Ley de Coulomb y campo eléctrico
- Ley de Coulomb
- F = k·|q1q2|/r²
- Campo de una carga puntual
- E = k·|q|/r²
- Constante
- k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
- Fuerza sobre una carga
- F = q·E
Física 2: Electricidad y magnetismo: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 10 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Resistencias en serie y en paralelo
- Resistencias en serie
- Req = R1 + R2 + …
- Resistencias en paralelo
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- Dos en paralelo
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- Ley de Ohm
- V = I·R
- Potencia
- P = V·I = I²R = V²/R
Método
- Empieza por el extremo de la red más alejado de los terminales.
- Combina las resistencias en serie sumándolas, y las resistencias en paralelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- Vuelve a dibujar el circuito después de cada paso.
- Repite hasta que quede una sola resistencia entre los terminales.
Transitorios RC y RL
- Constante de tiempo
- τ = RC | τ = L/R
- Respuesta
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- Condensador en continua
- circuito abierto; vC no puede saltar
- Bobina en continua
- cortocircuito; iL no puede saltar
- Régimen permanente
- t ≈ 5τ
Método
- Halla el valor inicial justo después de la conmutación: la tensión de un condensador y la corriente de una bobina no pueden variar bruscamente.
- Halla el valor final mucho después de la conmutación: un condensador se comporta como un circuito abierto y una bobina como un cortocircuito.
- Halla la constante de tiempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistencia que ve el condensador o la bobina.
- Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
Campos magnéticos e inducción
- Hilo recto y largo
- B = μ0I/(2πr)
- Centro de una bobina plana
- B = μ0NI/(2R)
- Solenoide largo
- B = μ0nI, n = N/L
- Constante
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- Fuerza sobre un hilo
- F = BIL·sin θ
- Fuerza sobre una carga
- F = |q|vB·sin θ
- Movimiento circular
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- Hilos paralelos
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- Flujo
- Φ = BA·cos θ
- Ley de Faraday
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- Varilla en movimiento
- ε = BLv
- Generador
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- Inductancia
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- Inductancia mutua
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- Selector de velocidades y espectrómetro
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
Método
- Convierte todas las magnitudes a unidades del SI: cm a m, cm² a m², mT y µT a T.
- Elige la fórmula correcta: B = μ₀I/(2πr) para un hilo, μ₀NI/(2R) para el centro de una bobina, μ₀nI dentro de un solenoide; F = BIL·sin θ o |q|vB·sin θ para las fuerzas.
- Para la inducción, halla la variación del flujo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) y usa ε = N·ΔΦ/Δt, o ε = BLv para una varilla en movimiento y NBAω para una bobina giratoria.
- Halla los sentidos por separado con las reglas de la mano derecha, y con la ley de Lenz para las corrientes inducidas.
Impedancia y fasores en alterna
- Impedancias
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- Frecuencia angular
- ω = 2πf
- Módulo y ángulo
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- Ley de Ohm con fasores
- V = I·Z
Método
- Convierte la frecuencia: ω = 2πf.
- Halla cada reactancia: XL = ωL y XC = 1/(ωC).
- Suma las impedancias como resistencias, con Z = R + jX.
- Halla el módulo |Z| = √(R² + X²) y el ángulo φ = atan(X/R), y luego aplica la ley de Ohm con fasores.
2Problemas de práctica
1.Ley de Coulomb y campo eléctricoMedia
Una carga de +6 µC y una carga de −1 µC están separadas 30 cm. El punto P está en la recta que las une, entre ambas, a 12 cm de la primera carga. Halla el módulo del campo eléctrico E en P.
q1 = +6 µCq2 = −1 µCr1 = 12 cmr2 = 18 cm
E = N/C
2.Ley de Coulomb y campo eléctricoDifícil
Tres cargas puntuales positivas están en los vértices de un triángulo rectángulo: q₃ = 4 µC está en el vértice del ángulo recto, q₁ = 5 µC está a 5 cm de ella a lo largo de un cateto y q₂ = 8 µC está a 5 cm de ella a lo largo del otro cateto. Halla el módulo de la fuerza eléctrica neta F sobre q₃.
q1 = 5 µCq2 = 8 µCq3 = 4 µCr13 = 5 cmr23 = 5 cm
F = N
3.Resistencias en serie y en paraleloMedia
Halla la corriente IR1 que entrega la fuente, que pasa por R1.
V1 = 18 VR1 = 8 ΩR2 = 8 ΩR3 = 15 ΩR4 = 12 Ω
IR1 = A
4.Resistencias en serie y en paraleloDifícil
Halla la corriente IR2 por R2.
V1 = 30 VR1 = 15 ΩR2 = 30 ΩR3 = 15 ΩR4 = 15 ΩR5 = 12 ΩR6 = 12 Ω
IR2 = A
5.Transitorios RC y RLMedia
La bobina no lleva corriente antes de que el interruptor se cierre en t = 0. Halla la corriente i en t = 5 ms.
Vs = 15 VR = 10 ΩL = 22 mHt = 5 ms
i = A
6.Transitorios RC y RLDifícil
Justo antes de que el interruptor se cierre en t = 0, el condensador tiene 12 V con la polaridad indicada. Halla la tensión del condensador vC en t = 50 ms.
Vs = 9 VR = 2,2 kΩC = 33 µFvC(0) = 12 Vt = 50 ms
vC = V
7.Campos magnéticos e inducciónMedia
Una espira circular se encuentra en un campo magnético uniforme dirigido hacia dentro de la página. La intensidad del campo aumenta. Haz clic en el sentido de la corriente inducida en la espira, tal como se ve en el dibujo.
B: hacia dentro de la páginadB/dt > 0
- 1horario
- 2en sentido antihorario
8.Campos magnéticos e inducciónDifícil
Dos bobinas con autoinducciones de 200 mH y 200 mH tienen un coeficiente de acoplamiento de 0,5. La corriente de la primera bobina varía a 10 A/s. Halla la fem ε inducida en la segunda bobina.
L1 = 200 mHL2 = 200 mHk = 0,5di/dt = 10 A/s
ε = V
9.Impedancia y fasores en alternaMedia
Un circuito RLC en serie está conectado a una alimentación de 50 V (eficaces) y 1000 Hz. Halla la corriente eficaz I.
V = 50 V (rms)f = 1000 HzR = 100 ΩL = 100 mHC = 1 µF
I = A
10.Impedancia y fasores en alternaDifícil
Un circuito RLC en serie se alimenta con una fuente de 12 V (eficaces) cuya frecuencia se ajusta a la frecuencia de resonancia del circuito. Halla la tensión eficaz VL en la bobina.
V = 12 V (rms)R = 50 ΩL = 200 mHC = 0,1 µF
VL = V
3Disoluciones
1.Ley de Coulomb y campo eléctrico
Respuesta: E = 4,023 × 10⁶ N/C
Ley de Coulomb: dos cargas puntuales se atraen o se repelen con F = k·|q₁·q₂|/r², con k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². El campo de una carga puntual es E = k·|q|/r² y apunta alejándose de una carga positiva y hacia una carga negativa. Las fuerzas y los campos de varias cargas se suman como vectores.
Campo de cada carga
E1 = k·6 × 10⁻⁶/0,12² = 3,746 × 10⁶ N/C
E2 = k·1 × 10⁻⁶/0,18² = 277469 N/C
Sentidos y suma
El primer campo apunta alejándose de la carga positiva y el segundo hacia la carga negativa: ambos apuntan en el mismo sentido.
E = |3,746 × 10⁶ + 277469| = 4,023 × 10⁶ N/C
Respuesta
E = 4,023 × 10⁶ N/C
2.Ley de Coulomb y campo eléctrico
Respuesta: F = 135,7 N
Ley de Coulomb: dos cargas puntuales se atraen o se repelen con F = k·|q₁·q₂|/r², con k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². El campo de una carga puntual es E = k·|q|/r² y apunta alejándose de una carga positiva y hacia una carga negativa. Las fuerzas y los campos de varias cargas se suman como vectores.
Cada fuerza sobre q₃
F1 = k·5·4 × 10⁻¹²/0,05² = 71,92 N
F2 = k·8·4 × 10⁻¹²/0,05² = 115,1 N
Suma vectorial
F = √(71,92² + 115,1²) = 135,7 N
Respuesta
F = 135,7 N
3.Resistencias en serie y en paralelo
Respuesta: IR1 = 1,27 A
Resistencias en serie y en paralelo: en serie, la misma corriente pasa por cada resistencia y R = R₁ + R₂ + …. En paralelo, cada resistencia tiene la misma tensión y 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una red en escalera se reduce por parejas hasta que queda una sola resistencia equivalente.
Combina las resistencias desde el extremo más lejano
Empieza por el extremo más alejado de la fuente y avanza hacia ella. Las resistencias con la misma corriente están en serie; las que están entre los mismos dos nodos, en paralelo.
R3 + R4 = 15 + 12 = 27 Ω
R2 ∥ 27 = 8·27/(8+27) = 6,171 Ω
Req = R1 + 6,171 = 8 + 6,171 = 14,17 Ω
Corriente de la fuente
La fuente solo ve Req, así que la ley de Ohm da la corriente que entrega. Esa corriente pasa por R₁.
IR1 = V1/Req = 18/14,17 = 1,27 A
Respuesta
IR1 = 1,27 A
4.Resistencias en serie y en paralelo
Respuesta: IR2 = 0,4719 A
Resistencias en serie y en paralelo: en serie, la misma corriente pasa por cada resistencia y R = R₁ + R₂ + …. En paralelo, cada resistencia tiene la misma tensión y 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una red en escalera se reduce por parejas hasta que queda una sola resistencia equivalente.
Combina las resistencias desde el extremo más lejano
Empieza por el extremo más alejado de la fuente y avanza hacia ella. Las resistencias con la misma corriente están en serie; las que están entre los mismos dos nodos, en paralelo.
R5 + R6 = 12 + 12 = 24 Ω
R4 ∥ 24 = 9,231 Ω
R3 + 9,231 = 24,23 Ω
R2 ∥ 24,23 = 13,4 Ω
Req = R1 + 13,4 = 15 + 13,4 = 28,4 Ω
Corriente de la fuente
La fuente solo ve Req, así que la ley de Ohm da la corriente que entrega. Esa corriente pasa por R₁.
IR1 = V1/Req = 30/28,4 = 1,056 A
Corriente por R₂
Resta la caída en R₁ para obtener la tensión en el nodo A, que es la tensión en R₂.
VA = V1 − IR1·R1 = 30 − 1,056·15 = 14,16 V
IR2 = VA/R2 = 14,16/30 = 0,4719 A
Respuesta
IR2 = 0,4719 A
5.Transitorios RC y RL
Respuesta: i = 1,345 A
Transitorios de primer orden: en un circuito con un condensador o una bobina, cada tensión y corriente pasa de forma exponencial de su valor inicial a su valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Tras unos 5τ el circuito se ha estabilizado.
Constante de tiempo y corriente final
Mucho después de cerrar el interruptor la bobina se comporta como un cortocircuito, así que la corriente final la fija solo R.
τ = L/R = 22 mH / 10 Ω = 2,2 ms
i(∞) = Vs/R = 15/10 = 1,5 A
Corriente en el instante dado
i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 1,5·(1 − e−5/2,2) = 1,345 A
Respuesta
i = 1,345 A
6.Transitorios RC y RL
Respuesta: vC = 10,51 V
Transitorios de primer orden: en un circuito con un condensador o una bobina, cada tensión y corriente pasa de forma exponencial de su valor inicial a su valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Tras unos 5τ el circuito se ha estabilizado.
Valor inicial, valor final, constante de tiempo
La tensión del condensador no puede saltar, así que parte de su valor almacenado y tiende a la tensión de la fuente.
vC(0) = 12 V, vC(∞) = Vs = 9 V
τ = R·C = 2,2 kΩ · 33 µF = 72,6 ms
vC(t) = 9 + (12 − 9)·e−t/τ
Tensión en el instante dado
vC(50) = 9 + (3)·e−50/72,6 = 10,51 V
Respuesta
vC = 10,51 V
7.Campos magnéticos e inducción
Respuesta: en sentido antihorario
Inducción electromagnética: el flujo a través de una espira es Φ = BA·cos θ, con θ entre B y la normal de la espira. Ley de Faraday: un cambio de flujo induce una fem = −N·dΦ/dt en una bobina de N espiras, y la ley de Lenz dice que la corriente inducida circula de modo que su propio campo se opone al cambio. Una varilla que se mueve a través de un campo da una fem = BLv. Una bobina que gira con ω da e = NBAω·sin ωt, con pico NBAω. Autoinducción: fem = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l para un solenoide largo, y la energía almacenada es W = ½LI². Dos bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).
Variación del flujo
El flujo hacia dentro de la página aumenta, o el flujo hacia fuera de la página disminuye.
Campo de la corriente inducida
La corriente inducida se opone a la variación.
Campo inducido dentro de la espira: hacia fuera de la página.
Sentido de la corriente
Regla de la mano derecha: una corriente en sentido antihorario da un campo hacia fuera de la página dentro de la espira.
en sentido antihorario
Respuesta
en sentido antihorario
8.Campos magnéticos e inducción
Respuesta: ε = 1 V
Inducción electromagnética: el flujo a través de una espira es Φ = BA·cos θ, con θ entre B y la normal de la espira. Ley de Faraday: un cambio de flujo induce una fem = −N·dΦ/dt en una bobina de N espiras, y la ley de Lenz dice que la corriente inducida circula de modo que su propio campo se opone al cambio. Una varilla que se mueve a través de un campo da una fem = BLv. Una bobina que gira con ω da e = NBAω·sin ωt, con pico NBAω. Autoinducción: fem = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l para un solenoide largo, y la energía almacenada es W = ½LI². Dos bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).
Inductancia mutua
M = 0,5·√(200·200) = 100 mH
Fem inducida
ε = M·di/dt = 0,1·10 = 1 V
Respuesta
ε = 1 V
9.Impedancia y fasores en alterna
Respuesta: I = 0,1042 A
Circuitos de alterna con fasores: resistencias, bobinas y condensadores tienen impedancias R, jωL y 1/(jωC), con ω = 2πf. En serie, las impedancias se suman como resistencias, pero como números complejos. La corriente y la tensión eficaces siguen la ley de Ohm con |Z|.
Reactancias
ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s
XL = ωL = 6283·0,1 = 628,3 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(6283·1·10⁻⁶) = 159,2 Ω
Impedancia
En serie, las impedancias se suman como números complejos: Z = R + j(XL − XC).
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(100² + (469,2)²) = 479,7 Ω
Corriente
La misma corriente pasa por todos los elementos de un circuito en serie.
I = V/|Z| = 50/479,7 = 0,1042 A
Respuesta
I = 0,1042 A
10.Impedancia y fasores en alterna
Respuesta: VL = 339,4 V
Circuitos de alterna con fasores: resistencias, bobinas y condensadores tienen impedancias R, jωL y 1/(jωC), con ω = 2πf. En serie, las impedancias se suman como resistencias, pero como números complejos. La corriente y la tensión eficaces siguen la ley de Ohm con |Z|.
Resonancia
En resonancia las reactancias se anulan, así que la impedancia es simplemente R.
ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,2·0,1·10⁻⁶) = 7071 rad/s
I = V/R = 12/50 = 0,24 A
Tensión en la bobina
XL = ω₀L = 7071·0,2 = 1414 Ω
VL = I·XL = 0,24·1414 = 339,4 V
Respuesta
VL = 339,4 V
Esto es Q = 28,28 veces la tensión de alimentación.
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