Física 2: Electricidad y magnetismo: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 10 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Ley de Coulomb y campo eléctrico

Ley de Coulomb
F = k·|q1q2|/r²
Campo de una carga puntual
E = k·|q|/r²
Constante
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Fuerza sobre una carga
F = q·E

Resistencias en serie y en paralelo

Resistencias en serie
Req = R1 + R2 + …
Resistencias en paralelo
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Dos en paralelo
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Ley de Ohm
V = I·R
Potencia
P = V·I = I²R = V²/R

Método

  1. Empieza por el extremo de la red más alejado de los terminales.
  2. Combina las resistencias en serie sumándolas, y las resistencias en paralelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Vuelve a dibujar el circuito después de cada paso.
  4. Repite hasta que quede una sola resistencia entre los terminales.

Transitorios RC y RL

Constante de tiempo
τ = RC | τ = L/R
Respuesta
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Condensador en continua
circuito abierto; vC no puede saltar
Bobina en continua
cortocircuito; iL no puede saltar
Régimen permanente
t ≈ 5τ

Método

  1. Halla el valor inicial justo después de la conmutación: la tensión de un condensador y la corriente de una bobina no pueden variar bruscamente.
  2. Halla el valor final mucho después de la conmutación: un condensador se comporta como un circuito abierto y una bobina como un cortocircuito.
  3. Halla la constante de tiempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistencia que ve el condensador o la bobina.
  4. Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Campos magnéticos e inducción

Hilo recto y largo
B = μ0I/(2πr)
Centro de una bobina plana
B = μ0NI/(2R)
Solenoide largo
B = μ0nI, n = N/L
Constante
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Fuerza sobre un hilo
F = BIL·sin θ
Fuerza sobre una carga
F = |q|vB·sin θ
Movimiento circular
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Hilos paralelos
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Flujo
Φ = BA·cos θ
Ley de Faraday
ε = −N·ΔΦ/Δt
Varilla en movimiento
ε = BLv
Generador
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Inductancia
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Inductancia mutua
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Selector de velocidades y espectrómetro
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

  1. Convierte todas las magnitudes a unidades del SI: cm a m, cm² a m², mT y µT a T.
  2. Elige la fórmula correcta: B = μ₀I/(2πr) para un hilo, μ₀NI/(2R) para el centro de una bobina, μ₀nI dentro de un solenoide; F = BIL·sin θ o |q|vB·sin θ para las fuerzas.
  3. Para la inducción, halla la variación del flujo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) y usa ε = N·ΔΦ/Δt, o ε = BLv para una varilla en movimiento y NBAω para una bobina giratoria.
  4. Halla los sentidos por separado con las reglas de la mano derecha, y con la ley de Lenz para las corrientes inducidas.

Impedancia y fasores en alterna

Impedancias
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Frecuencia angular
ω = 2πf
Módulo y ángulo
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Ley de Ohm con fasores
V = I·Z

Método

  1. Convierte la frecuencia: ω = 2πf.
  2. Halla cada reactancia: XL = ωL y XC = 1/(ωC).
  3. Suma las impedancias como resistencias, con Z = R + jX.
  4. Halla el módulo |Z| = √(R² + X²) y el ángulo φ = atan(X/R), y luego aplica la ley de Ohm con fasores.

2Problemas de práctica

1.Ley de Coulomb y campo eléctricoMedia
++2 µC++5 µCP10 cm

Una carga de +2 µC y una carga de +5 µC están separadas 10 cm. El punto P está en la recta que las une, entre ambas, a 2,5 cm de la primera carga. Halla el módulo del campo eléctrico E en P.

q1 = +2 µCq2 = +5 µCr1 = 2,5 cmr2 = 7,5 cm
E = N/C
2.Ley de Coulomb y campo eléctricoDifícil
4 cm4 cm+q1​ = +5 µC+q3​ = +5 µC+q2​ = +6 µC

Tres cargas puntuales positivas están en los vértices de un triángulo rectángulo: q₃ = 5 µC está en el vértice del ángulo recto, q₁ = 5 µC está a 4 cm de ella a lo largo de un cateto y q₂ = 6 µC está a 4 cm de ella a lo largo del otro cateto. Halla el módulo de la fuerza eléctrica neta F sobre q₃.

q1 = 5 µCq2 = 6 µCq3 = 5 µCr13 = 4 cmr23 = 4 cm
F = N
3.Resistencias en serie y en paraleloMedia
R1​ = 12 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​6 VR2​3 ΩAR4​10 ΩB

Halla la resistencia equivalente Req que ve la fuente V1.

V1 = 6 VR1 = 12 ΩR2 = 3 ΩR3 = 3 ΩR4 = 10 Ω
Req = Ω
4.Resistencias en serie y en paraleloDifícil
R1​ = 8 ΩR3​ = 6 ΩR5​ = 4 Ω+−V1​10 VR2​12 ΩAR4​5 ΩBR6​5 Ω

Halla la resistencia equivalente Req que ve la fuente V1.

V1 = 10 VR1 = 8 ΩR2 = 12 ΩR3 = 6 ΩR4 = 5 ΩR5 = 4 ΩR6 = 5 Ω
Req = Ω
5.Transitorios RC y RLMedia
+−Vs​10 Vt = 0R = 22 ΩL22 mHi(t)

La bobina no lleva corriente antes de que el interruptor se cierre en t = 0. Halla la tensión vL en la bobina en t = 1 ms.

Vs = 10 VR = 22 ΩL = 22 mHt = 1 ms
vL = V
6.Transitorios RC y RLDifícil
+−Vs​12 Vt = 0R = 10 kΩC10 µF+−vC​vC​(0) = 18 V

Justo antes de que el interruptor se cierre en t = 0, el condensador tiene 18 V con la polaridad indicada. ¿Cuánto tarda vC en llegar a 13,2 V? Halla t.

Vs = 12 VR = 10 kΩC = 10 µFvC(0) = 18 V
t = ms
7.Campos magnéticos e inducciónMedia
R = 1 Ωv = 4 m/sL = 80 cmB = 0,2 T

Una varilla metálica de 80 cm de longitud se desliza a 4 m/s sobre dos raíles en un campo uniforme de 0,2 T que entra en la página. Los raíles están unidos por una resistencia de 1 Ω; la varilla y los raíles tienen una resistencia despreciable. Halla la fuerza F necesaria para mantener la varilla en movimiento a velocidad constante (sin rozamiento).

B = 0,2 TL = 80 cmv = 4 m/sR = 1 Ω
F = mN
8.Campos magnéticos e inducciónDifícil
V = 1000 VB = 0,1 Tr = ?

Un protón parte del reposo, se acelera a través de una diferencia de potencial de 1000 V y luego entra en un campo magnético uniforme de 0,1 T en ángulo recto. Halla el radio r de su trayectoria en el campo.

m = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ CV = 1000 VB = 0,1 T
r = cm
9.Impedancia y fasores en alternaMedia
120 V60 HzR = 40 ΩL = 200 mHC = 10 µF

Un circuito RLC en serie está conectado a una alimentación de 120 V (eficaces) y 60 Hz. Halla el ángulo de fase φ de la impedancia, en grados (positivo cuando la corriente va retrasada respecto a la tensión).

V = 120 V (rms)f = 60 HzR = 40 ΩL = 200 mHC = 10 µF
φ = °
10.Impedancia y fasores en alternaDifícil
100 V100 HzR = 40 ΩL = 250 mHC = 22 µFI

Un circuito RLC en serie está conectado a una alimentación de 100 V (eficaces) y 100 Hz. Halla la corriente eficaz I.

V = 100 V (rms)f = 100 HzR = 40 ΩL = 250 mHC = 22 µF
I = A

3Disoluciones

1.Ley de Coulomb y campo eléctrico

Respuesta: E = 2,078 × 10⁷ N/C

Ley de Coulomb: dos cargas puntuales se atraen o se repelen con F = k·|q₁·q₂|/r², con k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². El campo de una carga puntual es E = k·|q|/r² y apunta alejándose de una carga positiva y hacia una carga negativa. Las fuerzas y los campos de varias cargas se suman como vectores.

Campo de cada carga

E1 = k·2 × 10⁻⁶/0,025² = 2,877 × 10⁷ N/C
E2 = k·5 × 10⁻⁶/0,075² = 7,991 × 10⁶ N/C

Sentidos y suma

Las dos cargas son positivas: en P cada campo apunta alejándose de su carga, es decir, en sentidos opuestos.

E = |2,877 × 10⁷ − 7,991 × 10⁶| = 2,078 × 10⁷ N/C

Respuesta

E = 2,078 × 10⁷ N/C
2.Ley de Coulomb y campo eléctrico

Respuesta: F = 219,4 N

Ley de Coulomb: dos cargas puntuales se atraen o se repelen con F = k·|q₁·q₂|/r², con k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². El campo de una carga puntual es E = k·|q|/r² y apunta alejándose de una carga positiva y hacia una carga negativa. Las fuerzas y los campos de varias cargas se suman como vectores.

Cada fuerza sobre q₃

F1 = k·5·5 × 10⁻¹²/0,04² = 140,5 N
F2 = k·6·5 × 10⁻¹²/0,04² = 168,6 N

Suma vectorial

F = √(140,5² + 168,6²) = 219,4 N

Respuesta

F = 219,4 N
3.Resistencias en serie y en paralelo

Respuesta: Req = 14,44 Ω

Resistencias en serie y en paralelo: en serie, la misma corriente pasa por cada resistencia y R = R₁ + R₂ + …. En paralelo, cada resistencia tiene la misma tensión y 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una red en escalera se reduce por parejas hasta que queda una sola resistencia equivalente.

R1​ = 12 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​6 VR2​3 ΩAR4​10 ΩB

Combina las resistencias desde el extremo más lejano

Empieza por el extremo más alejado de la fuente y avanza hacia ella. Las resistencias con la misma corriente están en serie; las que están entre los mismos dos nodos, en paralelo.

R3 + R4 = 3 + 10 = 13 Ω
R2 ∥ 13 = 3·13/(3+13) = 2,438 Ω
Req = R1 + 2,438 = 12 + 2,438 = 14,44 Ω

Respuesta

Req = 14,44 Ω
4.Resistencias en serie y en paralelo

Respuesta: Req = 13,21 Ω

Resistencias en serie y en paralelo: en serie, la misma corriente pasa por cada resistencia y R = R₁ + R₂ + …. En paralelo, cada resistencia tiene la misma tensión y 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una red en escalera se reduce por parejas hasta que queda una sola resistencia equivalente.

R1​ = 8 ΩR3​ = 6 ΩR5​ = 4 Ω+−V1​10 VR2​12 ΩAR4​5 ΩBR6​5 Ω

Combina las resistencias desde el extremo más lejano

Empieza por el extremo más alejado de la fuente y avanza hacia ella. Las resistencias con la misma corriente están en serie; las que están entre los mismos dos nodos, en paralelo.

R5 + R6 = 4 + 5 = 9 Ω
R4 ∥ 9 = 3,214 Ω
R3 + 3,214 = 9,214 Ω
R2 ∥ 9,214 = 5,212 Ω
Req = R1 + 5,212 = 8 + 5,212 = 13,21 Ω

Respuesta

Req = 13,21 Ω
5.Transitorios RC y RL

Respuesta: vL = 3,679 V

Transitorios de primer orden: en un circuito con un condensador o una bobina, cada tensión y corriente pasa de forma exponencial de su valor inicial a su valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Tras unos 5τ el circuito se ha estabilizado.

Constante de tiempo y corriente final

Mucho después de cerrar el interruptor la bobina se comporta como un cortocircuito, así que la corriente final la fija solo R.

τ = L/R = 22 mH / 22 Ω = 1 ms
i(∞) = Vs/R = 10/22 = 0,4545 A

Tensión en la bobina

En t = 0 toda la tensión de alimentación aparece en la bobina; después cae a cero.

vL(t) = Vs·e−t/τ = 10·e−1/1 = 3,679 V

Respuesta

vL = 3,679 V
6.Transitorios RC y RL

Respuesta: t = 160,9 ms

Transitorios de primer orden: en un circuito con un condensador o una bobina, cada tensión y corriente pasa de forma exponencial de su valor inicial a su valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Tras unos 5τ el circuito se ha estabilizado.

Valor inicial, valor final, constante de tiempo

La tensión del condensador no puede saltar, así que parte de su valor almacenado y tiende a la tensión de la fuente.

vC(0) = 18 V, vC(∞) = Vs = 12 V
τ = R·C = 10 kΩ · 10 µF = 100 ms
vC(t) = 12 + (18 − 12)·e−t/τ

Despeja el tiempo

13,2 = 12 + (6)·e−t/τ → e−t/τ = (13,2 − 12)/(18 − 12) = 0,2
t = τ·ln((18 − 12)/(13,2 − 12)) = 100·ln(5) = 160,9 ms

Respuesta

t = 160,9 ms
7.Campos magnéticos e inducción

Respuesta: F = 102,4 mN

Inducción electromagnética: el flujo a través de una espira es Φ = BA·cos θ, con θ entre B y la normal de la espira. Ley de Faraday: un cambio de flujo induce una fem = −N·dΦ/dt en una bobina de N espiras, y la ley de Lenz dice que la corriente inducida circula de modo que su propio campo se opone al cambio. Una varilla que se mueve a través de un campo da una fem = BLv. Una bobina que gira con ω da e = NBAω·sin ωt, con pico NBAω. Autoinducción: fem = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l para un solenoide largo, y la energía almacenada es W = ½LI². Dos bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

Fem de movimiento

ε = BLv = 0,2·0,8·4 = 0,64 V

Corriente

I = ε/R = 0,64/1 = 0,64 A

Fuerza de frenado

Ley de Lenz: la fuerza sobre la corriente inducida se opone al movimiento.

F = BIL = 0,2·0,64·0,8 = 0,1024 N

Respuesta

F = 102,4 mN
8.Campos magnéticos e inducción

Respuesta: r = 4,57 cm

Fuerzas magnéticas: un hilo recto que lleva una corriente I en un campo B sufre F = BIL·sin θ, y una carga en movimiento F = |q|vB·sin θ, donde θ es el ángulo entre la corriente (o la velocidad) y B. La fuerza es perpendicular a ambos: apunta con los dedos de la mano derecha a lo largo de I o v, gíralos hacia B, y el pulgar da F para una carga positiva; invierte el sentido para una carga negativa. Como F es perpendicular a v, una carga que se mueve a través de un campo uniforme describe una circunferencia: |q|vB = mv²/r da r = mv/(|q|B) y el periodo T = 2πm/(|q|B), que no depende de la velocidad. Dos hilos paralelos se atraen cuando las corrientes tienen el mismo sentido: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Velocidad tras la aceleración

v = √(2|q|V/m) = √(2·1,602 × 10⁻¹⁹·1000/(1,673 × 10⁻²⁷)) = 437621 m/s

Radio en el campo

r = mv/(|q|B) = 0,0457 m = 4,57 cm

Respuesta

r = 4,57 cm

Combinando: r = √(2mV/|q|)/B, así que los iones más pesados de la misma carga describen circunferencias mayores; así se separan los isótopos.

9.Impedancia y fasores en alterna

Respuesta: φ = −78,1 °

Circuitos de alterna con fasores: resistencias, bobinas y condensadores tienen impedancias R, jωL y 1/(jωC), con ω = 2πf. En serie, las impedancias se suman como resistencias, pero como números complejos. La corriente y la tensión eficaces siguen la ley de Ohm con |Z|.

Reactancias

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0,2 = 75,4 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(377·10·10⁻⁶) = 265,3 Ω

Impedancia

En serie, las impedancias se suman como números complejos: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(40² + (−189,9)²) = 194 Ω

Ángulo de fase

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(−189,9/40) = −78,1°

Respuesta

φ = −78,1°
10.Impedancia y fasores en alterna

Respuesta: I = 1,067 A

Circuitos de alterna con fasores: resistencias, bobinas y condensadores tienen impedancias R, jωL y 1/(jωC), con ω = 2πf. En serie, las impedancias se suman como resistencias, pero como números complejos. La corriente y la tensión eficaces siguen la ley de Ohm con |Z|.

Reactancias

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s
XL = ωL = 628,3·0,25 = 157,1 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628,3·22·10⁻⁶) = 72,34 Ω

Impedancia

En serie, las impedancias se suman como números complejos: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(40² + (84,74)²) = 93,7 Ω

Corriente

La misma corriente pasa por todos los elementos de un circuito en serie.

I = V/|Z| = 100/93,7 = 1,067 A

Respuesta

I = 1,067 A

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