Ley de Coulomb y campo eléctrico
- Ley de Coulomb
- F = k·|q1q2|/r²
- Campo de una carga puntual
- E = k·|q|/r²
- Constante
- k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
- Fuerza sobre una carga
- F = q·E
Física 2: Electricidad y magnetismo: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 10 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Resistencias en serie y en paralelo
- Resistencias en serie
- Req = R1 + R2 + …
- Resistencias en paralelo
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- Dos en paralelo
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- Ley de Ohm
- V = I·R
- Potencia
- P = V·I = I²R = V²/R
Método
- Empieza por el extremo de la red más alejado de los terminales.
- Combina las resistencias en serie sumándolas, y las resistencias en paralelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- Vuelve a dibujar el circuito después de cada paso.
- Repite hasta que quede una sola resistencia entre los terminales.
Transitorios RC y RL
- Constante de tiempo
- τ = RC | τ = L/R
- Respuesta
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- Condensador en continua
- circuito abierto; vC no puede saltar
- Bobina en continua
- cortocircuito; iL no puede saltar
- Régimen permanente
- t ≈ 5τ
Método
- Halla el valor inicial justo después de la conmutación: la tensión de un condensador y la corriente de una bobina no pueden variar bruscamente.
- Halla el valor final mucho después de la conmutación: un condensador se comporta como un circuito abierto y una bobina como un cortocircuito.
- Halla la constante de tiempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistencia que ve el condensador o la bobina.
- Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
Campos magnéticos e inducción
- Hilo recto y largo
- B = μ0I/(2πr)
- Centro de una bobina plana
- B = μ0NI/(2R)
- Solenoide largo
- B = μ0nI, n = N/L
- Constante
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- Fuerza sobre un hilo
- F = BIL·sin θ
- Fuerza sobre una carga
- F = |q|vB·sin θ
- Movimiento circular
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- Hilos paralelos
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- Flujo
- Φ = BA·cos θ
- Ley de Faraday
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- Varilla en movimiento
- ε = BLv
- Generador
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- Inductancia
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- Inductancia mutua
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- Selector de velocidades y espectrómetro
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
Método
- Convierte todas las magnitudes a unidades del SI: cm a m, cm² a m², mT y µT a T.
- Elige la fórmula correcta: B = μ₀I/(2πr) para un hilo, μ₀NI/(2R) para el centro de una bobina, μ₀nI dentro de un solenoide; F = BIL·sin θ o |q|vB·sin θ para las fuerzas.
- Para la inducción, halla la variación del flujo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) y usa ε = N·ΔΦ/Δt, o ε = BLv para una varilla en movimiento y NBAω para una bobina giratoria.
- Halla los sentidos por separado con las reglas de la mano derecha, y con la ley de Lenz para las corrientes inducidas.
Impedancia y fasores en alterna
- Impedancias
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- Frecuencia angular
- ω = 2πf
- Módulo y ángulo
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- Ley de Ohm con fasores
- V = I·Z
Método
- Convierte la frecuencia: ω = 2πf.
- Halla cada reactancia: XL = ωL y XC = 1/(ωC).
- Suma las impedancias como resistencias, con Z = R + jX.
- Halla el módulo |Z| = √(R² + X²) y el ángulo φ = atan(X/R), y luego aplica la ley de Ohm con fasores.
2Problemas de práctica
1.Ley de Coulomb y campo eléctricoMedia
Dos cargas de +3 µC y +4 µC están a 100 cm de distancia. ¿A qué distancia x de la carga de +3 µC, sobre la recta que las une, es nulo el campo eléctrico?
q1 = +3 µCq2 = +4 µCd = 100 cm
x = cm
2.Ley de Coulomb y campo eléctricoDifícil
Un electrón entra en el campo uniforme entre dos placas paralelas moviéndose paralelamente a ellas a 3 × 10⁷ m/s. Las placas miden 6 cm de longitud y el campo entre ellas es de 2100 N/C. Carga del electrón 1,602 × 10⁻¹⁹ C, masa 9,109 × 10⁻³¹ kg; desprecia la gravedad. ¿Cuánto y se desvía lateralmente al salir de las placas? Da el resultado en mm.
v₀ = 3 × 10⁷ m/sL = 6 cmE = 2100 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cme = 9,109 × 10⁻³¹ kg
y = mm
3.Resistencias en serie y en paraleloMedia
Halla la resistencia equivalente Req que ve la fuente V1.
V1 = 10 VR1 = 4 ΩR2 = 12 ΩR3 = 8 ΩR4 = 3 Ω
Req = Ω
4.Resistencias en serie y en paraleloDifícil
Halla la corriente IR2 por R2.
V1 = 5 VR1 = 12 ΩR2 = 5 ΩR3 = 2 ΩR4 = 20 ΩR5 = 8 ΩR6 = 25 Ω
IR2 = A
5.Transitorios RC y RLMedia
La bobina no lleva corriente antes de que el interruptor se cierre en t = 0. Halla la tensión vL en la bobina en t = 10 ms.
Vs = 6 VR = 50 ΩL = 220 mHt = 10 ms
vL = V
6.Transitorios RC y RLDifícil
El interruptor lleva mucho tiempo cerrado, así que el circuito está en régimen permanente. En t = 0 se abre el interruptor. Halla la tensión del condensador vC en t = 60 ms.
Vs = 10 VR1 = 10 kΩR2 = 2,2 kΩC = 68 µFt = 60 ms
vC = V
7.Campos magnéticos e inducciónMedia
Una bobina de 20 espiras, área 80 cm² y resistencia 20 Ω forma un circuito cerrado. Un campo uniforme perpendicular a la bobina crece de forma constante de 0,1 T a 0,5 T en 20 ms. Halla la corriente inducida media I.
N = 20A = 80 cm²B: 0,1 T → 0,5 TΔt = 20 msR = 20 Ω
I = mA
8.Campos magnéticos e inducciónDifícil
Dos bobinas con autoinducciones de 40 mH y 200 mH tienen un coeficiente de acoplamiento de 0,75. La corriente de la primera bobina varía a 50 A/s. Halla la fem ε inducida en la segunda bobina.
L1 = 40 mHL2 = 200 mHk = 0,75di/dt = 50 A/s
ε = V
9.Impedancia y fasores en alternaMedia
Una resistencia y una bobina están conectadas en paralelo a una alimentación de 50 V (eficaces) y 60 Hz. Halla la corriente eficaz I.
V = 50 V (rms)f = 60 HzR = 25 ΩL = 200 mH
I = A
10.Impedancia y fasores en alternaDifícil
Una resistencia R1 está conectada en serie con una combinación en paralelo de R2 y un condensador C, a una alimentación de 50 V (eficaces) y 50 Hz. Halla el módulo de la impedancia |Z|.
V = 50 V (rms)f = 50 HzR1 = 40 ΩR2 = 60 ΩC = 100 µF
|Z| = Ω
3Disoluciones
1.Ley de Coulomb y campo eléctrico
Respuesta: x = 46,41 cm
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
Campos iguales
3/x² = 4/(100 − x)²
(100 − x)/x = √(4/3) = 1,155
Posición
x = 100/(1 + 1,155) = 46,41 cm
Respuesta
x = 46,41 cm
El punto de campo nulo siempre está más cerca de la carga menor.
2.Ley de Coulomb y campo eléctrico
Respuesta: y = 0,7387 mm
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
Tiempo entre las placas
t = L/v₀ = 0,06/3 × 10⁷ = 2 × 10⁻⁹ s
Aceleración lateral
a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·2100/9,109 × 10⁻³¹ = 3,693 × 10¹⁴ m/s²
Flecha
y = ½·a·t² = ½·3,693 × 10¹⁴·(2 × 10⁻⁹)² = 0,0007387 m = 0,7387 mm
Respuesta
y = 0,7387 mm
El electrón es empujado hacia la placa positiva, en sentido contrario al campo.
3.Resistencias en serie y en paralelo
Respuesta: Req = 9,739 Ω
Resistencias en serie y en paralelo: en serie, la misma corriente pasa por cada resistencia y R = R₁ + R₂ + …. En paralelo, cada resistencia tiene la misma tensión y 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una red en escalera se reduce por parejas hasta que queda una sola resistencia equivalente.
Combina las resistencias desde el extremo más lejano
Empieza por el extremo más alejado de la fuente y avanza hacia ella. Las resistencias con la misma corriente están en serie; las que están entre los mismos dos nodos, en paralelo.
R3 + R4 = 8 + 3 = 11 Ω
R2 ∥ 11 = 12·11/(12+11) = 5,739 Ω
Req = R1 + 5,739 = 4 + 5,739 = 9,739 Ω
Respuesta
Req = 9,739 Ω
4.Resistencias en serie y en paralelo
Respuesta: IR2 = 0,2364 A
Resistencias en serie y en paralelo: en serie, la misma corriente pasa por cada resistencia y R = R₁ + R₂ + …. En paralelo, cada resistencia tiene la misma tensión y 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una red en escalera se reduce por parejas hasta que queda una sola resistencia equivalente.
Combina las resistencias desde el extremo más lejano
Empieza por el extremo más alejado de la fuente y avanza hacia ella. Las resistencias con la misma corriente están en serie; las que están entre los mismos dos nodos, en paralelo.
R5 + R6 = 8 + 25 = 33 Ω
R4 ∥ 33 = 12,45 Ω
R3 + 12,45 = 14,45 Ω
R2 ∥ 14,45 = 3,715 Ω
Req = R1 + 3,715 = 12 + 3,715 = 15,71 Ω
Corriente de la fuente
La fuente solo ve Req, así que la ley de Ohm da la corriente que entrega. Esa corriente pasa por R₁.
IR1 = V1/Req = 5/15,71 = 0,3182 A
Corriente por R₂
Resta la caída en R₁ para obtener la tensión en el nodo A, que es la tensión en R₂.
VA = V1 − IR1·R1 = 5 − 0,3182·12 = 1,182 V
IR2 = VA/R2 = 1,182/5 = 0,2364 A
Respuesta
IR2 = 0,2364 A
5.Transitorios RC y RL
Respuesta: vL = 0,6182 V
Transitorios de primer orden: en un circuito con un condensador o una bobina, cada tensión y corriente pasa de forma exponencial de su valor inicial a su valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Tras unos 5τ el circuito se ha estabilizado.
Constante de tiempo y corriente final
Mucho después de cerrar el interruptor la bobina se comporta como un cortocircuito, así que la corriente final la fija solo R.
τ = L/R = 220 mH / 50 Ω = 4,4 ms
i(∞) = Vs/R = 6/50 = 0,12 A
Tensión en la bobina
En t = 0 toda la tensión de alimentación aparece en la bobina; después cae a cero.
vL(t) = Vs·e−t/τ = 6·e−10/4,4 = 0,6182 V
Respuesta
vL = 0,6182 V
6.Transitorios RC y RL
Respuesta: vC = 1,207 V
Transitorios de primer orden: en un circuito con un condensador o una bobina, cada tensión y corriente pasa de forma exponencial de su valor inicial a su valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Tras unos 5τ el circuito se ha estabilizado.
Tensión inicial del condensador
En régimen permanente el condensador es un circuito abierto, así que R₁ y R₂ forman un divisor de tensión. La tensión del condensador no puede saltar al abrirse el interruptor.
vC(0) = 10·2,2/(10 + 2,2) = 1,803 V
Constante de tiempo tras abrirse el interruptor
τ = R2·C = 2,2·68 = 149,6 ms
Descarga
vC(t) = 1,803·e−60/149,6 = 1,207 V
Respuesta
vC = 1,207 V
7.Campos magnéticos e inducción
Respuesta: I = 160 mA
Inducción electromagnética: el flujo a través de una espira es Φ = BA·cos θ, con θ entre B y la normal de la espira. Ley de Faraday: un cambio de flujo induce una fem = −N·dΦ/dt en una bobina de N espiras, y la ley de Lenz dice que la corriente inducida circula de modo que su propio campo se opone al cambio. Una varilla que se mueve a través de un campo da una fem = BLv. Una bobina que gira con ω da e = NBAω·sin ωt, con pico NBAω. Autoinducción: fem = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l para un solenoide largo, y la energía almacenada es W = ½LI². Dos bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).
Variación del flujo por espira
ΔΦ = (0,5 − 0,1)·0,008 = 0,0032 Wb
Fem media
ε = NΔΦ/Δt = 20·0,0032/0,02 = 3,2 V
Corriente
I = ε/R = 3,2/20 = 0,16 A
Respuesta
I = 160 mA
8.Campos magnéticos e inducción
Respuesta: ε = 3,354 V
Inducción electromagnética: el flujo a través de una espira es Φ = BA·cos θ, con θ entre B y la normal de la espira. Ley de Faraday: un cambio de flujo induce una fem = −N·dΦ/dt en una bobina de N espiras, y la ley de Lenz dice que la corriente inducida circula de modo que su propio campo se opone al cambio. Una varilla que se mueve a través de un campo da una fem = BLv. Una bobina que gira con ω da e = NBAω·sin ωt, con pico NBAω. Autoinducción: fem = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l para un solenoide largo, y la energía almacenada es W = ½LI². Dos bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).
Inductancia mutua
M = 0,75·√(40·200) = 67,08 mH
Fem inducida
ε = M·di/dt = 0,06708·50 = 3,354 V
Respuesta
ε = 3,354 V
9.Impedancia y fasores en alterna
Respuesta: I = 2,107 A
Circuitos de alterna con fasores: resistencias, bobinas y condensadores tienen impedancias R, jωL y 1/(jωC), con ω = 2πf. En serie, las impedancias se suman como resistencias, pero como números complejos. La corriente y la tensión eficaces siguen la ley de Ohm con |Z|.
Reactancia
XL = ωL = 2π·60·0,2 = 75,4 Ω
Corrientes de rama
Ambas ramas están conectadas directamente a la alimentación, así que cada una ve la tensión completa V.
IR = V/R = 50/25 = 2 A
IX = V/XL = 50/75,4 = 0,6631 A
Corriente total
La corriente de la resistencia está en fase con V y la corriente reactiva está desfasada 90°, así que se suman como los catetos de un triángulo rectángulo.
I = √(IR² + IX²) = √(2² + 0,6631²) = 2,107 A
Respuesta
I = 2,107 A
10.Impedancia y fasores en alterna
Respuesta: |Z| = 58,69 Ω
Circuitos de alterna con fasores: resistencias, bobinas y condensadores tienen impedancias R, jωL y 1/(jωC), con ω = 2πf. En serie, las impedancias se suman como resistencias, pero como números complejos. La corriente y la tensión eficaces siguen la ley de Ohm con |Z|.
Reactancia
XC = 1/(2π·50·100·10⁻⁶) = 31,83 Ω
Combinación en paralelo
Multiplica numerador y denominador por el conjugado complejo para separar Zp en parte real e imaginaria.
Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 13,18 − j24,84 Ω
Impedancia total
Z = 40 + 13,18 − j24,84 = 53,18 − j24,84 Ω
|Z| = √(53,18² + 24,84²) = 58,69 Ω
Respuesta
|Z| = 58,69 Ω
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