Sistemas mecatrónicos: pack de repaso

Motor de corriente continua: el inducido es una resistencia R_a en serie con la fuerza contraelectromotriz E, de modo que V = E + I_a·R_a. La fuerza contraelectromotriz crece con la velocidad, E = k·ω, y el par con la corriente, T = k·I_a, con la misma constante del motor k (V·s/rad = N·m/A) en unidades del SI. Convierte las velocidades con ω = 2π·n/60. La potencia desarrollada es E·I_a = T·ω; la potencia de entrada es V·I_a, y las pérdidas en el cobre I_a²R_a y las pérdidas rotacionales son la diferencia. La velocidad cae linealmente con el par, ω = V/k − R_a·T/k², desde la velocidad en vacío V/k hasta cero en el par de bloqueo k·V/R_a. En reposo E = 0, así que la corriente de arranque V/R_a es grande a menos que una resistencia la limite.

Motor de corriente continua: el inducido es una resistencia R_a en serie con la fuerza contraelectromotriz E, de modo que V = E + I_a·R_a. La fuerza contraelectromotriz crece con la velocidad, E = k·ω, y el par con la corriente, T = k·I_a, con la misma constante del motor k (V·s/rad = N·m/A) en unidades del SI. Convierte las velocidades con ω = 2π·n/60. La potencia desarrollada es E·I_a = T·ω; la potencia de entrada es V·I_a, y las pérdidas en el cobre I_a²R_a y las pérdidas rotacionales son la diferencia. La velocidad cae linealmente con el par, ω = V/k − R_a·T/k², desde la velocidad en vacío V/k hasta cero en el par de bloqueo k·V/R_a. En reposo E = 0, así que la corriente de arranque V/R_a es grande a menos que una resistencia la limite.

Trenes de engranajes: los engranajes que engranan entre sí tienen la misma velocidad en los dientes, así que n₁·N₁ = n₂·N₂: el engranaje con menos dientes gira más rápido. Los engranajes montados en un mismo eje giran a la misma velocidad. La potencia se transmite (menos las pérdidas), así que el par aumenta cuando la velocidad disminuye: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, y P = T·ω con ω = 2π·n/60.

Transmisiones por correa: sin deslizamiento, ambas poleas tienen la misma velocidad periférica v = π·d·n/60, así que n₁·d₁ = n₂·d₂ y la relación de velocidades es d₂/d₁. El deslizamiento s hace que la polea conducida gire un poco más despacio: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). La potencia transmitida es P = (T₁ − T₂)·v, con T₁ la tensión del ramal tenso y T₂ la del ramal flojo. El rozamiento limita la relación de tensiones: T₁/T₂ = e^μθ, donde θ es el ángulo de contacto en radianes sobre la polea menor; para una correa abierta θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) con distancia entre centros C.

Resolución del ADC: un convertidor de N bits divide su rango de fondo de escala V_FSR en 2ᴺ códigos, de 0 a 2ᴺ − 1. Un paso es 1 LSB = V_FSR/2ᴺ: el cambio más pequeño que puede mostrar el convertidor. Un ADC con truncamiento da el código ⌊V_in/LSB⌋; un ADC con redondeo nunca se aparta más de ½ LSB del valor real, que es su error de cuantización. Cada bit adicional reduce a la mitad el LSB y suma unos 6 dB a la relación señal/ruido de cuantización ideal SQNR = 6,02·N + 1,76 dB para una senoide a fondo de escala. Para alcanzar una resolución r en un rango, elige el menor N con 2ᴺ ≥ rango/r.

Resolución del ADC: un convertidor de N bits divide su rango de fondo de escala V_FSR en 2ᴺ códigos, de 0 a 2ᴺ − 1. Un paso es 1 LSB = V_FSR/2ᴺ: el cambio más pequeño que puede mostrar el convertidor. Un ADC con truncamiento da el código ⌊V_in/LSB⌋; un ADC con redondeo nunca se aparta más de ½ LSB del valor real, que es su error de cuantización. Cada bit adicional reduce a la mitad el LSB y suma unos 6 dB a la relación señal/ruido de cuantización ideal SQNR = 6,02·N + 1,76 dB para una senoide a fondo de escala. Para alcanzar una resolución r en un rango, elige el menor N con 2ᴺ ≥ rango/r.

Puente de Wheatstone: dos divisores de tensión comparten una alimentación V_s. El divisor izquierdo R₁–R₂ da V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂) y el divisor derecho R₃–R₄ da V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); la salida es V_ab = V_a − V_b. El puente está equilibrado (V_ab = 0, sin corriente en el medidor) cuando R₁/R₂ = R₃/R₄, es decir, R₁·R₄ = R₂·R₃. Visto desde la salida, el puente es una fuente de Thévenin con R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Galgas extensométricas: una galga cambia su resistencia con la deformación: ΔR/R = GF·ε, donde el factor de galga GF es de alrededor de 2 en las galgas de lámina metálica. En un puente con todos los brazos iguales a R, una galga activa (cuarto de puente) da V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Dos galgas activas con deformaciones opuestas en brazos adyacentes (medio puente) dan V_s·GF·ε/2, y cuatro (puente completo) dan V_s·GF·ε. La tensión mecánica se obtiene de la ley de Hooke, σ = E·ε. Las células de carga indican su sensibilidad en mV/V: la salida a plena carga por cada voltio de excitación.

Error en régimen permanente: en un lazo con realimentación unitaria y función de transferencia de lazo abierto G(s) el error es E(s) = R(s)/(1 + G(s)), y por el teorema del valor final e_ss = lim_s→0 s·E(s). El tipo del sistema es el número de polos de G(s) en s = 0. Las constantes de error son K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s) y K_a = lim s²·G(s), todas para s → 0. Un escalón de tamaño A da e_ss = A/(1 + K_p), una rampa A·t da A/K_v y una parábola A·t²/2 da A/K_a. Un lazo de tipo 0 sigue un escalón con un error finito, un lazo de tipo 1 lo sigue exactamente y sigue una rampa con un error finito.

Control P, PI y PID: el controlador C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s actúa sobre el error. Una ganancia proporcional hace el lazo más rápido y reduce el error de una planta de tipo 0, pero nunca lo elimina. El término integral añade un polo en s = 0: el tipo del sistema sube una unidad y un escalón se sigue sin error. El término derivativo añade amortiguamiento. Para elegir las ganancias, escribe el polinomio característico de lazo cerrado y compáralo con s² + 2ζω_ns + ω_n². Entonces %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d con ω_d = ω_n√(1 − ζ²), y t_s ≈ 4/(ζω_n).

Respuesta al escalón: un sistema de primer orden G(s) = K/(τs + 1) responde a un escalón de tamaño U con y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ): alcanza el 63,2 % del valor final K·U después de una constante de tiempo τ y el 98 % después de 4τ. Un sistema de segundo orden G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) tiene los polos s = −ζωₙ ± jω_d con ω_d = ωₙ√(1 − ζ²). Para 0 < ζ < 1 la respuesta al escalón tiene sobreimpulso: sobreimpulso porcentual %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, tiempo de pico t_p = π/ω_d y tiempo de establecimiento al 2 % t_s ≈ 4/(ζωₙ). Compara el denominador con s² + 2ζωₙs + ωₙ² para obtener ωₙ y ζ. Para un sistema masa–resorte–amortiguador ωₙ = √(k/m) y ζ = c/(2√(km)); para un circuito RLC serie ωₙ = 1/√(LC) y ζ = (R/2)·√(C/L).

Respuesta al escalón: un sistema de primer orden G(s) = K/(τs + 1) responde a un escalón de tamaño U con y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ): alcanza el 63,2 % del valor final K·U después de una constante de tiempo τ y el 98 % después de 4τ. Un sistema de segundo orden G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) tiene los polos s = −ζωₙ ± jω_d con ω_d = ωₙ√(1 − ζ²). Para 0 < ζ < 1 la respuesta al escalón tiene sobreimpulso: sobreimpulso porcentual %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, tiempo de pico t_p = π/ω_d y tiempo de establecimiento al 2 % t_s ≈ 4/(ζωₙ). Compara el denominador con s² + 2ζωₙs + ωₙ² para obtener ωₙ y ζ. Para un sistema masa–resorte–amortiguador ωₙ = √(k/m) y ζ = c/(2√(km)); para un circuito RLC serie ωₙ = 1/√(LC) y ζ = (R/2)·√(C/L).