Estadística descriptiva
- Media
- x̄ = Σx/n
- Desviación típica muestral
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- valor central de los datos ordenados
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Distribución normal
- 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ
Métodos de investigación y estadística en psicología: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 16 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Probabilidad
- Complementario
- P(not A) = 1 − P(A)
- Regla de la suma
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Sucesos independientes
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Probabilidad condicionada
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribución normal
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Por debajo de x
- P(X < x) = Φ(z)
- Por encima de x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Entre dos valores
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentil
- x = μ + z·σ
Método
- Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
- Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
- Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
- Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.
Intervalos de confianza
- σ conocida
- x̄ ± z·σ/√n
- σ desconocida
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z crítico
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Tamaño muestral
- n = (z·σ/E)², rounded up
Método
- Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
- Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
- Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
- Intervalo: x̄ ± E.
Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
- Contraste z para una media
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Contraste t para una media
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Bilateral al 5%
- rechaza H0 si |z| > 1,96
- Intervalo de confianza
- x̄ ± z·σ/√n
Método
- Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
- Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
- Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
- Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.
Regresión lineal y correlación
- Sumas de cuadrados
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Pendiente
- b = Sxy/Sxx
- Ordenada en el origen
- a = ȳ − b·x̄
- Correlación
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residuo
- e = y − ŷ
Pruebas de chi cuadrado
- Estadístico de contraste
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Bondad de ajuste
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Independencia
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Valores críticos (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Decisión
- rechaza H0 si χ² > χ²crit
2Problemas de práctica
1.Métodos de investigación en psicologíaMedia
Un investigador quiere comprobar si existe asociación entre el género (hombre/mujer) y el género cinematográfico preferido (cuatro categorías). ¿Qué prueba es adecuada?
- AEl ANOVA de un factor
- BLa prueba chi cuadrado de independencia
- CLa prueba t para muestras relacionadas
- DLa correlación de Pearson
2.Métodos de investigación en psicologíaDifícil
Un investigador mide el efecto del ruido sobre la concentración. Casualmente, los participantes de la condición con ruido se evaluaron por la mañana y los de la condición silenciosa por la tarde. ¿Cuál es el problema?
- ALa hora del día es una variable de confusión
- BLos datos son de nivel nominal
- CEl estudio tiene demasiadas condiciones
- DLa hora del día es la variable dependiente
3.Estadística descriptivaMedia
Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 59, 45, 31, 32, 27, 19.
n = 6
s =
4.Estadística descriptivaDifícil
Una magnitud sigue una distribución normal con media 70 y desviación típica 12. ¿Qué proporción P de valores está por encima de 55,6?
μ = 70σ = 12x = 55,6
P =
5.ProbabilidadMedia
Una bolsa tiene 4 bolas rojas y 8 azules. Sacas dos bolas sin devolver la primera. ¿Cuál es la probabilidad P de que las dos sean rojas?
4 / 8
P =
6.ProbabilidadDifícil
Un examen tiene 10 preguntas de opción múltiple. Una estudiante que contesta al azar acierta cada una con probabilidad 0,1, de forma independiente. ¿Cuál es la probabilidad P de acertar exactamente 3?
n = 10p = 0,1k = 3
P =
7.Distribución normalMedia
Arrastra z para que el área sombreada bajo la curva normal estándar, a la derecha de z, sea 0,0409. Halla z con dos decimales.
A = 0,0409
z =
8.Distribución normalDifícil
Para las duraciones de las baterías, la distribución es normal, con media 500 h y desviación típica 40 h. Arrastra el punto de corte para que el 60 % inferior sombreado quede a su izquierda. Halla el punto de corte x.
μ = 500 hσ = 40 h60%
x = h
9.Intervalos de confianzaMedia
Se compara la duración de la batería de dos modelos de móvil. Modelo 1: 80 móviles, media 115,5 h, desviación típica conocida 18 h. Modelo 2: 30 móviles, media 118 h, desviación típica conocida 18 h. Halla el margen de error E del intervalo de confianza del 99 % para μ₁ − μ₂.
n₁ = 80x̄₁ = 115,5 hσ₁ = 18 hn₂ = 30x̄₂ = 118 hσ₂ = 18 h99%
E = h
10.Intervalos de confianzaDifícil
Los diámetros de 15 ejes mecanizados tienen una desviación típica muestral de 4,8 µm. Suponiendo que los diámetros siguen una distribución normal, halla el límite inferior σ del intervalo de confianza del 95 % para la desviación típica poblacional. Con gl = 14, el 2,5 % de la distribución χ² queda por debajo de 5,629 y el 2,5 % queda por encima de 26,119.
n = 15s = 4,8 µmχ² = 5,629, 26,119
σ = µm
11.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia
Una muestra de 36 estudiantes tiene una nota media de 46,5 y una desviación típica muestral de 15. Calcula el estadístico de contraste t para H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 46,5s = 15n = 36
t =
12.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil
En un ensayo se recuperan 52 de 80 pacientes con el tratamiento A y 71 de 100 pacientes con el tratamiento B. Usando la proporción combinada, halla el estadístico de contraste z para H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 52n₁ = 80x₂ = 71n₂ = 100
z =
13.Regresión lineal y correlaciónMedia
La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = antigüedad del coche en años e y = precio en miles de €. Se dan sus sumas. Halla el coeficiente de correlación de Pearson r a partir de estas sumas.
n = 6Σx = 21Σy = 107Σx² = 91Σy² = 2067Σxy = 323
r =
14.Regresión lineal y correlaciónDifícil
La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = horas de estudio e y = nota del examen. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. ¿Para qué valor x predice la recta ŷ = 42?
n = 5ŷ = 42
x =
15.Pruebas de chi cuadradoMedia
La tabla de contingencia muestra las frecuencias observadas. Para una prueba de chi cuadrado de independencia, halla la frecuencia esperada E de la casilla «urbano, bajo».
total de fila = 42total de columna = 30N = 103
E =
16.Pruebas de chi cuadradoDifícil
Una prueba de chi cuadrado de bondad de ajuste compara las frecuencias observadas en 7 categorías con proporciones esperadas totalmente especificadas (no se estima ningún parámetro a partir de los datos). Con la tabla, halla el valor crítico χ²crit para el nivel de significación α = 0,05.
α = 0,05
χ²crit =
3Disoluciones
1.Métodos de investigación en psicología
Respuesta: B · La prueba chi cuadrado de independencia
Por qué esta es la respuesta
La prueba chi cuadrado compara las frecuencias observadas con las esperadas en una tabla de contingencia para comprobar si dos variables categóricas están asociadas.
Respuesta
B · La prueba chi cuadrado de independencia
2.Métodos de investigación en psicología
Respuesta: A · La hora del día es una variable de confusión
Por qué esta es la respuesta
Como el ruido y la hora de evaluación varían juntos, cualquier diferencia podría deberse a cualquiera de los dos. Asignar al azar las horas de evaluación o mantener constante la hora eliminaría la confusión.
Respuesta
A · La hora del día es una variable de confusión
3.Estadística descriptiva
Respuesta: s = 14,28
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Media
x̄ = 213/6 = 35,5
Desviaciones al cuadrado
Σ(x − x̄)² = 23,5² + 9,5² + (−4,5)² + (−3,5)² + (−8,5)² + (−16,5)² = 1020
Desviación típica
s = √(1020/5) = 14,28
Respuesta
s = 14,28
4.Estadística descriptiva
Respuesta: P = 0,8849
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Tipificar
z = −1,2
Tabla de la normal estándar
Φ(−1,2) = 0,1151
P = 1 − 0,1151 = 0,8849
Respuesta
P = 0,8849
5.Probabilidad
Respuesta: P = 0,09091
Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Primera y segunda extracción
P = 4/12 · 3/11 = 12/132 = 0,09091
Respuesta
P = 0,09091
6.Probabilidad
Respuesta: P = 0,0574
Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Fórmula binomial
P(X = 3) = 120·0,13·0,97 = 120·0,001·0,4783 = 0,0574
Respuesta
P = 0,0574
7.Distribución normal
Respuesta: z = 1,74
De un área de vuelta a z: Φ(z) es el área a la izquierda de z. Para un área A en la cola izquierda, busca en la tabla la z con Φ(z) = A. Un área A en la cola derecha significa Φ(z) = 1 − A. Un área central A entre −z y z deja (1 − A)/2 en cada cola, así que Φ(z) = (1 + A)/2. Para un valor x, usa x = μ + zσ.
Área a la izquierda de z
Φ(z) = 1 − 0,0409 = 0,9591
Lee la tabla de z al revés
Busca 0,9591 dentro de la tabla y lee z.
z = 1,74
Respuesta
z = 1,74
8.Distribución normal
Respuesta: x = 510 h
De un área de vuelta a z: Φ(z) es el área a la izquierda de z. Para un área A en la cola izquierda, busca en la tabla la z con Φ(z) = A. Un área A en la cola derecha significa Φ(z) = 1 − A. Un área central A entre −z y z deja (1 − A)/2 en cada cola, así que Φ(z) = (1 + A)/2. Para un valor x, usa x = μ + zσ.
Área a la izquierda
Φ(z) = 0,6
z según la tabla
z ≈ 0,25
De vuelta a las unidades originales
x = 500 + 0,25·40 = 510 h
Respuesta
x = 510 h
9.Intervalos de confianza
Respuesta: E = 9,927 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estimación puntual
x̄₁ − x̄₂ = 115,5 − 118 = −2,5
Error típico
SE = √(18²/80 + 18²/30) = 3,854
Margen de error
E = 2,576·3,854 = 9,927
Respuesta
E = 9,927 h
El intervalo contiene el 0, así que los datos no muestran una diferencia significativa.
10.Intervalos de confianza
Respuesta: σ = 3,514 µm
Intervalo para una varianza: (n − 1)s²/σ² sigue una distribución χ² con n − 1 grados de libertad. El intervalo del 95 % para σ² va desde (n − 1)s² dividido entre el valor χ² superior (con el 2,5 % por encima) hasta (n − 1)s² dividido entre el valor χ² inferior (con el 2,5 % por debajo); el intervalo para σ es la raíz cuadrada de ambos límites. No es simétrico respecto a s.
Suma de cuadrados
(n − 1)s² = 14·4,8² = 322,6
Límites para σ²
322,6/26,119 = 12,35
322,6/5,629 = 57,3
Límite para σ
σ = √12,35 = 3,514 µm
Respuesta
σ = 3,514 µm
Intervalo del 95 % para σ: [3,514, 7,57] µm.
11.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: t = −1,4
Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).
Error típico
SE = 15/√36 = 15/6 = 2,5
Estadístico de contraste
t = (46,5 − 50)/2,5 = −1,4
Respuesta
t = −1,4
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| < 2.03, así que no se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).
12.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: z = −0,8599
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Proporciones muestrales
p̂₁ = 52/80 = 0,65
p̂₂ = 71/100 = 0,71
p̂ = 123/180 = 0,6833
Error típico bajo H₀
SE = √(0,6833·0,3167·(1/80 + 1/100)) = 0,06978
Estadístico de contraste
z = (0,65 − 0,71)/0,06978 = −0,8599
Respuesta
z = −0,8599
|z| < 1.96, así que no se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).
13.Regresión lineal y correlación
Respuesta: r = −0,9768
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Sumas centradas
Sxy = 323 − 21·107/6 = −51,5
Sxx = 91 − 21²/6 = 17,5
Syy = 2067 − 107²/6 = 158,8
Coeficiente de correlación
r = −51,5/√(17,5·158,8) = −0,9768
Respuesta
r = −0,9768
14.Regresión lineal y correlación
Respuesta: x = 2,018
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Medias
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 251/5 = 50,2
Sumas de cuadrados y de productos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 110
Recta de regresión
b = 110/40 = 2,75
a = 50,2 − 2,75·5 = 36,45
ŷ = 36,45 + 2,75·x
Despeja x
x = (42 − 36,45)/2,75 = 2,018
Respuesta
x = 2,018
15.Pruebas de chi cuadrado
Respuesta: E = 12,23
Pruebas de chi cuadrado: compara las frecuencias observadas O con las frecuencias E esperadas bajo H₀ mediante χ² = Σ(O − E)²/E. Bondad de ajuste: E = n·p para cada categoría, gl = k − 1 (menos uno más por cada parámetro estimado a partir de los datos). Independencia en una tabla r × c: E = total de fila × total de columna / total general, gl = (r − 1)(c − 1). Rechaza H₀ cuando χ² supera el valor crítico para el α elegido.
Frecuencia esperada
E = 42·30/103 = 12,23
Respuesta
E = 12,23
16.Pruebas de chi cuadrado
Respuesta: χ²crit = 12,59
Pruebas de chi cuadrado: compara las frecuencias observadas O con las frecuencias E esperadas bajo H₀ mediante χ² = Σ(O − E)²/E. Bondad de ajuste: E = n·p para cada categoría, gl = k − 1 (menos uno más por cada parámetro estimado a partir de los datos). Independencia en una tabla r × c: E = total de fila × total de columna / total general, gl = (r − 1)(c − 1). Rechaza H₀ cuando χ² supera el valor crítico para el α elegido.
Grados de libertad
df = 7 − 1 = 6
Tabla
χ²crit(df = 6, α = 0,05) = 12,592
Respuesta
χ²crit = 12,592
Rechaza H₀ si el χ² calculado es mayor que este valor.
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