Física 2: Electricidad y magnetismo: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 10 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Ley de Coulomb y campo eléctrico

Ley de Coulomb
F = k·|q1q2|/r²
Campo de una carga puntual
E = k·|q|/r²
Constante
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Fuerza sobre una carga
F = q·E

Resistencias en serie y en paralelo

Resistencias en serie
Req = R1 + R2 + …
Resistencias en paralelo
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Dos en paralelo
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Ley de Ohm
V = I·R
Potencia
P = V·I = I²R = V²/R

Método

  1. Empieza por el extremo de la red más alejado de los terminales.
  2. Combina las resistencias en serie sumándolas, y las resistencias en paralelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Vuelve a dibujar el circuito después de cada paso.
  4. Repite hasta que quede una sola resistencia entre los terminales.

Transitorios RC y RL

Constante de tiempo
τ = RC | τ = L/R
Respuesta
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Condensador en continua
circuito abierto; vC no puede saltar
Bobina en continua
cortocircuito; iL no puede saltar
Régimen permanente
t ≈ 5τ

Método

  1. Halla el valor inicial justo después de la conmutación: la tensión de un condensador y la corriente de una bobina no pueden variar bruscamente.
  2. Halla el valor final mucho después de la conmutación: un condensador se comporta como un circuito abierto y una bobina como un cortocircuito.
  3. Halla la constante de tiempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistencia que ve el condensador o la bobina.
  4. Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Campos magnéticos e inducción

Hilo recto y largo
B = μ0I/(2πr)
Centro de una bobina plana
B = μ0NI/(2R)
Solenoide largo
B = μ0nI, n = N/L
Constante
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Fuerza sobre un hilo
F = BIL·sin θ
Fuerza sobre una carga
F = |q|vB·sin θ
Movimiento circular
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Hilos paralelos
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Flujo
Φ = BA·cos θ
Ley de Faraday
ε = −N·ΔΦ/Δt
Varilla en movimiento
ε = BLv
Generador
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Inductancia
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Inductancia mutua
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Selector de velocidades y espectrómetro
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

  1. Convierte todas las magnitudes a unidades del SI: cm a m, cm² a m², mT y µT a T.
  2. Elige la fórmula correcta: B = μ₀I/(2πr) para un hilo, μ₀NI/(2R) para el centro de una bobina, μ₀nI dentro de un solenoide; F = BIL·sin θ o |q|vB·sin θ para las fuerzas.
  3. Para la inducción, halla la variación del flujo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) y usa ε = N·ΔΦ/Δt, o ε = BLv para una varilla en movimiento y NBAω para una bobina giratoria.
  4. Halla los sentidos por separado con las reglas de la mano derecha, y con la ley de Lenz para las corrientes inducidas.

Impedancia y fasores en alterna

Impedancias
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Frecuencia angular
ω = 2πf
Módulo y ángulo
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Ley de Ohm con fasores
V = I·Z

Método

  1. Convierte la frecuencia: ω = 2πf.
  2. Halla cada reactancia: XL = ωL y XC = 1/(ωC).
  3. Suma las impedancias como resistencias, con Z = R + jX.
  4. Halla el módulo |Z| = √(R² + X²) y el ángulo φ = atan(X/R), y luego aplica la ley de Ohm con fasores.

2Problemas de práctica

1.Ley de Coulomb y campo eléctricoMedia
++2 µC++2 µCP10 cm

Una carga de +2 µC y una carga de +2 µC están separadas 10 cm. El punto P está en la recta que las une, entre ambas, a 2,5 cm de la primera carga. Halla el módulo del campo eléctrico E en P.

q1 = +2 µCq2 = +2 µCr1 = 2,5 cmr2 = 7,5 cm
E = N/C
2.Ley de Coulomb y campo eléctricoDifícil
5 cm4 cm+q1​ = +5 µC+q3​ = +6 µC+q2​ = +5 µC

Tres cargas puntuales positivas están en los vértices de un triángulo rectángulo: q₃ = 6 µC está en el vértice del ángulo recto, q₁ = 5 µC está a 5 cm de ella a lo largo de un cateto y q₂ = 5 µC está a 4 cm de ella a lo largo del otro cateto. Halla el módulo de la fuerza eléctrica neta F sobre q₃.

q1 = 5 µCq2 = 5 µCq3 = 6 µCr13 = 5 cmr23 = 4 cm
F = N
3.Resistencias en serie y en paraleloMedia
R1​ = 3 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​9 VR2​20 ΩIR2​AR4​4 ΩB

Halla la corriente IR2 por R2.

V1 = 9 VR1 = 3 ΩR2 = 20 ΩR3 = 5 ΩR4 = 4 Ω
IR2 = A
4.Resistencias en serie y en paraleloDifícil
R1​ = 2 ΩR3​ = 4 ΩR5​ = 12 Ω+−V1​12 VR2​30 ΩAR4​20 ΩBR6​25 Ω

Halla la resistencia equivalente Req que ve la fuente V1.

V1 = 12 VR1 = 2 ΩR2 = 30 ΩR3 = 4 ΩR4 = 20 ΩR5 = 12 ΩR6 = 25 Ω
Req = Ω
5.Transitorios RC y RLMedia
R = 20 Ωt = 0L220 mHi(t)

La bobina conduce una corriente estacionaria de 2 A. En t = 0 el interruptor cierra el lazo a través de R y se retira la fuente, así que la corriente de la bobina decae a través de R. Halla la corriente i en t = 15 ms.

i(0) = 2 AR = 20 ΩL = 220 mHt = 15 ms
i = A
6.Transitorios RC y RLDifícil
+−Vs​6 Vt = 0R = 6,8 kΩC10 µF+−vC​vC​(0) = 18 V

Justo antes de que el interruptor se cierre en t = 0, el condensador tiene 18 V con la polaridad indicada. Halla la tensión del condensador vC en t = 60 ms.

Vs = 6 VR = 6,8 kΩC = 10 µFvC(0) = 18 Vt = 60 ms
vC = V
7.Campos magnéticos e inducciónMedia
dB/dt > 0I = ?

Una espira circular se encuentra en un campo magnético uniforme dirigido hacia fuera de la página. La intensidad del campo aumenta. Haz clic en el sentido de la corriente inducida en la espira, tal como se ve en el dibujo.

B: hacia fuera de la páginadB/dt > 0
  1. 1horario
  2. 2en sentido antihorario
8.Campos magnéticos e inducciónDifícil
l = 40 cmN = 800, ⌀ 4 cm

Un solenoide largo con núcleo de aire tiene 800 espiras, una longitud de 40 cm y un diámetro de 4 cm. Halla su autoinducción L.

N = 800l = 40 cm⌀ = 4 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
L = mH
9.Impedancia y fasores en alternaMedia
24 V50 HzR = 40 ΩL = 20 mHC = 22 µF

Un circuito RLC en serie está conectado a una alimentación de 24 V (eficaces) y 50 Hz. Halla el ángulo de fase φ de la impedancia, en grados (positivo cuando la corriente va retrasada respecto a la tensión).

V = 24 V (rms)f = 50 HzR = 40 ΩL = 20 mHC = 22 µF
φ = °
10.Impedancia y fasores en alternaDifícil
VfR = 15 ΩL = 100 mHC = 0,1 µF

Un circuito RLC en serie tiene R = 15 Ω, L = 100 mH y C = 0,1 µF. Halla su ancho de banda B (la anchura de la banda entre las frecuencias de media potencia), en Hz.

R = 15 ΩL = 100 mHC = 0,1 µF
B = Hz

3Disoluciones

1.Ley de Coulomb y campo eléctrico

Respuesta: E = 2,557 × 10⁷ N/C

Ley de Coulomb: dos cargas puntuales se atraen o se repelen con F = k·|q₁·q₂|/r², con k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². El campo de una carga puntual es E = k·|q|/r² y apunta alejándose de una carga positiva y hacia una carga negativa. Las fuerzas y los campos de varias cargas se suman como vectores.

Campo de cada carga

E1 = k·2 × 10⁻⁶/0,025² = 2,877 × 10⁷ N/C
E2 = k·2 × 10⁻⁶/0,075² = 3,196 × 10⁶ N/C

Sentidos y suma

Las dos cargas son positivas: en P cada campo apunta alejándose de su carga, es decir, en sentidos opuestos.

E = |2,877 × 10⁷ − 3,196 × 10⁶| = 2,557 × 10⁷ N/C

Respuesta

E = 2,557 × 10⁷ N/C
2.Ley de Coulomb y campo eléctrico

Respuesta: F = 200,1 N

Ley de Coulomb: dos cargas puntuales se atraen o se repelen con F = k·|q₁·q₂|/r², con k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². El campo de una carga puntual es E = k·|q|/r² y apunta alejándose de una carga positiva y hacia una carga negativa. Las fuerzas y los campos de varias cargas se suman como vectores.

Cada fuerza sobre q₃

F1 = k·5·6 × 10⁻¹²/0,05² = 107,9 N
F2 = k·5·6 × 10⁻¹²/0,04² = 168,6 N

Suma vectorial

F = √(107,9² + 168,6²) = 200,1 N

Respuesta

F = 200,1 N
3.Resistencias en serie y en paralelo

Respuesta: IR2 = 0,3034 A

Resistencias en serie y en paralelo: en serie, la misma corriente pasa por cada resistencia y R = R₁ + R₂ + …. En paralelo, cada resistencia tiene la misma tensión y 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una red en escalera se reduce por parejas hasta que queda una sola resistencia equivalente.

R1​ = 3 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​9 VR2​20 ΩAR4​4 ΩB

Combina las resistencias desde el extremo más lejano

Empieza por el extremo más alejado de la fuente y avanza hacia ella. Las resistencias con la misma corriente están en serie; las que están entre los mismos dos nodos, en paralelo.

R3 + R4 = 5 + 4 = 9 Ω
R2 ∥ 9 = 20·9/(20+9) = 6,207 Ω
Req = R1 + 6,207 = 3 + 6,207 = 9,207 Ω

Corriente de la fuente

La fuente solo ve Req, así que la ley de Ohm da la corriente que entrega. Esa corriente pasa por R₁.

IR1 = V1/Req = 9/9,207 = 0,9775 A

Corriente por R₂

Resta la caída en R₁ para obtener la tensión en el nodo A, que es la tensión en R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 9 − 0,9775·3 = 6,067 V
IR2 = VA/R2 = 6,067/20 = 0,3034 A

Respuesta

IR2 = 0,3034 A
4.Resistencias en serie y en paralelo

Respuesta: Req = 12,84 Ω

Resistencias en serie y en paralelo: en serie, la misma corriente pasa por cada resistencia y R = R₁ + R₂ + …. En paralelo, cada resistencia tiene la misma tensión y 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una red en escalera se reduce por parejas hasta que queda una sola resistencia equivalente.

R1​ = 2 ΩR3​ = 4 ΩR5​ = 12 Ω+−V1​12 VR2​30 ΩAR4​20 ΩBR6​25 Ω

Combina las resistencias desde el extremo más lejano

Empieza por el extremo más alejado de la fuente y avanza hacia ella. Las resistencias con la misma corriente están en serie; las que están entre los mismos dos nodos, en paralelo.

R5 + R6 = 12 + 25 = 37 Ω
R4 ∥ 37 = 12,98 Ω
R3 + 12,98 = 16,98 Ω
R2 ∥ 16,98 = 10,84 Ω
Req = R1 + 10,84 = 2 + 10,84 = 12,84 Ω

Respuesta

Req = 12,84 Ω
5.Transitorios RC y RL

Respuesta: i = 0,5115 A

Transitorios de primer orden: en un circuito con un condensador o una bobina, cada tensión y corriente pasa de forma exponencial de su valor inicial a su valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Tras unos 5τ el circuito se ha estabilizado.

Constante de tiempo

τ = L/R = 220 mH / 20 Ω = 11 ms

Decaimiento de la corriente

i(t) = 2·e−15/11 = 0,5115 A

Respuesta

i = 0,5115 A
6.Transitorios RC y RL

Respuesta: vC = 10,97 V

Transitorios de primer orden: en un circuito con un condensador o una bobina, cada tensión y corriente pasa de forma exponencial de su valor inicial a su valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Tras unos 5τ el circuito se ha estabilizado.

Valor inicial, valor final, constante de tiempo

La tensión del condensador no puede saltar, así que parte de su valor almacenado y tiende a la tensión de la fuente.

vC(0) = 18 V, vC(∞) = Vs = 6 V
τ = R·C = 6,8 kΩ · 10 µF = 68 ms
vC(t) = 6 + (18 − 6)·e−t/τ

Tensión en el instante dado

vC(60) = 6 + (12)·e−60/68 = 10,97 V

Respuesta

vC = 10,97 V
7.Campos magnéticos e inducción

Respuesta: horario

Inducción electromagnética: el flujo a través de una espira es Φ = BA·cos θ, con θ entre B y la normal de la espira. Ley de Faraday: un cambio de flujo induce una fem = −N·dΦ/dt en una bobina de N espiras, y la ley de Lenz dice que la corriente inducida circula de modo que su propio campo se opone al cambio. Una varilla que se mueve a través de un campo da una fem = BLv. Una bobina que gira con ω da e = NBAω·sin ωt, con pico NBAω. Autoinducción: fem = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l para un solenoide largo, y la energía almacenada es W = ½LI². Dos bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

Variación del flujo

El flujo hacia fuera de la página aumenta, o el flujo hacia dentro de la página disminuye.

Campo de la corriente inducida

La corriente inducida se opone a la variación.

Campo inducido dentro de la espira: hacia dentro de la página.

Sentido de la corriente

Regla de la mano derecha: una corriente en sentido antihorario da un campo hacia fuera de la página dentro de la espira.

horario

Respuesta

horario
8.Campos magnéticos e inducción

Respuesta: L = 2,527 mH

Inducción electromagnética: el flujo a través de una espira es Φ = BA·cos θ, con θ entre B y la normal de la espira. Ley de Faraday: un cambio de flujo induce una fem = −N·dΦ/dt en una bobina de N espiras, y la ley de Lenz dice que la corriente inducida circula de modo que su propio campo se opone al cambio. Una varilla que se mueve a través de un campo da una fem = BLv. Una bobina que gira con ω da e = NBAω·sin ωt, con pico NBAω. Autoinducción: fem = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l para un solenoide largo, y la energía almacenada es W = ½LI². Dos bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

Sección transversal

A = π·(0,02)² = 0,001257 m²

Autoinducción

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·800²·0,001257/0,4 = 0,002527 H = 2,527 mH

Respuesta

L = 2,527 mH
9.Impedancia y fasores en alterna

Respuesta: φ = −73,88 °

Circuitos de alterna con fasores: resistencias, bobinas y condensadores tienen impedancias R, jωL y 1/(jωC), con ω = 2πf. En serie, las impedancias se suman como resistencias, pero como números complejos. La corriente y la tensión eficaces siguen la ley de Ohm con |Z|.

Reactancias

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s
XL = ωL = 314,2·0,02 = 6,283 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(314,2·22·10⁻⁶) = 144,7 Ω

Impedancia

En serie, las impedancias se suman como números complejos: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(40² + (−138,4)²) = 144,1 Ω

Ángulo de fase

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(−138,4/40) = −73,88°

Respuesta

φ = −73,88°
10.Impedancia y fasores en alterna

Respuesta: B = 23,87 Hz

Circuitos de alterna con fasores: resistencias, bobinas y condensadores tienen impedancias R, jωL y 1/(jωC), con ω = 2πf. En serie, las impedancias se suman como resistencias, pero como números complejos. La corriente y la tensión eficaces siguen la ley de Ohm con |Z|.

Frecuencia de resonancia

f0 = 1/(2π·√(0,1·0,1·10⁻⁶)) = 1592 Hz

Factor de calidad

Q compara la reactancia en resonancia con la resistencia: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/15)·√(0,1/(0,1·10⁻⁶)) = 66,67

Ancho de banda

B = f0/Q = 1592/66,67 = 23,87 Hz

Respuesta

B = 23,87 Hz

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