Sistemas mecatrónicos: pack de repaso

Motor de corriente continua: el inducido es una resistencia R_a en serie con la fuerza contraelectromotriz E, de modo que V = E + I_a·R_a. La fuerza contraelectromotriz crece con la velocidad, E = k·ω, y el par con la corriente, T = k·I_a, con la misma constante del motor k (V·s/rad = N·m/A) en unidades del SI. Convierte las velocidades con ω = 2π·n/60. La potencia desarrollada es E·I_a = T·ω; la potencia de entrada es V·I_a, y las pérdidas en el cobre I_a²R_a y las pérdidas rotacionales son la diferencia. La velocidad cae linealmente con el par, ω = V/k − R_a·T/k², desde la velocidad en vacío V/k hasta cero en el par de bloqueo k·V/R_a. En reposo E = 0, así que la corriente de arranque V/R_a es grande a menos que una resistencia la limite.

Motor de corriente continua: el inducido es una resistencia R_a en serie con la fuerza contraelectromotriz E, de modo que V = E + I_a·R_a. La fuerza contraelectromotriz crece con la velocidad, E = k·ω, y el par con la corriente, T = k·I_a, con la misma constante del motor k (V·s/rad = N·m/A) en unidades del SI. Convierte las velocidades con ω = 2π·n/60. La potencia desarrollada es E·I_a = T·ω; la potencia de entrada es V·I_a, y las pérdidas en el cobre I_a²R_a y las pérdidas rotacionales son la diferencia. La velocidad cae linealmente con el par, ω = V/k − R_a·T/k², desde la velocidad en vacío V/k hasta cero en el par de bloqueo k·V/R_a. En reposo E = 0, así que la corriente de arranque V/R_a es grande a menos que una resistencia la limite.

Transmisiones por correa: sin deslizamiento, ambas poleas tienen la misma velocidad periférica v = π·d·n/60, así que n₁·d₁ = n₂·d₂ y la relación de velocidades es d₂/d₁. El deslizamiento s hace que la polea conducida gire un poco más despacio: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). La potencia transmitida es P = (T₁ − T₂)·v, con T₁ la tensión del ramal tenso y T₂ la del ramal flojo. El rozamiento limita la relación de tensiones: T₁/T₂ = e^μθ, donde θ es el ángulo de contacto en radianes sobre la polea menor; para una correa abierta θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) con distancia entre centros C.

Trenes epicicloidales: las velocidades del planeta, la corona y el portasatélites están relacionadas por la ecuación de Willis (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: vistos desde el portasatélites, el conjunto es un tren ordinario con los satélites como ruedas locas. Al fijar un elemento, el conjunto se convierte en un reductor de una sola relación.

Resolución del ADC: un convertidor de N bits divide su rango de fondo de escala V_FSR en 2ᴺ códigos, de 0 a 2ᴺ − 1. Un paso es 1 LSB = V_FSR/2ᴺ: el cambio más pequeño que puede mostrar el convertidor. Un ADC con truncamiento da el código ⌊V_in/LSB⌋; un ADC con redondeo nunca se aparta más de ½ LSB del valor real, que es su error de cuantización. Cada bit adicional reduce a la mitad el LSB y suma unos 6 dB a la relación señal/ruido de cuantización ideal SQNR = 6,02·N + 1,76 dB para una senoide a fondo de escala. Para alcanzar una resolución r en un rango, elige el menor N con 2ᴺ ≥ rango/r.

Resolución del ADC: un convertidor de N bits divide su rango de fondo de escala V_FSR en 2ᴺ códigos, de 0 a 2ᴺ − 1. Un paso es 1 LSB = V_FSR/2ᴺ: el cambio más pequeño que puede mostrar el convertidor. Un ADC con truncamiento da el código ⌊V_in/LSB⌋; un ADC con redondeo nunca se aparta más de ½ LSB del valor real, que es su error de cuantización. Cada bit adicional reduce a la mitad el LSB y suma unos 6 dB a la relación señal/ruido de cuantización ideal SQNR = 6,02·N + 1,76 dB para una senoide a fondo de escala. Para alcanzar una resolución r en un rango, elige el menor N con 2ᴺ ≥ rango/r.

Puente de Wheatstone: dos divisores de tensión comparten una alimentación V_s. El divisor izquierdo R₁–R₂ da V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂) y el divisor derecho R₃–R₄ da V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); la salida es V_ab = V_a − V_b. El puente está equilibrado (V_ab = 0, sin corriente en el medidor) cuando R₁/R₂ = R₃/R₄, es decir, R₁·R₄ = R₂·R₃. Visto desde la salida, el puente es una fuente de Thévenin con R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Galgas extensométricas: una galga cambia su resistencia con la deformación: ΔR/R = GF·ε, donde el factor de galga GF es de alrededor de 2 en las galgas de lámina metálica. En un puente con todos los brazos iguales a R, una galga activa (cuarto de puente) da V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Dos galgas activas con deformaciones opuestas en brazos adyacentes (medio puente) dan V_s·GF·ε/2, y cuatro (puente completo) dan V_s·GF·ε. La tensión mecánica se obtiene de la ley de Hooke, σ = E·ε. Las células de carga indican su sensibilidad en mV/V: la salida a plena carga por cada voltio de excitación.

Error en régimen permanente: en un lazo con realimentación unitaria y función de transferencia de lazo abierto G(s) el error es E(s) = R(s)/(1 + G(s)), y por el teorema del valor final e_ss = lim_s→0 s·E(s). El tipo del sistema es el número de polos de G(s) en s = 0. Las constantes de error son K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s) y K_a = lim s²·G(s), todas para s → 0. Un escalón de tamaño A da e_ss = A/(1 + K_p), una rampa A·t da A/K_v y una parábola A·t²/2 da A/K_a. Un lazo de tipo 0 sigue un escalón con un error finito, un lazo de tipo 1 lo sigue exactamente y sigue una rampa con un error finito.

Control P, PI y PID: el controlador C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s actúa sobre el error. Una ganancia proporcional hace el lazo más rápido y reduce el error de una planta de tipo 0, pero nunca lo elimina. El término integral añade un polo en s = 0: el tipo del sistema sube una unidad y un escalón se sigue sin error. El término derivativo añade amortiguamiento. Para elegir las ganancias, escribe el polinomio característico de lazo cerrado y compáralo con s² + 2ζω_ns + ω_n². Entonces %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d con ω_d = ω_n√(1 − ζ²), y t_s ≈ 4/(ζω_n).

Respuesta al escalón: un sistema de primer orden G(s) = K/(τs + 1) responde a un escalón de tamaño U con y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ): alcanza el 63,2 % del valor final K·U después de una constante de tiempo τ y el 98 % después de 4τ. Un sistema de segundo orden G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) tiene los polos s = −ζωₙ ± jω_d con ω_d = ωₙ√(1 − ζ²). Para 0 < ζ < 1 la respuesta al escalón tiene sobreimpulso: sobreimpulso porcentual %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, tiempo de pico t_p = π/ω_d y tiempo de establecimiento al 2 % t_s ≈ 4/(ζωₙ). Compara el denominador con s² + 2ζωₙs + ωₙ² para obtener ωₙ y ζ. Para un sistema masa–resorte–amortiguador ωₙ = √(k/m) y ζ = c/(2√(km)); para un circuito RLC serie ωₙ = 1/√(LC) y ζ = (R/2)·√(C/L).

Respuesta al escalón: un sistema de primer orden G(s) = K/(τs + 1) responde a un escalón de tamaño U con y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ): alcanza el 63,2 % del valor final K·U después de una constante de tiempo τ y el 98 % después de 4τ. Un sistema de segundo orden G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) tiene los polos s = −ζωₙ ± jω_d con ω_d = ωₙ√(1 − ζ²). Para 0 < ζ < 1 la respuesta al escalón tiene sobreimpulso: sobreimpulso porcentual %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, tiempo de pico t_p = π/ω_d y tiempo de establecimiento al 2 % t_s ≈ 4/(ζωₙ). Compara el denominador con s² + 2ζωₙs + ωₙ² para obtener ωₙ y ζ. Para un sistema masa–resorte–amortiguador ωₙ = √(k/m) y ζ = c/(2√(km)); para un circuito RLC serie ωₙ = 1/√(LC) y ζ = (R/2)·√(C/L).