Mecánica de fluidos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 8 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Fuerza hidrostática

Presión a una profundidad: p = ρgh
Fuerza sobre una pared vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de presiones: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rectángulo: I_c = bH³/12

Continuidad y Bernoulli

Continuidad: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Caudal: Q = A·v
Área del círculo: A = πd²/4

Fricción en tuberías y pérdida de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Régimen de flujo: laminar por debajo de Re ≈ 2000, turbulento por encima de Re ≈ 4000
Velocidad media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Pérdidas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, salida 1,0, codo de 90° ≈ 0,3
Caída de presión: Δp = ρ·g·h_f
Dos depósitos abiertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Salida libre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas y potencia de bombeo

Potencia hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potencia en el eje: P_shaft = P_h/η_pump
Potencia eléctrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura de la bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Pérdidas del sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Problemas de práctica

1.Fuerza hidrostáticaMedia

Una compuerta rectangular vertical de 1,5 m de ancho está en la pared de un depósito de agua, con su borde superior a 1,5 m bajo la superficie. Halla la fuerza hidrostática resultante F sobre la compuerta.

d = 1,5 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Fuerza hidrostáticaDifícil

Una compuerta rectangular vertical de 1,5 m de ancho está en la pared de un depósito de agua de mar, con su borde superior a 3 m bajo la superficie. Halla la profundidad y_cp del centro de presiones bajo la superficie.

d = 3 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuidad y BernoulliMedia

Por una tubería horizontal que se estrecha de 150 mm a 100 mm circulan 10 L/s de agua. La presión en la sección estrecha es 100 kPa. Despreciando las pérdidas, halla la presión p₁ en la sección ancha.

Q = 10 L/sd₁ = 150 mmd₂ = 100 mmp₂ = 100 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

4.Continuidad y BernoulliDifícil

Un depósito de agua cerrado tiene aire comprimido sobre el agua a una presión manométrica de 50 kPa. El agua sale al aire libre por un orificio de 25 mm de diámetro, 4,5 m por debajo de la superficie del agua. Despreciando las pérdidas, halla el caudal Q. Usa g = 9,81 m/s².

p_air = 50 kPa (manométrica)h = 4,5 md = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Fricción en tuberías y pérdida de cargaMedia

Agua (ρ = 1000 kg/m³) circula a 0,9 m/s por una tubería horizontal de 50 m de longitud y 300 mm de diámetro interior. Usa el factor de fricción de Darcy f = 0,028 y g = 9,81 m/s². Halla la caída de presión Δp en la tubería en kPa.

V = 0,9 m/sL = 50 mD = 300 mmf = 0,028ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Fricción en tuberías y pérdida de cargaDifícil

Dos depósitos abiertos están unidos por una tubería de 100 m de longitud, 200 mm de diámetro interior y factor de fricción de Darcy f = 0,015. Las pérdidas localizadas son una entrada de arista viva (K = 0,5), 4 codos (K = 0,3 cada uno), una válvula (K = 5) y la salida al depósito inferior (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². ¿Qué diferencia de nivel de agua Δz entre los depósitos da un caudal de 100 L/s?

Q = 100 L/sL = 100 mD = 200 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 5K_exit = 1,0

Δz = m

7.Bombas y potencia de bombeoMedia

En un ensayo, una bomba impulsa 25 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) contra una altura de 10 m mientras su eje absorbe 3,3 kW. Usa g = 9,81 m/s². Halla el rendimiento de la bomba η en porcentaje.

Q = 25 L/sH = 10 mP_shaft = 3,3 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Bombas y potencia de bombeoDifícil

Una bomba impulsa 75 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) desde un depósito inferior abierto hasta un depósito superior cuya superficie libre está 6 m más alta. La tubería mide 200 m de longitud, tiene 200 mm de diámetro interior y un factor de fricción de Darcy f = 0,025; los coeficientes de pérdidas localizadas suman ΣK = 2,5 (entrada y salida incluidas). Usa g = 9,81 m/s². El depósito superior está cerrado y el aire sobre el agua está a una presión manométrica de 250 kPa. Halla la altura H que debe añadir la bomba.

Q = 75 L/sΔz = 6 mL = 200 mD = 200 mmf = 0,025ΣK = 2,5p_tank = 250 kPa

H = m

3Disoluciones

1.Fuerza hidrostática

Respuesta: F = 101,2 kN

Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·y_c·A. Actúa en el centro de presiones, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que siempre está por debajo del centroide.

Profundidad del centroide y área

y_c = d + H/2 = 1,5 + 2,5/2 = 2,75 m

A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²

Fuerza resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,75·3,75 = 101,2 kN

Respuesta

F = 101,2 kN

2.Fuerza hidrostática

Respuesta: y_cp = 4,667 m

Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·y_c·A. Actúa en el centro de presiones, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que siempre está por debajo del centroide.

Profundidad del centroide y área

y_c = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4,5 m

A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²

Fuerza resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·4,5·4,5 = 203,6 kN

Centro de presiones

La presión aumenta con la profundidad, así que la resultante actúa por debajo del centroide.

I_c = b·H³/12 = 1,5·3³/12 = 3,375 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4,5 + 3,375/(4,5·4,5) = 4,667 m

Respuesta

y_cp = 4,667 m

3.Continuidad y Bernoulli

Respuesta: p₁ = 100,7 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Velocidades

v₁ = Q/A₁ = 0,01/0,01767 = 0,5659 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0,01/0,007854 = 1,273 m/s

Bernoulli

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 100 + ½·1000·(1,273² − 0,5659²)/1000 = 100 + 0,6505 = 100,7 kPa

Respuesta

p₁ = 100,7 kPa

4.Continuidad y Bernoulli

Respuesta: Q = 6,736 L/s

Bernoulli de la superficie al chorro

v = √(2·(50000/1000 + 9,81·4,5)) = 13,72 m/s

Caudal

Q = A·v = 0,0004909·13,72 = 0,006736 m³/s = 6,736 L/s

Respuesta

Q = 6,736 L/s

5.Fricción en tuberías y pérdida de carga

Respuesta: Δp = 1,89 kPa

Flujo en tuberías: el número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue el flujo laminar (Re por debajo de unos 2000) del turbulento (por encima de unos 4000). La fricción a lo largo de una tubería produce la pérdida de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Los accesorios, las válvulas, la entrada y la salida añaden pérdidas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre las superficies libres de dos depósitos abiertos la ecuación de la energía da Δz = h_f + h_m, incluida la pérdida de salida K = 1.

Pérdida de carga

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(50/0,3)·0,9²/(2·9,81) = 0,1927 m

Caída de presión

La tubería es horizontal y la velocidad no cambia, así que la ecuación de la energía se reduce a Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·0,1927 = 1890 Pa = 1,89 kPa

Respuesta

Δp = 1,89 kPa

6.Fricción en tuberías y pérdida de carga

Respuesta: Δz = 7,85 m

Velocidad

V = Q/A = 0,1/0,03142 = 3,183 m/s

V²/(2g) = 0,5164 m

Coeficientes de pérdida

f·L/D = 0,015·100/0,2 = 7,5

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 + 1,0 = 7,7

Pérdida de carga total

h_f = 7,5·0,5164 = 3,873 m

h_m = 7,7·0,5164 = 3,976 m

Δz = h_f + h_m = 7,85 m

Respuesta

Δz = 7,85 m

7.Bombas y potencia de bombeo

Respuesta: η = 74,32 %

Potencia de una bomba: la potencia que recibe el agua es la potencia hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. El eje debe entregar más porque la bomba tiene pérdidas: P_shaft = P_h/η_pump, y el motor absorbe P_el = P_shaft/η_motor. La altura de la bomba H sale de la ecuación de la energía: altura geométrica + altura de presión + todas las pérdidas por fricción y localizadas.

Potencia hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,025·10 = 2,453 kW

Rendimiento

η = P_h/P_shaft = 2,453/3,3 = 74,32%

Respuesta

η = 74,32%

8.Bombas y potencia de bombeo

Respuesta: H = 39,47 m

Velocidad

V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s

V²/(2g) = 0,2905 m

Pérdidas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (25 + 2,5)·0,2905 = 7,988 m

Altura de presión

p/(ρ·g) = 250000/(1000·9,81) = 25,48 m

Altura de la bomba

Las dos superficies están prácticamente en reposo, así que no hay término de altura de velocidad.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 6 + 25,48 + 7,988 = 39,47 m

Respuesta

H = 39,47 m

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