Métodos de investigación y estadística en psicología: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 16 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Estadística descriptiva

Media: x̄ = Σx/n
Desviación típica muestral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor central de los datos ordenados
Puntuación z: z = (x − μ)/σ
Distribución normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidad

Complementario: P(not A) = 1 − P(A)
Regla de la suma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Sucesos independientes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidad condicionada: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribución normal

Puntuación z: z = (x − μ)/σ
Por debajo de x: P(X < x) = Φ(z)
Por encima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre dos valores: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.

Intervalos de confianza

σ conocida: x̄ ± z·σ/√n
σ desconocida: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamaño muestral: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Contraste z para una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Contraste t para una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral al 5%: rechaza H₀ si |z| > 1,96
Intervalo de confianza: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.

Regresión lineal y correlación

Sumas de cuadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendiente: b = S_xy/S_xx
Ordenada en el origen: a = ȳ − b·x̄
Correlación: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

Pruebas de chi cuadrado

Estadístico de contraste: χ² = Σ(O − E)²/E
Bondad de ajuste: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Independencia: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Valores críticos (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Decisión: rechaza H₀ si χ² > χ²_crit

2Problemas de práctica

1.Métodos de investigación en psicologíaMedia

Un estudiante obtiene 130 en una prueba con media 100 y desviación típica 15. ¿Cuál es su puntuación z?

A3,0
B1,5
C2,0
D0,5

2.Métodos de investigación en psicologíaDifícil

Un estudio encuentra una correlación de r = 0,05 entre la estatura y el CI solo en jugadores profesionales de baloncesto, aunque en la población general es mayor. ¿Qué explica mejor la correlación débil?

ALas características de la demanda
BLa regresión a la media
CUn efecto techo en las pruebas de CI
DLa restricción del rango

3.Estadística descriptivaMedia

Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 35, 33, 44, 22, 58, 48, 34.

n = 7

s =

4.Estadística descriptivaDifícil

Las notas de un examen siguen una distribución normal con media 170 y desviación típica 12. Calcula la puntuación z z de una nota de 158.

μ = 170σ = 12x = 158

z =

5.ProbabilidadMedia

Se lanza un dado equilibrado 4 veces. ¿Cuál es la probabilidad P de sacar al menos un seis?

n = 4

P =

6.ProbabilidadDifícil

Un examen tiene 12 preguntas de opción múltiple. Una estudiante que contesta al azar acierta cada una con probabilidad 0,1, de forma independiente. ¿Cuál es la probabilidad P de acertar exactamente 3?

n = 12p = 0,1k = 3

P =

7.Distribución normalMedia

Supón que las estaturas de los hombres adultos siguen una distribución normal con media 178 cm y desviación típica 7 cm. ¿Qué fracción está entre 171,35 y 186,75 cm? Da P como número decimal.

μ = 178σ = 7x₁ = 171,35x₂ = 186,75

P =

8.Distribución normalDifícil

Para las estaturas de los hombres adultos, la distribución es normal, con media 178 cm y desviación típica 7 cm. Arrastra el punto de corte para que el 70 % superior sombreado quede a su derecha. Halla el punto de corte x.

μ = 178 cmσ = 7 cm70%

x = cm

9.Intervalos de confianzaMedia

Se compara la duración de la batería de dos modelos de móvil. Modelo 1: 50 móviles, media 149 h, desviación típica conocida 8 h. Modelo 2: 30 móviles, media 161,5 h, desviación típica conocida 13 h. Halla el límite superior del intervalo de confianza del 99 % para μ₁ − μ₂.

n₁ = 50x̄₁ = 149 hσ₁ = 8 hn₂ = 30x̄₂ = 161,5 hσ₂ = 13 h99%

límite superior = h

10.Intervalos de confianzaDifícil

Se prueban dos fertilizantes. Grupo de parcelas 1: 26 parcelas, rendimiento medio 68,5 kg, desviación típica 1 kg. Grupo de parcelas 2: 5 parcelas, media 70 kg, desviación típica 4 kg. Supón varianzas iguales (t con varianza combinada, gl = n₁ + n₂ − 2). Halla el límite inferior del intervalo de confianza del 99 % para μ₁ − μ₂.

n₁ = 26x̄₁ = 68,5s₁ = 1n₂ = 5x̄₂ = 70s₂ = 499%t(29) = 2,756

límite inferior = kg

11.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia

Una muestra de 64 estudiantes tiene una nota media de 48,25 y una desviación típica muestral de 10. Calcula el estadístico de contraste t para H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 48,25s = 10n = 64

t =

12.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil

Una muestra de 36 medidas tiene media 49,5. La desviación típica poblacional es 5. Calcula el límite superior U del intervalo de confianza del 95 % para la media.

x̄ = 49,5σ = 5n = 3695%

U =

13.Regresión lineal y correlaciónMedia

La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = horas de estudio e y = nota del examen. Se dan sus sumas. Halla el coeficiente de correlación de Pearson r a partir de estas sumas.

n = 6Σx = 21Σy = 304Σx² = 91Σy² = 15642Σxy = 1120

r =

14.Regresión lineal y correlaciónDifícil

La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = temperatura en °C e y = helados vendidos. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. ¿Para qué valor x predice la recta ŷ = 58?

n = 5ŷ = 58

x =

15.Pruebas de chi cuadradoMedia

La tabla de contingencia muestra las frecuencias observadas. Calcula el estadístico de chi cuadrado χ² para la prueba de independencia entre las variables de filas y columnas. No uses corrección por continuidad.

N = 2402 × 2

χ² =

16.Pruebas de chi cuadradoDifícil

La tabla muestra las frecuencias observadas. Contrasta con α = 0,01 si las dos variables son independientes (sin corrección por continuidad). Calcula el estadístico de contraste χ² y compáralo después con el valor crítico de la tabla.

N = 2003 × 2α = 0,01

χ² =

3Disoluciones

1.Métodos de investigación en psicología

Respuesta: C · 2,0

Por qué esta es la respuesta

(130 − 100) / 15 = 2. La puntuación está dos desviaciones típicas por encima de la media, por encima de aproximadamente el 97–98% de las personas.

Respuesta

C · 2,0

2.Métodos de investigación en psicología

Respuesta: D · La restricción del rango

Por qué esta es la respuesta

Cuando una muestra abarca solo un rango estrecho de una variable, las correlaciones en las que interviene se reducen. Todos los jugadores de baloncesto son altos, así que la estatura varía poco.

Respuesta

D · La restricción del rango

3.Estadística descriptiva

Respuesta: s = 11,78

Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.

Media

x̄ = 274/7 = 39,14

Desviaciones al cuadrado

Σ(x − x̄)² = (−4,143)² + (−6,143)² + 4,857² + (−17,14)² + 18,86² + 8,857² + (−5,143)² = 832,9

Desviación típica

s = √(832,9/6) = 11,78

Respuesta

s = 11,78

4.Estadística descriptiva

Respuesta: z = −1

Tipificar

z = (158 − 170)/12 = −1

Respuesta

z = −1

5.Probabilidad

Respuesta: P = 0,5177

Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Complementario

P(ningún seis) = (5/6)⁴ = 0,4823

P = 1 − 0,4823 = 0,5177

Respuesta

P = 0,5177

6.Probabilidad

Respuesta: P = 0,08523

Fórmula binomial

P(X = 3) = 220·0,1³·0,9⁹ = 220·0,001·0,3874 = 0,08523

Respuesta

P = 0,08523

7.Distribución normal

Respuesta: P = 0,7233

Distribución normal: convierte un valor x en una puntuación z, z = (x − μ)/σ, que indica a cuántas desviaciones típicas está de la media. Una tabla z (o Φ(z)) da el área a la izquierda de z, que es P(X < x). El área a la derecha es 1 − Φ(z), y el área entre dos valores es la diferencia de sus dos áreas.

Puntuaciones z

z₁ = (171,35 − 178)/7 = −0,95

z₂ = (186,75 − 178)/7 = 1,25

Área entre ambos valores

P = Φ(1,25) − Φ(−0,95) = 0,8944 − 0,1711 = 0,7233

Respuesta

P = 0,7233

8.Distribución normal

Respuesta: x = 174,4 cm

De un área de vuelta a z: Φ(z) es el área a la izquierda de z. Para un área A en la cola izquierda, busca en la tabla la z con Φ(z) = A. Un área A en la cola derecha significa Φ(z) = 1 − A. Un área central A entre −z y z deja (1 − A)/2 en cada cola, así que Φ(z) = (1 + A)/2. Para un valor x, usa x = μ + zσ.

Área a la izquierda

Φ(z) = 0,3

z según la tabla

z ≈ −0,52

De vuelta a las unidades originales

x = 178 − 0,52·7 = 174,4 cm

Respuesta

x = 174,4 cm

9.Intervalos de confianza

Respuesta: límite superior = −5,727 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Estimación puntual

x̄₁ − x̄₂ = 149 − 161,5 = −12,5

Error típico

SE = √(8²/50 + 13²/30) = 2,629

Margen de error

E = 2,576·2,629 = 6,773

Intervalo

−12,5 ± 6,773 → [−19,27, −5,727]

Respuesta

límite superior = −5,727 h

El intervalo no contiene el 0, así que las medias difieren significativamente.

10.Intervalos de confianza

Respuesta: límite inferior = −3,858 kg

Desviación típica combinada

s_p² = (25·1² + 4·4²)/29 = 3,069

s_p = 1,752

Margen de error

E = 2,756·1,752·√(1/26 + 1/5) = 2,358

Intervalo

−1,5 ± 2,358 → [−3,858, 0,8577]

Respuesta

límite inferior = −3,858 kg

11.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Respuesta: t = −1,4

Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).

Error típico

SE = 10/√64 = 10/8 = 1,25

Estadístico de contraste

t = (48,25 − 50)/1,25 = −1,4

Respuesta

t = −1,4

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| < 1.998, así que no se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).

12.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Respuesta: U = 51,13

Margen de error

E = 1,96·5/√36 = 1,633

Límite del intervalo

U = 49,5 + 1,633 = 51,13

Respuesta

U = 51,13

13.Regresión lineal y correlación

Respuesta: r = 0,8653

Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.

Sumas centradas

S_xy = 1120 − 21·304/6 = 56

S_xx = 91 − 21²/6 = 17,5

S_yy = 15642 − 304²/6 = 239,3

Coeficiente de correlación

r = 56/√(17,5·239,3) = 0,8653

Respuesta

r = 0,8653

14.Regresión lineal y correlación

Respuesta: x = 21,54

Medias

x̄ = 115/5 = 23

ȳ = 319/5 = 63,8

Sumas de cuadrados y de productos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 357

Recta de regresión

b = 357/90 = 3,967

a = 63,8 − 3,967·23 = −27,43

ŷ = −27,43 + 3,967·x

Despeja x

x = (58 − (−27,43))/3,967 = 21,54

Respuesta

x = 21,54

15.Pruebas de chi cuadrado

Respuesta: χ² = 0,2694

Pruebas de chi cuadrado: compara las frecuencias observadas O con las frecuencias E esperadas bajo H₀ mediante χ² = Σ(O − E)²/E. Bondad de ajuste: E = n·p para cada categoría, gl = k − 1 (menos uno más por cada parámetro estimado a partir de los datos). Independencia en una tabla r × c: E = total de fila × total de columna / total general, gl = (r − 1)(c − 1). Rechaza H₀ cuando χ² supera el valor crítico para el α elegido.

Frecuencias esperadas

hombres: 120·108/240 = 54, 120·132/240 = 66

mujeres: 120·108/240 = 54, 120·132/240 = 66

Estadístico de chi cuadrado

χ² = (56 − 54)²/54 + (64 − 66)²/66 + (52 − 54)²/54 + (68 − 66)²/66

χ² = 0,2694

Respuesta

χ² = 0,2694

gl = 1. Con α = 0,05 el valor crítico es 3,841, así que H₀ (independencia) no se rechaza.

16.Pruebas de chi cuadrado

Respuesta: χ² = 1,467

Frecuencias esperadas

edad 18–30: 30, 30

edad 31–50: 30, 30

edad 51+: 40, 40

Estadístico de chi cuadrado

χ² = (27 − 30)²/30 + (33 − 30)²/30 + (29 − 30)²/30 + (31 − 30)²/30 + (44 − 40)²/40 + (36 − 40)²/40

χ² = 1,467

Decisión

df = 2, χ²_crit = 9,210

1,467 < 9,210

Respuesta

χ² = 1,467

χ² está por debajo del valor crítico, así que no se rechaza H₀: no hay evidencia significativa de relación.

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