Ley de Coulomb y campo eléctrico
- Ley de Coulomb
- F = k·|q1q2|/r²
- Campo de una carga puntual
- E = k·|q|/r²
- Constante
- k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
- Fuerza sobre una carga
- F = q·E
Física 2: Electricidad y magnetismo: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 10 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Resistencias en serie y en paralelo
- Resistencias en serie
- Req = R1 + R2 + …
- Resistencias en paralelo
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- Dos en paralelo
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- Ley de Ohm
- V = I·R
- Potencia
- P = V·I = I²R = V²/R
Método
- Empieza por el extremo de la red más alejado de los terminales.
- Combina las resistencias en serie sumándolas, y las resistencias en paralelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- Vuelve a dibujar el circuito después de cada paso.
- Repite hasta que quede una sola resistencia entre los terminales.
Transitorios RC y RL
- Constante de tiempo
- τ = RC | τ = L/R
- Respuesta
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- Condensador en continua
- circuito abierto; vC no puede saltar
- Bobina en continua
- cortocircuito; iL no puede saltar
- Régimen permanente
- t ≈ 5τ
Método
- Halla el valor inicial justo después de la conmutación: la tensión de un condensador y la corriente de una bobina no pueden variar bruscamente.
- Halla el valor final mucho después de la conmutación: un condensador se comporta como un circuito abierto y una bobina como un cortocircuito.
- Halla la constante de tiempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistencia que ve el condensador o la bobina.
- Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
Campos magnéticos e inducción
- Hilo recto y largo
- B = μ0I/(2πr)
- Centro de una bobina plana
- B = μ0NI/(2R)
- Solenoide largo
- B = μ0nI, n = N/L
- Constante
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- Fuerza sobre un hilo
- F = BIL·sin θ
- Fuerza sobre una carga
- F = |q|vB·sin θ
- Movimiento circular
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- Hilos paralelos
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- Flujo
- Φ = BA·cos θ
- Ley de Faraday
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- Varilla en movimiento
- ε = BLv
- Generador
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- Inductancia
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- Inductancia mutua
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- Selector de velocidades y espectrómetro
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
Método
- Convierte todas las magnitudes a unidades del SI: cm a m, cm² a m², mT y µT a T.
- Elige la fórmula correcta: B = μ₀I/(2πr) para un hilo, μ₀NI/(2R) para el centro de una bobina, μ₀nI dentro de un solenoide; F = BIL·sin θ o |q|vB·sin θ para las fuerzas.
- Para la inducción, halla la variación del flujo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) y usa ε = N·ΔΦ/Δt, o ε = BLv para una varilla en movimiento y NBAω para una bobina giratoria.
- Halla los sentidos por separado con las reglas de la mano derecha, y con la ley de Lenz para las corrientes inducidas.
Impedancia y fasores en alterna
- Impedancias
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- Frecuencia angular
- ω = 2πf
- Módulo y ángulo
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- Ley de Ohm con fasores
- V = I·Z
Método
- Convierte la frecuencia: ω = 2πf.
- Halla cada reactancia: XL = ωL y XC = 1/(ωC).
- Suma las impedancias como resistencias, con Z = R + jX.
- Halla el módulo |Z| = √(R² + X²) y el ángulo φ = atan(X/R), y luego aplica la ley de Ohm con fasores.
2Problemas de práctica
1.Ley de Coulomb y campo eléctricoMedia
Dos cargas de +3 µC y +10 µC están a 80 cm de distancia. ¿A qué distancia x de la carga de +3 µC, sobre la recta que las une, es nulo el campo eléctrico?
q1 = +3 µCq2 = +10 µCd = 80 cm
x = cm
2.Ley de Coulomb y campo eléctricoDifícil
Un electrón entra en el campo uniforme entre dos placas paralelas moviéndose paralelamente a ellas a 1,5 × 10⁷ m/s. Las placas miden 4 cm de longitud y el campo entre ellas es de 4100 N/C. Carga del electrón 1,602 × 10⁻¹⁹ C, masa 9,109 × 10⁻³¹ kg; desprecia la gravedad. ¿Cuánto y se desvía lateralmente al salir de las placas? Da el resultado en mm.
v₀ = 1,5 × 10⁷ m/sL = 4 cmE = 4100 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cme = 9,109 × 10⁻³¹ kg
y = mm
3.Resistencias en serie y en paraleloMedia
Halla la corriente IR2 por R2.
V1 = 24 VR1 = 5 ΩR2 = 10 ΩR3 = 6 ΩR4 = 8 Ω
IR2 = A
4.Resistencias en serie y en paraleloDifícil
Halla la corriente IR2 por R2.
V1 = 6 VR1 = 20 ΩR2 = 6 ΩR3 = 30 ΩR4 = 20 ΩR5 = 4 ΩR6 = 30 Ω
IR2 = A
5.Transitorios RC y RLMedia
La bobina no lleva corriente antes de que el interruptor se cierre en t = 0. Halla la corriente i en t = 1 ms.
Vs = 5 VR = 47 ΩL = 47 mHt = 1 ms
i = A
6.Transitorios RC y RLDifícil
Justo antes de que el interruptor se cierre en t = 0, el condensador tiene 4 V con la polaridad indicada. Halla la tensión del condensador vC en t = 30 ms.
Vs = 15 VR = 1 kΩC = 100 µFvC(0) = 4 Vt = 30 ms
vC = V
7.Campos magnéticos e inducciónMedia
Una varilla metálica de 60 cm de longitud se desliza a 2,5 m/s sobre dos raíles en un campo uniforme de 1 T que entra en la página. Los raíles están unidos por una resistencia de 1 Ω; la varilla y los raíles tienen una resistencia despreciable. Halla la potencia P disipada en la resistencia.
B = 1 TL = 60 cmv = 2,5 m/sR = 1 Ω
P = W
8.Campos magnéticos e inducciónDifícil
Una bobina de 200 espiras, de 5 cm × 25 cm, gira a 1500 rpm en un campo uniforme de 0,5 T alrededor de un eje perpendicular al campo. Halla el valor eficaz Erms de la fem.
N = 200A = 5 cm × 25 cmB = 0,5 Tn = 1500 rpm
Erms = V
9.Impedancia y fasores en alternaMedia
Un circuito RLC en serie con C = 0,1 µF debe resonar a 60 Hz. Halla la inductancia L necesaria.
f0 = 60 HzC = 0,1 µF
L = mH
10.Impedancia y fasores en alternaDifícil
Un circuito RLC en serie se alimenta con una fuente de 10 V (eficaces) cuya frecuencia se ajusta a la frecuencia de resonancia del circuito. Halla la tensión eficaz VL en la bobina.
V = 10 V (rms)R = 15 ΩL = 10 mHC = 1 µF
VL = V
3Disoluciones
1.Ley de Coulomb y campo eléctrico
Respuesta: x = 28,31 cm
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
Campos iguales
3/x² = 10/(80 − x)²
(80 − x)/x = √(10/3) = 1,826
Posición
x = 80/(1 + 1,826) = 28,31 cm
Respuesta
x = 28,31 cm
El punto de campo nulo siempre está más cerca de la carga menor.
2.Ley de Coulomb y campo eléctrico
Respuesta: y = 2,564 mm
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
Tiempo entre las placas
t = L/v₀ = 0,04/1,5 × 10⁷ = 2,667 × 10⁻⁹ s
Aceleración lateral
a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·4100/9,109 × 10⁻³¹ = 7,211 × 10¹⁴ m/s²
Flecha
y = ½·a·t² = ½·7,211 × 10¹⁴·(2,667 × 10⁻⁹)² = 0,002564 m = 2,564 mm
Respuesta
y = 2,564 mm
El electrón es empujado hacia la placa positiva, en sentido contrario al campo.
3.Resistencias en serie y en paralelo
Respuesta: IR2 = 1,292 A
Resistencias en serie y en paralelo: en serie, la misma corriente pasa por cada resistencia y R = R₁ + R₂ + …. En paralelo, cada resistencia tiene la misma tensión y 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una red en escalera se reduce por parejas hasta que queda una sola resistencia equivalente.
Combina las resistencias desde el extremo más lejano
Empieza por el extremo más alejado de la fuente y avanza hacia ella. Las resistencias con la misma corriente están en serie; las que están entre los mismos dos nodos, en paralelo.
R3 + R4 = 6 + 8 = 14 Ω
R2 ∥ 14 = 10·14/(10+14) = 5,833 Ω
Req = R1 + 5,833 = 5 + 5,833 = 10,83 Ω
Corriente de la fuente
La fuente solo ve Req, así que la ley de Ohm da la corriente que entrega. Esa corriente pasa por R₁.
IR1 = V1/Req = 24/10,83 = 2,215 A
Corriente por R₂
Resta la caída en R₁ para obtener la tensión en el nodo A, que es la tensión en R₂.
VA = V1 − IR1·R1 = 24 − 2,215·5 = 12,92 V
IR2 = VA/R2 = 12,92/10 = 1,292 A
Respuesta
IR2 = 1,292 A
4.Resistencias en serie y en paralelo
Respuesta: IR2 = 0,2082 A
Resistencias en serie y en paralelo: en serie, la misma corriente pasa por cada resistencia y R = R₁ + R₂ + …. En paralelo, cada resistencia tiene la misma tensión y 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una red en escalera se reduce por parejas hasta que queda una sola resistencia equivalente.
Combina las resistencias desde el extremo más lejano
Empieza por el extremo más alejado de la fuente y avanza hacia ella. Las resistencias con la misma corriente están en serie; las que están entre los mismos dos nodos, en paralelo.
R5 + R6 = 4 + 30 = 34 Ω
R4 ∥ 34 = 12,59 Ω
R3 + 12,59 = 42,59 Ω
R2 ∥ 42,59 = 5,259 Ω
Req = R1 + 5,259 = 20 + 5,259 = 25,26 Ω
Corriente de la fuente
La fuente solo ve Req, así que la ley de Ohm da la corriente que entrega. Esa corriente pasa por R₁.
IR1 = V1/Req = 6/25,26 = 0,2375 A
Corriente por R₂
Resta la caída en R₁ para obtener la tensión en el nodo A, que es la tensión en R₂.
VA = V1 − IR1·R1 = 6 − 0,2375·20 = 1,249 V
IR2 = VA/R2 = 1,249/6 = 0,2082 A
Respuesta
IR2 = 0,2082 A
5.Transitorios RC y RL
Respuesta: i = 0,06725 A
Transitorios de primer orden: en un circuito con un condensador o una bobina, cada tensión y corriente pasa de forma exponencial de su valor inicial a su valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Tras unos 5τ el circuito se ha estabilizado.
Constante de tiempo y corriente final
Mucho después de cerrar el interruptor la bobina se comporta como un cortocircuito, así que la corriente final la fija solo R.
τ = L/R = 47 mH / 47 Ω = 1 ms
i(∞) = Vs/R = 5/47 = 0,1064 A
Corriente en el instante dado
i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 0,1064·(1 − e−1/1) = 0,06725 A
Respuesta
i = 0,06725 A
6.Transitorios RC y RL
Respuesta: vC = 6,851 V
Transitorios de primer orden: en un circuito con un condensador o una bobina, cada tensión y corriente pasa de forma exponencial de su valor inicial a su valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Tras unos 5τ el circuito se ha estabilizado.
Valor inicial, valor final, constante de tiempo
La tensión del condensador no puede saltar, así que parte de su valor almacenado y tiende a la tensión de la fuente.
vC(0) = 4 V, vC(∞) = Vs = 15 V
τ = R·C = 1 kΩ · 100 µF = 100 ms
vC(t) = 15 + (4 − 15)·e−t/τ
Tensión en el instante dado
vC(30) = 15 + (−11)·e−30/100 = 6,851 V
Respuesta
vC = 6,851 V
7.Campos magnéticos e inducción
Respuesta: P = 2,25 W
Inducción electromagnética: el flujo a través de una espira es Φ = BA·cos θ, con θ entre B y la normal de la espira. Ley de Faraday: un cambio de flujo induce una fem = −N·dΦ/dt en una bobina de N espiras, y la ley de Lenz dice que la corriente inducida circula de modo que su propio campo se opone al cambio. Una varilla que se mueve a través de un campo da una fem = BLv. Una bobina que gira con ω da e = NBAω·sin ωt, con pico NBAω. Autoinducción: fem = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l para un solenoide largo, y la energía almacenada es W = ½LI². Dos bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).
Fem de movimiento
ε = BLv = 1·0,6·2,5 = 1,5 V
Corriente
I = ε/R = 1,5/1 = 1,5 A
Potencia
P = εI = 1,5·1,5 = 2,25 W
Respuesta
P = 2,25 W
8.Campos magnéticos e inducción
Respuesta: Erms = 138,8 V
Inducción electromagnética: el flujo a través de una espira es Φ = BA·cos θ, con θ entre B y la normal de la espira. Ley de Faraday: un cambio de flujo induce una fem = −N·dΦ/dt en una bobina de N espiras, y la ley de Lenz dice que la corriente inducida circula de modo que su propio campo se opone al cambio. Una varilla que se mueve a través de un campo da una fem = BLv. Una bobina que gira con ω da e = NBAω·sin ωt, con pico NBAω. Autoinducción: fem = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l para un solenoide largo, y la energía almacenada es W = ½LI². Dos bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).
Velocidad angular y área
ω = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s
A = 0,0125 m²
Fem de pico
E₀ = NBAω = 200·0,5·0,0125·157,1 = 196,3 V
Valor eficaz
Erms = 196,3/√2 = 138,8 V
Respuesta
Erms = 138,8 V
9.Impedancia y fasores en alterna
Respuesta: L = 70362 mH
Circuitos de alterna con fasores: resistencias, bobinas y condensadores tienen impedancias R, jωL y 1/(jωC), con ω = 2πf. En serie, las impedancias se suman como resistencias, pero como números complejos. La corriente y la tensión eficaces siguen la ley de Ohm con |Z|.
Condición de resonancia
En resonancia, las reactancias inductiva y capacitiva se anulan: ωL = 1/(ωC).
ω₀ = 2π·60 = 377 rad/s
L = 1/(ω₀²·C) = 1/(377²·0,1·10⁻⁶) = 70362 mH
Respuesta
L = 70362 mH
10.Impedancia y fasores en alterna
Respuesta: VL = 66,67 V
Circuitos de alterna con fasores: resistencias, bobinas y condensadores tienen impedancias R, jωL y 1/(jωC), con ω = 2πf. En serie, las impedancias se suman como resistencias, pero como números complejos. La corriente y la tensión eficaces siguen la ley de Ohm con |Z|.
Resonancia
En resonancia las reactancias se anulan, así que la impedancia es simplemente R.
ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,01·1·10⁻⁶) = 10000 rad/s
I = V/R = 10/15 = 0,6667 A
Tensión en la bobina
XL = ω₀L = 10000·0,01 = 100 Ω
VL = I·XL = 0,6667·100 = 66,67 V
Respuesta
VL = 66,67 V
Esto es Q = 6,667 veces la tensión de alimentación.
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