Métodos de investigación y estadística en psicología: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 16 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Estadística descriptiva

Media: x̄ = Σx/n
Desviación típica muestral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor central de los datos ordenados
Puntuación z: z = (x − μ)/σ
Distribución normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidad

Complementario: P(not A) = 1 − P(A)
Regla de la suma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Sucesos independientes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidad condicionada: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribución normal

Puntuación z: z = (x − μ)/σ
Por debajo de x: P(X < x) = Φ(z)
Por encima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre dos valores: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.

Intervalos de confianza

σ conocida: x̄ ± z·σ/√n
σ desconocida: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamaño muestral: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Contraste z para una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Contraste t para una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral al 5%: rechaza H₀ si |z| > 1,96
Intervalo de confianza: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.

Regresión lineal y correlación

Sumas de cuadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendiente: b = S_xy/S_xx
Ordenada en el origen: a = ȳ − b·x̄
Correlación: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

Pruebas de chi cuadrado

Estadístico de contraste: χ² = Σ(O − E)²/E
Bondad de ajuste: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Independencia: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Valores críticos (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Decisión: rechaza H₀ si χ² > χ²_crit

2Problemas de práctica

1.Métodos de investigación en psicologíaMedia

Las características de la demanda son:

ALas exigencias formales de un comité de ética antes de que pueda empezar un estudio
BLas características de la muestra
CSeñales que hacen que los participantes adivinen el objetivo y cambien su conducta
DLos requisitos estadísticos de una prueba

2.Métodos de investigación en psicologíaDifícil

Las medidas del tamaño del efecto, como la d de Cohen, se informan porque:

AEliminan la necesidad de cualquier hipótesis
BIndican cuántos participantes abandonaron
CMuestran cuán grande es un efecto, independientemente del tamaño de la muestra
DMuestran si el resultado es estadísticamente significativo al nivel alfa elegido

3.Estadística descriptivaMedia

Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 17, 17, 39, 40, 46, 45.

n = 6

s =

4.Estadística descriptivaDifícil

Las notas de un examen siguen una distribución normal con media 170 y desviación típica 12. Calcula la puntuación z z de una nota de 177,2.

μ = 170σ = 12x = 177,2

z =

5.ProbabilidadMedia

Una bolsa tiene 7 bolas rojas y 4 azules. Sacas dos bolas sin devolver la primera. ¿Cuál es la probabilidad P de que las dos sean rojas?

7 / 4

P =

6.ProbabilidadDifícil

Un examen tiene 12 preguntas de opción múltiple. Una estudiante que contesta al azar acierta cada una con probabilidad 0,3, de forma independiente. ¿Cuál es la probabilidad P de acertar exactamente 2?

n = 12p = 0,3k = 2

P =

7.Distribución normalMedia

Supón que las notas de un examen siguen una distribución normal con media 65 puntos y desviación típica 10 puntos. ¿Qué fracción está entre 50,5 y 80 puntos? Da P como número decimal.

μ = 65σ = 10x₁ = 50,5x₂ = 80

P =

8.Distribución normalDifícil

Para las estaturas de los hombres adultos, la distribución es normal, con media 178 cm y desviación típica 7 cm. Arrastra el punto de corte para que el 40 % inferior sombreado quede a su izquierda. Halla el punto de corte x.

μ = 178 cmσ = 7 cm40%

x = cm

9.Intervalos de confianzaMedia

Se mide la tensión arterial de 6 pacientes antes y después de un tratamiento. Las diferencias d = antes − después (mmHg) tienen media 4,7 y desviación típica 1. Halla el límite inferior del intervalo de confianza del 90 % para la diferencia media.

n = 6d̄ = 4,7s_d = 190%t(5) = 2,015

límite inferior = mmHg

10.Intervalos de confianzaDifícil

Los diámetros de 25 ejes mecanizados tienen una desviación típica muestral de 2,4 µm. Suponiendo que los diámetros siguen una distribución normal, halla el límite superior σ del intervalo de confianza del 95 % para la desviación típica poblacional. Con gl = 24, el 2,5 % de la distribución χ² queda por debajo de 12,401 y el 2,5 % queda por encima de 39,364.

n = 25s = 2,4 µmχ² = 12,401, 39,364

σ = µm

11.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia

Una muestra de 49 estudiantes tiene una nota media de 97,49 y una desviación típica muestral de 8. Calcula el estadístico de contraste t para H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 97,49s = 8n = 49

t =

12.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil

Una muestra de 49 medidas tiene media 123. La desviación típica poblacional es 10. Calcula el límite superior U del intervalo de confianza del 95 % para la media.

x̄ = 123σ = 10n = 4995%

U =

13.Regresión lineal y correlaciónMedia

La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = antigüedad del coche en años e y = precio en miles de €. Se dan sus sumas. Halla el coeficiente de correlación de Pearson r a partir de estas sumas.

n = 6Σx = 21Σy = 127Σx² = 91Σy² = 2751Σxy = 414

r =

14.Regresión lineal y correlaciónDifícil

La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = temperatura en °C e y = helados vendidos. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. ¿Para qué valor x predice la recta ŷ = 95?

n = 5ŷ = 95

x =

15.Pruebas de chi cuadradoMedia

La tabla de contingencia muestra las frecuencias observadas. Calcula el estadístico de chi cuadrado χ² para la prueba de independencia entre las variables de filas y columnas. No uses corrección por continuidad.

N = 2002 × 3

χ² =

16.Pruebas de chi cuadradoDifícil

Una prueba de chi cuadrado de bondad de ajuste comprueba si las frecuencias en 7 categorías siguen una distribución de Poisson cuya media se estima a partir de los mismos datos. ¿Cuántos grados de libertad df tiene la prueba?

k = 7

df =

3Disoluciones

1.Métodos de investigación en psicología

Respuesta: C · Señales que hacen que los participantes adivinen el objetivo y cambien su conducta

Por qué esta es la respuesta

Si los participantes deducen la hipótesis, pueden actuar para confirmarla o sabotearla, lo que amenaza la validez. El engaño y los procedimientos ciegos lo reducen.

Respuesta

C · Señales que hacen que los participantes adivinen el objetivo y cambien su conducta

2.Métodos de investigación en psicología

Respuesta: C · Muestran cuán grande es un efecto, independientemente del tamaño de la muestra

Por qué esta es la respuesta

Con muestras grandes, efectos diminutos pueden ser significativos. Los tamaños del efecto expresan la magnitud de una diferencia, p. ej. d = 0,2 pequeño, 0,5 mediano, 0,8 grande.

Respuesta

C · Muestran cuán grande es un efecto, independientemente del tamaño de la muestra

3.Estadística descriptiva

Respuesta: s = 13,45

Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.

Media

x̄ = 204/6 = 34

Desviaciones al cuadrado

Σ(x − x̄)² = (−17)² + (−17)² + 5² + 6² + 12² + 11² = 904

Desviación típica

s = √(904/5) = 13,45

Respuesta

s = 13,45

4.Estadística descriptiva

Respuesta: z = 0,6

Tipificar

z = (177,2 − 170)/12 = 0,6

Respuesta

z = 0,6

5.Probabilidad

Respuesta: P = 0,3818

Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Primera y segunda extracción

P = 7/11 · 6/10 = 42/110 = 0,3818

Respuesta

P = 0,3818

6.Probabilidad

Respuesta: P = 0,1678

Fórmula binomial

P(X = 2) = 66·0,3²·0,7¹⁰ = 66·0,09·0,02825 = 0,1678

Respuesta

P = 0,1678

7.Distribución normal

Respuesta: P = 0,8597

Distribución normal: convierte un valor x en una puntuación z, z = (x − μ)/σ, que indica a cuántas desviaciones típicas está de la media. Una tabla z (o Φ(z)) da el área a la izquierda de z, que es P(X < x). El área a la derecha es 1 − Φ(z), y el área entre dos valores es la diferencia de sus dos áreas.

Puntuaciones z

z₁ = (50,5 − 65)/10 = −1,45

z₂ = (80 − 65)/10 = 1,5

Área entre ambos valores

P = Φ(1,5) − Φ(−1,45) = 0,9332 − 0,07353 = 0,8597

Respuesta

P = 0,8597

8.Distribución normal

Respuesta: x = 176,3 cm

De un área de vuelta a z: Φ(z) es el área a la izquierda de z. Para un área A en la cola izquierda, busca en la tabla la z con Φ(z) = A. Un área A en la cola derecha significa Φ(z) = 1 − A. Un área central A entre −z y z deja (1 − A)/2 en cada cola, así que Φ(z) = (1 + A)/2. Para un valor x, usa x = μ + zσ.

Área a la izquierda

Φ(z) = 0,4

z según la tabla

z ≈ −0,25

De vuelta a las unidades originales

x = 178 − 0,25·7 = 176,3 cm

Respuesta

x = 176,3 cm

9.Intervalos de confianza

Respuesta: límite inferior = 3,877 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Valor crítico

df = 5, t = 2,015

Margen de error

E = 2,015·1/√6 = 0,8226

Intervalo

4,7 ± 0,8226 → [3,877, 5,523]

Respuesta

límite inferior = 3,877 mmHg

10.Intervalos de confianza

Respuesta: σ = 3,339 µm

Intervalo para una varianza: (n − 1)s²/σ² sigue una distribución χ² con n − 1 grados de libertad. El intervalo del 95 % para σ² va desde (n − 1)s² dividido entre el valor χ² superior (con el 2,5 % por encima) hasta (n − 1)s² dividido entre el valor χ² inferior (con el 2,5 % por debajo); el intervalo para σ es la raíz cuadrada de ambos límites. No es simétrico respecto a s.

Suma de cuadrados

(n − 1)s² = 24·2,4² = 138,2

Límites para σ²

138,2/39,364 = 3,512

138,2/12,401 = 11,15

Límite para σ

σ = √11,15 = 3,339 µm

Respuesta

σ = 3,339 µm

Intervalo del 95 % para σ: [1,874, 3,339] µm.

11.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Respuesta: t = −2,196

Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).

Error típico

SE = 8/√49 = 8/7 = 1,143

Estadístico de contraste

t = (97,49 − 100)/1,143 = −2,196

Respuesta

t = −2,196

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| > 2,011, así que se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).

12.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Respuesta: U = 125,8

Margen de error

E = 1,96·10/√49 = 2,8

Límite del intervalo

U = 123 + 2,8 = 125,8

Respuesta

U = 125,8

13.Regresión lineal y correlación

Respuesta: r = −0,9198

Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.

Sumas centradas

S_xy = 414 − 21·127/6 = −30,5

S_xx = 91 − 21²/6 = 17,5

S_yy = 2751 − 127²/6 = 62,83

Coeficiente de correlación

r = −30,5/√(17,5·62,83) = −0,9198

Respuesta

r = −0,9198

14.Regresión lineal y correlación

Respuesta: x = 26,38

Medias

x̄ = 110/5 = 22

ȳ = 399/5 = 79,8

Sumas de cuadrados y de productos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 312

Recta de regresión

b = 312/90 = 3,467

a = 79,8 − 3,467·22 = 3,533

ŷ = 3,533 + 3,467·x

Despeja x

x = (95 − 3,533)/3,467 = 26,38

Respuesta

x = 26,38

15.Pruebas de chi cuadrado

Respuesta: χ² = 9,332

Pruebas de chi cuadrado: compara las frecuencias observadas O con las frecuencias E esperadas bajo H₀ mediante χ² = Σ(O − E)²/E. Bondad de ajuste: E = n·p para cada categoría, gl = k − 1 (menos uno más por cada parámetro estimado a partir de los datos). Independencia en una tabla r × c: E = total de fila × total de columna / total general, gl = (r − 1)(c − 1). Rechaza H₀ cuando χ² supera el valor crítico para el α elegido.

Frecuencias esperadas

urbano: 120·40/200 = 24, 120·90/200 = 54, 120·70/200 = 42

rural: 80·40/200 = 16, 80·90/200 = 36, 80·70/200 = 28

Estadístico de chi cuadrado

χ² = (30 − 24)²/24 + (44 − 54)²/54 + (46 − 42)²/42 + (10 − 16)²/16 + (46 − 36)²/36 + (24 − 28)²/28

χ² = 9,332

Respuesta

χ² = 9,332

gl = 2. Con α = 0,05 el valor crítico es 5,991, así que H₀ (independencia) se rechaza.

16.Pruebas de chi cuadrado

Respuesta: df = 5

Grados de libertad

df = 7 − 1 − 1 = 5

Respuesta

df = 5

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