Física 2: Electricidad y magnetismo: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 10 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Ley de Coulomb y campo eléctrico

Ley de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de una carga puntual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Fuerza sobre una carga: F = q·E

Resistencias en serie y en paralelo

Resistencias en serie: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistencias en paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dos en paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Ley de Ohm: V = I·R
Potencia: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Empieza por el extremo de la red más alejado de los terminales.
Combina las resistencias en serie sumándolas, y las resistencias en paralelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Vuelve a dibujar el circuito después de cada paso.
Repite hasta que quede una sola resistencia entre los terminales.

Transitorios RC y RL

Constante de tiempo: τ = RC | τ = L/R
Respuesta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensador en continua: circuito abierto; v_C no puede saltar
Bobina en continua: cortocircuito; i_L no puede saltar
Régimen permanente: t ≈ 5τ

Método

Halla el valor inicial justo después de la conmutación: la tensión de un condensador y la corriente de una bobina no pueden variar bruscamente.
Halla el valor final mucho después de la conmutación: un condensador se comporta como un circuito abierto y una bobina como un cortocircuito.
Halla la constante de tiempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistencia que ve el condensador o la bobina.
Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e inducción

Hilo recto y largo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de una bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide largo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Fuerza sobre un hilo: F = BIL·sin θ
Fuerza sobre una carga: F = |q|vB·sin θ
Movimiento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Hilos paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Flujo: Φ = BA·cos θ
Ley de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Varilla en movimiento: ε = BLv
Generador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Inductancia: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Inductancia mutua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selector de velocidades y espectrómetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Convierte todas las magnitudes a unidades del SI: cm a m, cm² a m², mT y µT a T.
Elige la fórmula correcta: B = μ₀I/(2πr) para un hilo, μ₀NI/(2R) para el centro de una bobina, μ₀nI dentro de un solenoide; F = BIL·sin θ o |q|vB·sin θ para las fuerzas.
Para la inducción, halla la variación del flujo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) y usa ε = N·ΔΦ/Δt, o ε = BLv para una varilla en movimiento y NBAω para una bobina giratoria.
Halla los sentidos por separado con las reglas de la mano derecha, y con la ley de Lenz para las corrientes inducidas.

Impedancia y fasores en alterna

Impedancias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frecuencia angular: ω = 2πf
Módulo y ángulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Ley de Ohm con fasores: V = I·Z

Método

Convierte la frecuencia: ω = 2πf.
Halla cada reactancia: X_L = ωL y X_C = 1/(ωC).
Suma las impedancias como resistencias, con Z = R + jX.
Halla el módulo |Z| = √(R² + X²) y el ángulo φ = atan(X/R), y luego aplica la ley de Ohm con fasores.

2Problemas de práctica

1.Ley de Coulomb y campo eléctricoMedia

Dos pequeñas esferas metálicas idénticas tienen cargas de −10 µC y −8 µC. Se ponen en contacto y después se vuelven a colocar a 40 cm de distancia. Halla el módulo de la fuerza F entre ellas ahora. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = −10 µCq₂ = −8 µCr = 40 cm

F = N

2.Ley de Coulomb y campo eléctricoDifícil

Dos bolitas idénticas, cada una de 3 g de masa, cuelgan del mismo punto mediante hilos aislantes de 80 cm de longitud. Se les dan cargas iguales y cada hilo queda a 10° de la vertical. Usa g = 9,81 m/s². Halla la carga q de cada bolita en nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 3 gL = 80 cmθ = 10°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Resistencias en serie y en paraleloMedia

Halla la corriente I_R1 que entrega la fuente, que pasa por R₁.

V₁ = 6 VR₁ = 15 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 12 Ω

I_R1 = A

4.Resistencias en serie y en paraleloDifícil

Halla la corriente I_R2 por R₂.

V₁ = 10 VR₁ = 3 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 4 ΩR₅ = 25 ΩR₆ = 4 Ω

I_R2 = A

5.Transitorios RC y RLMedia

La bobina no lleva corriente antes de que el interruptor se cierre en t = 0. Halla la tensión v_L en la bobina en t = 1 ms.

V_s = 12 VR = 47 ΩL = 10 mHt = 1 ms

v_L = V

6.Transitorios RC y RLDifícil

Un temporizador empieza a cargar en t = 0 un condensador descargado a través de una resistencia desde una alimentación de 12 V. Debe dispararse cuando la tensión del condensador llegue a 10,8 V, exactamente 100 ms después del inicio. Con C = 22 µF, halla la resistencia R necesaria.

V_s = 12 VV_th = 10,8 VT = 100 msC = 22 µF

R = kΩ

7.Campos magnéticos e inducciónMedia

Una bobina de 200 espiras, área 40 cm² y resistencia 10 Ω forma un circuito cerrado. Un campo uniforme perpendicular a la bobina crece de forma constante de 0,1 T a 0,7 T en 200 ms. Halla la corriente inducida media I.

N = 200A = 40 cm²B: 0,1 T → 0,7 TΔt = 200 msR = 10 Ω

I = mA

8.Campos magnéticos e inducciónDifícil

Una bobina de 20 espiras, de 5 cm × 5 cm, gira a 3600 rpm en un campo uniforme de 0,4 T alrededor de un eje perpendicular al campo. Halla el valor eficaz E_rms de la fem.

N = 20A = 5 cm × 5 cmB = 0,4 Tn = 3600 rpm

E_rms = V

9.Impedancia y fasores en alternaMedia

Un circuito RLC en serie está conectado a una alimentación de 50 V (eficaces) y 500 Hz. Halla el ángulo de fase φ de la impedancia, en grados (positivo cuando la corriente va retrasada respecto a la tensión).

V = 50 V (rms)f = 500 HzR = 40 ΩL = 150 mHC = 1 µF

φ = °

10.Impedancia y fasores en alternaDifícil

Un circuito RLC en serie tiene R = 100 Ω, L = 5 mH y C = 0,22 µF. Halla su factor de calidad Q en resonancia.

R = 100 ΩL = 5 mHC = 0,22 µF

Q =

3Disoluciones

1.Ley de Coulomb y campo eléctrico

Respuesta: F = 4,551 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Carga tras el contacto

q′ = (−10 + −8)/2 = −9 µC

Nueva fuerza

F = 8,99 × 10⁹·(9 × 10⁻⁶)²/0,4² = 4,551 N

Respuesta

F = 4,551 N

Ahora ambas esferas tienen carga del mismo signo, así que se repelen.

2.Ley de Coulomb y campo eléctrico

Respuesta: q = 211,1 nC

Fuerza eléctrica a partir del equilibrio

La parte horizontal de la tensión equilibra F y su parte vertical equilibra m·g.

F = m·g·tan θ = 0,003·9,81·tan 10° = 0,005189 N

Separación

r = 2·L·sin θ = 2·0,8·sin 10° = 0,2778 m

Carga

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,2778·√(0,005189/8,99 × 10⁹) = 2,111 × 10⁻⁷ C = 211,1 nC

Respuesta

q = 211,1 nC

3.Resistencias en serie y en paralelo

Respuesta: I_R1 = 0,3043 A

Resistencias en serie y en paralelo: en serie, la misma corriente pasa por cada resistencia y R = R₁ + R₂ + …. En paralelo, cada resistencia tiene la misma tensión y 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una red en escalera se reduce por parejas hasta que queda una sola resistencia equivalente.

Combina las resistencias desde el extremo más lejano

Empieza por el extremo más alejado de la fuente y avanza hacia ella. Las resistencias con la misma corriente están en serie; las que están entre los mismos dos nodos, en paralelo.

R₃ + R₄ = 10 + 12 = 22 Ω

R₂ ∥ 22 = 6·22/(6+22) = 4,714 Ω

R_eq = R₁ + 4,714 = 15 + 4,714 = 19,71 Ω

Corriente de la fuente

La fuente solo ve R_eq, así que la ley de Ohm da la corriente que entrega. Esa corriente pasa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 6/19,71 = 0,3043 A

Respuesta

I_R1 = 0,3043 A

4.Resistencias en serie y en paralelo

Respuesta: I_R2 = 1,931 A

Combina las resistencias desde el extremo más lejano

Empieza por el extremo más alejado de la fuente y avanza hacia ella. Las resistencias con la misma corriente están en serie; las que están entre los mismos dos nodos, en paralelo.

R₅ + R₆ = 25 + 4 = 29 Ω

R₄ ∥ 29 = 3,515 Ω

R₃ + 3,515 = 33,52 Ω

R₂ ∥ 33,52 = 1,887 Ω

R_eq = R₁ + 1,887 = 3 + 1,887 = 4,887 Ω

Corriente de la fuente

La fuente solo ve R_eq, así que la ley de Ohm da la corriente que entrega. Esa corriente pasa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/4,887 = 2,046 A

Corriente por R₂

Resta la caída en R₁ para obtener la tensión en el nodo A, que es la tensión en R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 10 − 2,046·3 = 3,862 V

I_R2 = V_A/R₂ = 3,862/2 = 1,931 A

Respuesta

I_R2 = 1,931 A

5.Transitorios RC y RL

Respuesta: v_L = 0,1091 V

Transitorios de primer orden: en un circuito con un condensador o una bobina, cada tensión y corriente pasa de forma exponencial de su valor inicial a su valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Tras unos 5τ el circuito se ha estabilizado.

Constante de tiempo y corriente final

Mucho después de cerrar el interruptor la bobina se comporta como un cortocircuito, así que la corriente final la fija solo R.

τ = L/R = 10 mH / 47 Ω = 0,2128 ms

i(∞) = V_s/R = 12/47 = 0,2553 A

Tensión en la bobina

En t = 0 toda la tensión de alimentación aparece en la bobina; después cae a cero.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 12·e^−1/0,2128 = 0,1091 V

Respuesta

v_L = 0,1091 V

6.Transitorios RC y RL

Respuesta: R = 1,974 kΩ

Constante de tiempo necesaria

10,8 = 12·(1 − e^−100/τ) → τ = 100/ln(12/(12 − 10,8))

τ = 100/2,303 = 43,43 ms

Resistencia

kΩ por µF da milisegundos.

R = τ/C = 43,43/22 = 1,974 kΩ

Respuesta

R = 1,974 kΩ

7.Campos magnéticos e inducción

Respuesta: I = 240 mA

Inducción electromagnética: el flujo a través de una espira es Φ = BA·cos θ, con θ entre B y la normal de la espira. Ley de Faraday: un cambio de flujo induce una fem = −N·dΦ/dt en una bobina de N espiras, y la ley de Lenz dice que la corriente inducida circula de modo que su propio campo se opone al cambio. Una varilla que se mueve a través de un campo da una fem = BLv. Una bobina que gira con ω da e = NBAω·sin ωt, con pico NBAω. Autoinducción: fem = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l para un solenoide largo, y la energía almacenada es W = ½LI². Dos bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

Variación del flujo por espira

ΔΦ = (0,7 − 0,1)·0,004 = 0,0024 Wb

Fem media

ε = NΔΦ/Δt = 200·0,0024/0,2 = 2,4 V

Corriente

I = ε/R = 2,4/10 = 0,24 A

Respuesta

I = 240 mA

8.Campos magnéticos e inducción

Respuesta: E_rms = 5,331 V

Velocidad angular y área

ω = 2π·3600/60 = 377 rad/s

A = 0,0025 m²

Fem de pico

E₀ = NBAω = 20·0,4·0,0025·377 = 7,54 V

Valor eficaz

E_rms = 7,54/√2 = 5,331 V

Respuesta

E_rms = 5,331 V

9.Impedancia y fasores en alterna

Respuesta: φ = 75,34 °

Circuitos de alterna con fasores: resistencias, bobinas y condensadores tienen impedancias R, jωL y 1/(jωC), con ω = 2πf. En serie, las impedancias se suman como resistencias, pero como números complejos. La corriente y la tensión eficaces siguen la ley de Ohm con |Z|.

Reactancias

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,15 = 471,2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·1·10⁻⁶) = 318,3 Ω

Impedancia

En serie, las impedancias se suman como números complejos: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(40² + (152,9)²) = 158,1 Ω

Ángulo de fase

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(152,9/40) = 75,34°

Respuesta

φ = 75,34°

10.Impedancia y fasores en alterna

Respuesta: Q = 1,508

Frecuencia de resonancia

f₀ = 1/(2π·√(0,005·0,22·10⁻⁶)) = 4799 Hz

Factor de calidad

Q compara la reactancia en resonancia con la resistencia: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/100)·√(0,005/(0,22·10⁻⁶)) = 1,508

Respuesta

Q = 1,508

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