Fuerza hidrostática
- Presión a una profundidad
- p = ρgh
- Fuerza sobre una pared vertical
- F = ρg·hc·A
- Centro de presiones
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rectángulo
- Ic = bH³/12
Mecánica de fluidos: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 8 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Continuidad y Bernoulli
- Continuidad
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Caudal
- Q = A·v
- Área del círculo
- A = πd²/4
Fricción en tuberías y pérdida de carga
- Número de Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Régimen de flujo
- laminar por debajo de Re ≈ 2000, turbulento por encima de Re ≈ 4000
- Velocidad media
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Pérdidas localizadas
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valores típicos de K
- entrada 0,5, salida 1,0, codo de 90° ≈ 0,3
- Caída de presión
- Δp = ρ·g·hf
- Dos depósitos abiertos
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Salida libre
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Bombas y potencia de bombeo
- Potencia hidráulica
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Potencia en el eje
- Pshaft = Ph/ηpump
- Potencia eléctrica
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Altura de la bomba
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Pérdidas del sistema
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2Problemas de práctica
1.Fuerza hidrostáticaMedia
Una compuerta rectangular vertical de 1 m de ancho está en la pared de un depósito de agua, con su borde superior a 3 m bajo la superficie. Halla la fuerza hidrostática resultante F sobre la compuerta.
d = 3 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Fuerza hidrostáticaDifícil
Una compuerta rectangular vertical de 3 m de ancho está en la pared de un depósito de agua, con su borde superior a 1 m bajo la superficie. Halla la fuerza hidrostática resultante F sobre la compuerta.
d = 1 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Continuidad y BernoulliMedia
El agua circula por una tubería horizontal que se estrecha de 100 mm a 75 mm. En el tramo ancho la presión es 200 kPa y la velocidad 1,75 m/s. Sin pérdidas, halla la presión p2 en el tramo estrecho.
d1 = 100 mmd2 = 75 mmp1 = 200 kPav1 = 1,75 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Continuidad y BernoulliDifícil
El agua sube por una tubería que se estrecha de 75 mm a 50 mm mientras asciende 9 m. En la sección 1 la presión es 120 kPa y la velocidad 2 m/s. Sin pérdidas, halla la presión p2 en la sección 2.
d1 = 75 mmd2 = 50 mmp1 = 120 kPav1 = 2 m/sΔz = 9 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Fricción en tuberías y pérdida de cargaMedia
Agua (ρ = 1000 kg/m³) circula a 2,4 m/s por una tubería horizontal de 300 m de longitud y 250 mm de diámetro interior. Usa el factor de fricción de Darcy f = 0,022 y g = 9,81 m/s². Halla la caída de presión Δp en la tubería en kPa.
V = 2,4 m/sL = 300 mD = 250 mmf = 0,022ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.Fricción en tuberías y pérdida de cargaDifícil
Dos depósitos abiertos están unidos por una tubería de 150 m de longitud, 100 mm de diámetro interior y factor de fricción de Darcy f = 0,02. La superficie libre del depósito superior está 27 m por encima de la del inferior. Las pérdidas localizadas son una entrada de arista viva (K = 0,5), 2 codos (K = 0,3 cada uno), una válvula (K = 5) y la salida al depósito inferior (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Halla el caudal Q en L/s.
Δz = 27 mL = 150 mD = 100 mmf = 0,02Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×2)Kvalve = 5Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Bombas y potencia de bombeoMedia
Una bomba impulsa 20 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) contra una altura de 38 m. El rendimiento de la bomba es del 65 % y el motor eléctrico que la acciona tiene un rendimiento del 90 %. Usa g = 9,81 m/s². Halla la potencia eléctrica Pel que absorbe el motor, en kW.
Q = 20 L/sH = 38 mηpump = 65%ηmotor = 90%g = 9,81 m/s²
Pel = kW
8.Bombas y potencia de bombeoDifícil
Una bomba impulsa 50 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) desde un depósito inferior abierto hasta un depósito superior cuya superficie libre está 22 m más alta. La tubería mide 100 m de longitud, tiene 150 mm de diámetro interior y un factor de fricción de Darcy f = 0,025; los coeficientes de pérdidas localizadas suman ΣK = 8 (entrada y salida incluidas). Usa g = 9,81 m/s². El rendimiento de la bomba es del 80 %. Halla la potencia en el eje Pshaft en kW.
Q = 50 L/sΔz = 22 mL = 100 mD = 150 mmf = 0,025ΣK = 8η = 80%
Pshaft = kW
3Disoluciones
1.Fuerza hidrostática
Respuesta: F = 78,48 kN
Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·yc·A. Actúa en el centro de presiones, ycp = yc + Ic/(ycA), que siempre está por debajo del centroide.
Profundidad del centroide y área
yc = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m
A = H·b = 2·1 = 2 m²
Fuerza resultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·4·2 = 78,48 kN
Respuesta
F = 78,48 kN
2.Fuerza hidrostática
Respuesta: F = 220,7 kN
Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·yc·A. Actúa en el centro de presiones, ycp = yc + Ic/(ycA), que siempre está por debajo del centroide.
Profundidad del centroide y área
yc = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2,5 m
A = H·b = 3·3 = 9 m²
Fuerza resultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2,5·9 = 220,7 kN
Respuesta
F = 220,7 kN
3.Continuidad y Bernoulli
Respuesta: p2 = 196,7 kPa
Continuidad y Bernoulli: en un fluido incompresible el caudal es el mismo en todas las secciones, Q = A₁v₁ = A₂v₂. A lo largo de una línea de corriente sin pérdidas, p + ½ρv² + ρgz es constante, así que donde el fluido va más rápido o más alto su presión es menor.
Continuidad y Bernoulli
Trabaja en Pa y después divide entre 1000 para obtener kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 1,75·(100/75)² = 3,111 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1,75² − 3,111²)/1000 = −3,308 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 200 + (−3,308) = 196,7 kPa
Respuesta
p2 = 196,7 kPa
4.Continuidad y Bernoulli
Respuesta: p2 = 23,58 kPa
Continuidad y Bernoulli: en un fluido incompresible el caudal es el mismo en todas las secciones, Q = A₁v₁ = A₂v₂. A lo largo de una línea de corriente sin pérdidas, p + ½ρv² + ρgz es constante, así que donde el fluido va más rápido o más alto su presión es menor.
Continuidad y Bernoulli
Trabaja en Pa y después divide entre 1000 para obtener kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 2·(75/50)² = 4,5 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2² − 4,5²)/1000 = −8,125 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·9/1000 = 88,29 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 120 + (−8,125) − 88,29 = 23,58 kPa
Respuesta
p2 = 23,58 kPa
5.Fricción en tuberías y pérdida de carga
Respuesta: Δp = 76,03 kPa
Flujo en tuberías: el número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue el flujo laminar (Re por debajo de unos 2000) del turbulento (por encima de unos 4000). La fricción a lo largo de una tubería produce la pérdida de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Los accesorios, las válvulas, la entrada y la salida añaden pérdidas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre las superficies libres de dos depósitos abiertos la ecuación de la energía da Δz = hf + hm, incluida la pérdida de salida K = 1.
Pérdida de carga
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(300/0,25)·2,4²/(2·9,81) = 7,75 m
Caída de presión
La tubería es horizontal y la velocidad no cambia, así que la ecuación de la energía se reduce a Δp = ρ·g·hf.
Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·7,75 = 76032 Pa = 76,03 kPa
Respuesta
Δp = 76,03 kPa
6.Fricción en tuberías y pérdida de carga
Respuesta: Q = 29,68 L/s
Flujo en tuberías: el número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue el flujo laminar (Re por debajo de unos 2000) del turbulento (por encima de unos 4000). La fricción a lo largo de una tubería produce la pérdida de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Los accesorios, las válvulas, la entrada y la salida añaden pérdidas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre las superficies libres de dos depósitos abiertos la ecuación de la energía da Δz = hf + hm, incluida la pérdida de salida K = 1.
Coeficientes de pérdida
f·L/D = 0,02·150/0,1 = 30
ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 5 + 1,0 = 7,1
Ecuación de la energía
Las dos superficies están abiertas al aire y prácticamente en reposo, así que todo Δz se pierde en la tubería.
27 = (30 + 7,1)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·27/37,1) = 3,779 m/s
Caudal
Q = V·π·D²/4 = 3,779·0,007854 = 0,02968 m³/s = 29,68 L/s
Respuesta
Q = 29,68 L/s
7.Bombas y potencia de bombeo
Respuesta: Pel = 12,74 kW
Potencia de una bomba: la potencia que recibe el agua es la potencia hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. El eje debe entregar más porque la bomba tiene pérdidas: Pshaft = Ph/ηpump, y el motor absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La altura de la bomba H sale de la ecuación de la energía: altura geométrica + altura de presión + todas las pérdidas por fricción y localizadas.
Potencia hidráulica
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,02·38 = 7,456 kW
Potencia en el eje
Pshaft = 7,456/0,65 = 11,47 kW
Potencia eléctrica
Pel = 11,47/0,9 = 12,74 kW
Respuesta
Pel = 12,74 kW
8.Bombas y potencia de bombeo
Respuesta: Pshaft = 19,66 kW
Potencia de una bomba: la potencia que recibe el agua es la potencia hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. El eje debe entregar más porque la bomba tiene pérdidas: Pshaft = Ph/ηpump, y el motor absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La altura de la bomba H sale de la ecuación de la energía: altura geométrica + altura de presión + todas las pérdidas por fricción y localizadas.
Velocidad
V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s
V²/(2g) = 0,408 m
Pérdidas de carga
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (16,67 + 8)·0,408 = 10,06 m
Altura de la bomba
H = Δz + hL = 22 + 10,06 = 32,06 m
Potencia en el eje
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,05·32,06/0,8 = 19,66 kW
Respuesta
Pshaft = 19,66 kW
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