Mecánica de fluidos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 8 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Fuerza hidrostática

Presión a una profundidad: p = ρgh
Fuerza sobre una pared vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de presiones: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rectángulo: I_c = bH³/12

Continuidad y Bernoulli

Continuidad: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Caudal: Q = A·v
Área del círculo: A = πd²/4

Fricción en tuberías y pérdida de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Régimen de flujo: laminar por debajo de Re ≈ 2000, turbulento por encima de Re ≈ 4000
Velocidad media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Pérdidas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, salida 1,0, codo de 90° ≈ 0,3
Caída de presión: Δp = ρ·g·h_f
Dos depósitos abiertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Salida libre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas y potencia de bombeo

Potencia hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potencia en el eje: P_shaft = P_h/η_pump
Potencia eléctrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura de la bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Pérdidas del sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Problemas de práctica

1.Fuerza hidrostáticaMedia

Una compuerta rectangular vertical de 2 m de ancho está en la pared de un depósito de agua, con su borde superior a 1 m bajo la superficie. Halla la fuerza hidrostática resultante F sobre la compuerta.

d = 1 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Fuerza hidrostáticaDifícil

Una compuerta rectangular vertical de 2 m de ancho está en la pared de un depósito de glicerina, con su borde superior a 2 m bajo la superficie. Halla la fuerza hidrostática resultante F sobre la compuerta.

d = 2 mH = 2 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuidad y BernoulliMedia

Por un venturímetro horizontal con un diámetro de entrada de 200 mm y un diámetro de garganta de 150 mm circula agua. La presión en la entrada es 56 kPa mayor que en la garganta. Despreciando las pérdidas, halla el caudal Q.

d₁ = 200 mmd₂ = 150 mmp₁ − p₂ = 56 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

4.Continuidad y BernoulliDifícil

El agua sube por una tubería que se estrecha de 100 mm a 50 mm mientras asciende 7 m. En la sección 1 la presión es 270 kPa y la velocidad 2,75 m/s. Sin pérdidas, halla la presión p₂ en la sección 2.

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₁ = 270 kPav₁ = 2,75 m/sΔz = 7 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Fricción en tuberías y pérdida de cargaMedia

Agua circula con una velocidad media de 1,7 m/s por una tubería de 300 m de longitud y 300 mm de diámetro interior. Usa el factor de fricción de Darcy f = 0,018 y g = 9,81 m/s². Halla la pérdida de carga por fricción h_f.

V = 1,7 m/sL = 300 mD = 300 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Fricción en tuberías y pérdida de cargaDifícil

Dos depósitos abiertos están unidos por una tubería de 300 m de longitud, 200 mm de diámetro interior y factor de fricción de Darcy f = 0,015. Las pérdidas localizadas son una entrada de arista viva (K = 0,5), 2 codos (K = 0,3 cada uno), una válvula (K = 2) y la salida al depósito inferior (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². ¿Qué diferencia de nivel de agua Δz entre los depósitos da un caudal de 75 L/s?

Q = 75 L/sL = 300 mD = 200 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 2K_exit = 1,0

Δz = m

7.Bombas y potencia de bombeoMedia

Una bomba impulsa 100 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) contra una altura de 44 m. El rendimiento de la bomba es del 80 % y el motor eléctrico que la acciona tiene un rendimiento del 90 %. Usa g = 9,81 m/s². Halla la potencia eléctrica P_el que absorbe el motor, en kW.

Q = 100 L/sH = 44 mη_pump = 80%η_motor = 90%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Bombas y potencia de bombeoDifícil

Una bomba impulsa 75 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) desde un depósito inferior abierto hasta un depósito superior cuya superficie libre está 15 m más alta. La tubería mide 100 m de longitud, tiene 200 mm de diámetro interior y un factor de fricción de Darcy f = 0,018; los coeficientes de pérdidas localizadas suman ΣK = 5 (entrada y salida incluidas). Usa g = 9,81 m/s². El depósito superior está cerrado y el aire sobre el agua está a una presión manométrica de 200 kPa. Halla la altura H que debe añadir la bomba.

Q = 75 L/sΔz = 15 mL = 100 mD = 200 mmf = 0,018ΣK = 5p_tank = 200 kPa

H = m

3Disoluciones

1.Fuerza hidrostática

Respuesta: F = 29,43 kN

Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·y_c·A. Actúa en el centro de presiones, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que siempre está por debajo del centroide.

Profundidad del centroide y área

y_c = d + H/2 = 1 + 1/2 = 1,5 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

Fuerza resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,5·2 = 29,43 kN

Respuesta

F = 29,43 kN

2.Fuerza hidrostática

Respuesta: F = 148,3 kN

Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·y_c·A. Actúa en el centro de presiones, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que siempre está por debajo del centroide.

Profundidad del centroide y área

y_c = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

Fuerza resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·3·4 = 148,3 kN

Respuesta

F = 148,3 kN

3.Continuidad y Bernoulli

Respuesta: Q = 226,2 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Continuidad

v₁ = v₂·(150/200)² = 0,5625·v₂

Bernoulli entre la entrada y la garganta

La tubería es horizontal, así que solo cambian la presión y la velocidad.

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·56000/(1000·(1 − 0,3164))) = 12,8 m/s

v₁ = 7,2 m/s

Caudal

Q = A₂·v₂ = 0,01767·12,8 = 0,2262 m³/s = 226,2 L/s

Respuesta

Q = 226,2 L/s

4.Continuidad y Bernoulli

Respuesta: p₂ = 144,6 kPa

Continuidad y Bernoulli: en un fluido incompresible el caudal es el mismo en todas las secciones, Q = A₁v₁ = A₂v₂. A lo largo de una línea de corriente sin pérdidas, p + ½ρv² + ρgz es constante, así que donde el fluido va más rápido o más alto su presión es menor.

Continuidad y Bernoulli

Trabaja en Pa y después divide entre 1000 para obtener kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2,75·(100/50)² = 11 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2,75² − 11²)/1000 = −56,72 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·7/1000 = 68,67 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 270 + (−56,72) − 68,67 = 144,6 kPa

Respuesta

p₂ = 144,6 kPa

5.Fricción en tuberías y pérdida de carga

Respuesta: h_f = 2,651 m

Flujo en tuberías: el número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue el flujo laminar (Re por debajo de unos 2000) del turbulento (por encima de unos 4000). La fricción a lo largo de una tubería produce la pérdida de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Los accesorios, las válvulas, la entrada y la salida añaden pérdidas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre las superficies libres de dos depósitos abiertos la ecuación de la energía da Δz = h_f + h_m, incluida la pérdida de salida K = 1.

Altura de velocidad

V²/(2g) = 1,7²/(2·9,81) = 0,1473 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(300/0,3)·1,7²/(2·9,81) = 2,651 m

Respuesta

h_f = 2,651 m

6.Fricción en tuberías y pérdida de carga

Respuesta: Δz = 7,727 m

Velocidad

V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s

V²/(2g) = 0,2905 m

Coeficientes de pérdida

f·L/D = 0,015·300/0,2 = 22,5

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 2 + 1,0 = 4,1

Pérdida de carga total

h_f = 22,5·0,2905 = 6,536 m

h_m = 4,1·0,2905 = 1,191 m

Δz = h_f + h_m = 7,727 m

Respuesta

Δz = 7,727 m

7.Bombas y potencia de bombeo

Respuesta: P_el = 59,95 kW

Potencia de una bomba: la potencia que recibe el agua es la potencia hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. El eje debe entregar más porque la bomba tiene pérdidas: P_shaft = P_h/η_pump, y el motor absorbe P_el = P_shaft/η_motor. La altura de la bomba H sale de la ecuación de la energía: altura geométrica + altura de presión + todas las pérdidas por fricción y localizadas.

Potencia hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,1·44 = 43,16 kW

Potencia en el eje

P_shaft = 43,16/0,8 = 53,95 kW

Potencia eléctrica

P_el = 53,95/0,9 = 59,95 kW

Respuesta

P_el = 59,95 kW

8.Bombas y potencia de bombeo

Respuesta: H = 39,45 m

Velocidad

V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s

V²/(2g) = 0,2905 m

Pérdidas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (9 + 5)·0,2905 = 4,067 m

Altura de presión

p/(ρ·g) = 200000/(1000·9,81) = 20,39 m

Altura de la bomba

Las dos superficies están prácticamente en reposo, así que no hay término de altura de velocidad.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 15 + 20,39 + 4,067 = 39,45 m

Respuesta

H = 39,45 m

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