3 = 29,33
ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 2 + 1,0 = 4,1
Ecuación de la energía
Las dos superficies están abiertas al aire y prácticamente en reposo, así que todo Δz se pierde en la tubería.
20 = (29,33 + 4,1)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·20/33,43) = 3,426 m/s
Caudal
Q = V·π·D²/4 = 3,426·0,07069 = 0,2422 m³/s = 242,2 L/s
Respuesta
Q = 242,2 L/s
7.Bombas y potencia de bombeo
Respuesta: η = 84,84 %
Potencia de una bomba: la potencia que recibe el agua es la potencia hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. El eje debe entregar más porque la bomba tiene pérdidas: Pshaft = Ph/ηpump, y el motor absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La altura de la bomba H sale de la ecuación de la energía: altura geométrica + altura de presión + todas las pérdidas por fricción y localizadas.
Potencia hidráulica
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,04·40 = 15,7 kW
Rendimiento
η = Ph/Pshaft = 15,7/18,5 = 84,84%
Respuesta
η = 84,84%
8.Bombas y potencia de bombeo
Respuesta: Pshaft = 8,426 kW
Potencia de una bomba: la potencia que recibe el agua es la potencia hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. El eje debe entregar más porque la bomba tiene pérdidas: Pshaft = Ph/ηpump, y el motor absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La altura de la bomba H sale de la ecuación de la energía: altura geométrica + altura de presión + todas las pérdidas por fricción y localizadas.
Velocidad
V = Q/A = 0,04/0,01767 = 2,264 m/s
V²/(2g) = 0,2611 m
Pérdidas de carga
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (10 + 6)·0,2611 = 4,178 m
Altura de la bomba
H = Δz + hL = 13 + 4,178 = 17,18 m
Potencia en el eje
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,04·17,18/0,8 = 8,426 kW
Respuesta
Pshaft = 8,426 kW
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