Física 2: Electricidad y magnetismo: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 10 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Ley de Coulomb y campo eléctrico

Ley de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de una carga puntual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Fuerza sobre una carga: F = q·E

Resistencias en serie y en paralelo

Resistencias en serie: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistencias en paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dos en paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Ley de Ohm: V = I·R
Potencia: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Empieza por el extremo de la red más alejado de los terminales.
Combina las resistencias en serie sumándolas, y las resistencias en paralelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Vuelve a dibujar el circuito después de cada paso.
Repite hasta que quede una sola resistencia entre los terminales.

Transitorios RC y RL

Constante de tiempo: τ = RC | τ = L/R
Respuesta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensador en continua: circuito abierto; v_C no puede saltar
Bobina en continua: cortocircuito; i_L no puede saltar
Régimen permanente: t ≈ 5τ

Método

Halla el valor inicial justo después de la conmutación: la tensión de un condensador y la corriente de una bobina no pueden variar bruscamente.
Halla el valor final mucho después de la conmutación: un condensador se comporta como un circuito abierto y una bobina como un cortocircuito.
Halla la constante de tiempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistencia que ve el condensador o la bobina.
Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e inducción

Hilo recto y largo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de una bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide largo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Fuerza sobre un hilo: F = BIL·sin θ
Fuerza sobre una carga: F = |q|vB·sin θ
Movimiento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Hilos paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Flujo: Φ = BA·cos θ
Ley de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Varilla en movimiento: ε = BLv
Generador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Inductancia: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Inductancia mutua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selector de velocidades y espectrómetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Convierte todas las magnitudes a unidades del SI: cm a m, cm² a m², mT y µT a T.
Elige la fórmula correcta: B = μ₀I/(2πr) para un hilo, μ₀NI/(2R) para el centro de una bobina, μ₀nI dentro de un solenoide; F = BIL·sin θ o |q|vB·sin θ para las fuerzas.
Para la inducción, halla la variación del flujo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) y usa ε = N·ΔΦ/Δt, o ε = BLv para una varilla en movimiento y NBAω para una bobina giratoria.
Halla los sentidos por separado con las reglas de la mano derecha, y con la ley de Lenz para las corrientes inducidas.

Impedancia y fasores en alterna

Impedancias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frecuencia angular: ω = 2πf
Módulo y ángulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Ley de Ohm con fasores: V = I·Z

Método

Convierte la frecuencia: ω = 2πf.
Halla cada reactancia: X_L = ωL y X_C = 1/(ωC).
Suma las impedancias como resistencias, con Z = R + jX.
Halla el módulo |Z| = √(R² + X²) y el ángulo φ = atan(X/R), y luego aplica la ley de Ohm con fasores.

2Problemas de práctica

1.Ley de Coulomb y campo eléctricoMedia

Dos cargas de +1 µC y +10 µC están a 60 cm de distancia. ¿A qué distancia x de la carga de +1 µC, sobre la recta que las une, es nulo el campo eléctrico?

q₁ = +1 µCq₂ = +10 µCd = 60 cm

x = cm

2.Ley de Coulomb y campo eléctricoDifícil

Un electrón entra en el campo uniforme entre dos placas paralelas moviéndose paralelamente a ellas a 1 × 10⁷ m/s. Las placas miden 6 cm de longitud y el campo entre ellas es de 1000 N/C. Carga del electrón 1,602 × 10⁻¹⁹ C, masa 9,109 × 10⁻³¹ kg; desprecia la gravedad. ¿Cuánto y se desvía lateralmente al salir de las placas? Da el resultado en mm.

v₀ = 1 × 10⁷ m/sL = 6 cmE = 1000 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9,109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.Resistencias en serie y en paraleloMedia

Halla la corriente I_R2 por R₂.

V₁ = 12 VR₁ = 8 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 10 Ω

I_R2 = A

4.Resistencias en serie y en paraleloDifícil

Halla la resistencia equivalente R_eq que ve la fuente V₁.

V₁ = 30 VR₁ = 6 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 5 ΩR₆ = 30 Ω

R_eq = Ω

5.Transitorios RC y RLMedia

La bobina no lleva corriente antes de que el interruptor se cierre en t = 0. Halla la energía W almacenada en la bobina en t = 5 ms, en mJ.

V_s = 20 VR = 50 ΩL = 150 mHt = 5 ms

W = mJ

6.Transitorios RC y RLDifícil

Un temporizador empieza a cargar en t = 0 un condensador descargado a través de una resistencia desde una alimentación de 15 V. Debe dispararse cuando la tensión del condensador llegue a 9,48 V, exactamente 100 ms después del inicio. Con R = 1 kΩ, halla la capacidad C necesaria.

V_s = 15 VV_th = 9,48 VT = 100 msR = 1 kΩ

C = µF

7.Campos magnéticos e inducciónMedia

Una espira circular se encuentra en un campo magnético uniforme dirigido hacia fuera de la página. La intensidad del campo aumenta. Haz clic en el sentido de la corriente inducida en la espira, tal como se ve en el dibujo.

B: hacia fuera de la páginadB/dt > 0

1horario
2en sentido antihorario

8.Campos magnéticos e inducciónDifícil

Dos bobinas con autoinducciones de 20 mH y 20 mH tienen un coeficiente de acoplamiento de 0,6. La corriente de la primera bobina varía a 20 A/s. Halla la fem ε inducida en la segunda bobina.

L₁ = 20 mHL₂ = 20 mHk = 0,6di/dt = 20 A/s

ε = V

9.Impedancia y fasores en alternaMedia

Un circuito RLC en serie está conectado a una alimentación de 24 V (eficaces) y 60 Hz. Halla la potencia activa P que se toma de la alimentación.

V = 24 V (rms)f = 60 HzR = 60 ΩL = 50 mHC = 10 µF

P = W

10.Impedancia y fasores en alternaDifícil

Un circuito RLC en serie se alimenta con una fuente de 24 V (eficaces) cuya frecuencia se ajusta a la frecuencia de resonancia del circuito. Halla la tensión eficaz V_L en la bobina.

V = 24 V (rms)R = 5 ΩL = 10 mHC = 0,47 µF

V_L = V

3Disoluciones

1.Ley de Coulomb y campo eléctrico

Respuesta: x = 14,42 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Campos iguales

1/x² = 10/(60 − x)²

(60 − x)/x = √(10/1) = 3,162

Posición

x = 60/(1 + 3,162) = 14,42 cm

Respuesta

x = 14,42 cm

El punto de campo nulo siempre está más cerca de la carga menor.

2.Ley de Coulomb y campo eléctrico

Respuesta: y = 3,166 mm

Tiempo entre las placas

t = L/v₀ = 0,06/1 × 10⁷ = 6 × 10⁻⁹ s

Aceleración lateral

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·1000/9,109 × 10⁻³¹ = 1,759 × 10¹⁴ m/s²

Flecha

y = ½·a·t² = ½·1,759 × 10¹⁴·(6 × 10⁻⁹)² = 0,003166 m = 3,166 mm

Respuesta

y = 3,166 mm

El electrón es empujado hacia la placa positiva, en sentido contrario al campo.

3.Resistencias en serie y en paralelo

Respuesta: I_R2 = 0,8298 A

Resistencias en serie y en paralelo: en serie, la misma corriente pasa por cada resistencia y R = R₁ + R₂ + …. En paralelo, cada resistencia tiene la misma tensión y 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una red en escalera se reduce por parejas hasta que queda una sola resistencia equivalente.

Combina las resistencias desde el extremo más lejano

Empieza por el extremo más alejado de la fuente y avanza hacia ella. Las resistencias con la misma corriente están en serie; las que están entre los mismos dos nodos, en paralelo.

R₃ + R₄ = 3 + 10 = 13 Ω

R₂ ∥ 13 = 4·13/(4+13) = 3,059 Ω

R_eq = R₁ + 3,059 = 8 + 3,059 = 11,06 Ω

Corriente de la fuente

La fuente solo ve R_eq, así que la ley de Ohm da la corriente que entrega. Esa corriente pasa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/11,06 = 1,085 A

Corriente por R₂

Resta la caída en R₁ para obtener la tensión en el nodo A, que es la tensión en R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 12 − 1,085·8 = 3,319 V

I_R2 = V_A/R₂ = 3,319/4 = 0,8298 A

Respuesta

I_R2 = 0,8298 A

4.Resistencias en serie y en paralelo

Respuesta: R_eq = 12,75 Ω

Combina las resistencias desde el extremo más lejano

Empieza por el extremo más alejado de la fuente y avanza hacia ella. Las resistencias con la misma corriente están en serie; las que están entre los mismos dos nodos, en paralelo.

R₅ + R₆ = 5 + 30 = 35 Ω

R₄ ∥ 35 = 12,73 Ω

R₃ + 12,73 = 20,73 Ω

R₂ ∥ 20,73 = 6,746 Ω

R_eq = R₁ + 6,746 = 6 + 6,746 = 12,75 Ω

Respuesta

R_eq = 12,75 Ω

5.Transitorios RC y RL

Respuesta: W = 7,895 mJ

Transitorios de primer orden: en un circuito con un condensador o una bobina, cada tensión y corriente pasa de forma exponencial de su valor inicial a su valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Tras unos 5τ el circuito se ha estabilizado.

Constante de tiempo y corriente final

Mucho después de cerrar el interruptor la bobina se comporta como un cortocircuito, así que la corriente final la fija solo R.

τ = L/R = 150 mH / 50 Ω = 3 ms

i(∞) = V_s/R = 20/50 = 0,4 A

Corriente en el instante dado

i(t) = 0,4·(1 − e^−5/3) = 0,3244 A

Energía almacenada

W = ½·L·i² = ½·150·0,3244² = 7,895 mJ

Respuesta

W = 7,895 mJ

6.Transitorios RC y RL

Respuesta: C = 100 µF

Constante de tiempo necesaria

9,48 = 15·(1 − e^−100/τ) → τ = 100/ln(15/(15 − 9,48))

τ = 100/0,9997 = 100 ms

Capacidad

kΩ por µF da milisegundos.

C = τ/R = 100/1 = 100 µF

Respuesta

C = 100 µF

7.Campos magnéticos e inducción

Respuesta: horario

Inducción electromagnética: el flujo a través de una espira es Φ = BA·cos θ, con θ entre B y la normal de la espira. Ley de Faraday: un cambio de flujo induce una fem = −N·dΦ/dt en una bobina de N espiras, y la ley de Lenz dice que la corriente inducida circula de modo que su propio campo se opone al cambio. Una varilla que se mueve a través de un campo da una fem = BLv. Una bobina que gira con ω da e = NBAω·sin ωt, con pico NBAω. Autoinducción: fem = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l para un solenoide largo, y la energía almacenada es W = ½LI². Dos bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

Variación del flujo

El flujo hacia fuera de la página aumenta, o el flujo hacia dentro de la página disminuye.

Campo de la corriente inducida

La corriente inducida se opone a la variación.

Campo inducido dentro de la espira: hacia dentro de la página.

Sentido de la corriente

Regla de la mano derecha: una corriente en sentido antihorario da un campo hacia fuera de la página dentro de la espira.

horario

Respuesta

horario

8.Campos magnéticos e inducción

Respuesta: ε = 0,24 V

Inductancia mutua

M = 0,6·√(20·20) = 12 mH

Fem inducida

ε = M·di/dt = 0,012·20 = 0,24 V

Respuesta

ε = 0,24 V

9.Impedancia y fasores en alterna

Respuesta: P = 0,5373 W

Circuitos de alterna con fasores: resistencias, bobinas y condensadores tienen impedancias R, jωL y 1/(jωC), con ω = 2πf. En serie, las impedancias se suman como resistencias, pero como números complejos. La corriente y la tensión eficaces siguen la ley de Ohm con |Z|.

Reactancias

X_L = 18,85 Ω, X_C = 265,3 Ω

Impedancia

|Z| = √(60² + (−246,4)²) = 253,6 Ω

Potencia activa

Las bobinas y los condensadores solo almacenan y devuelven energía; la resistencia absorbe toda la potencia activa.

I = 24/253,6 = 0,09463 A

P = I²·R = 0,09463²·60 = 0,5373 W

Respuesta

P = 0,5373 W

10.Impedancia y fasores en alterna

Respuesta: V_L = 700,2 V

Resonancia

En resonancia las reactancias se anulan, así que la impedancia es simplemente R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,01·0,47·10⁻⁶) = 14586 rad/s

I = V/R = 24/5 = 4,8 A

Tensión en la bobina

X_L = ω₀L = 14586·0,01 = 145,9 Ω

V_L = I·X_L = 4,8·145,9 = 700,2 V

Respuesta

V_L = 700,2 V

Esto es Q = 29,17 veces la tensión de alimentación.

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