Estadística descriptiva
- Media
- x̄ = Σx/n
- Desviación típica muestral
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- valor central de los datos ordenados
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Distribución normal
- 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ
Métodos de investigación y estadística en psicología: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 16 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Probabilidad
- Complementario
- P(not A) = 1 − P(A)
- Regla de la suma
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Sucesos independientes
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Probabilidad condicionada
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribución normal
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Por debajo de x
- P(X < x) = Φ(z)
- Por encima de x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Entre dos valores
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentil
- x = μ + z·σ
Método
- Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
- Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
- Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
- Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.
Intervalos de confianza
- σ conocida
- x̄ ± z·σ/√n
- σ desconocida
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z crítico
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Tamaño muestral
- n = (z·σ/E)², rounded up
Método
- Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
- Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
- Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
- Intervalo: x̄ ± E.
Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
- Contraste z para una media
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Contraste t para una media
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Bilateral al 5%
- rechaza H0 si |z| > 1,96
- Intervalo de confianza
- x̄ ± z·σ/√n
Método
- Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
- Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
- Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
- Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.
Regresión lineal y correlación
- Sumas de cuadrados
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Pendiente
- b = Sxy/Sxx
- Ordenada en el origen
- a = ȳ − b·x̄
- Correlación
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residuo
- e = y − ŷ
Pruebas de chi cuadrado
- Estadístico de contraste
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Bondad de ajuste
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Independencia
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Valores críticos (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Decisión
- rechaza H0 si χ² > χ²crit
2Problemas de práctica
1.Métodos de investigación en psicologíaMedia
Un investigador estudia el efecto del género en las puntuaciones de memoria. ¿Por qué es un cuasiexperimento y no un experimento verdadero?
- ASolo hay dos condiciones, y un experimento verdadero necesita al menos tres niveles de la VI
- BNo se mide la VD
- CLa VI es una característica preexistente, por lo que no se puede asignar aleatoriamente a los participantes a ella
- DEl estudio se realiza en un laboratorio
2.Métodos de investigación en psicologíaDifícil
Un investigador realiza cinco pruebas t y quiere mantener la tasa global de error de tipo I en 0,05 con la corrección de Bonferroni. ¿Qué nivel de significación debe usar cada prueba?
- A0,25
- B0,01
- C0,05
- D0,025
3.Estadística descriptivaMedia
Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 49, 38, 58, 55, 39.
n = 5
s =
4.Estadística descriptivaDifícil
Las notas de un examen siguen una distribución normal con media 60 y desviación típica 15. Calcula la puntuación z z de una nota de 42.
μ = 60σ = 15x = 42
z =
5.ProbabilidadMedia
Una bolsa tiene 3 bolas rojas y 7 azules. Sacas dos bolas sin devolver la primera. ¿Cuál es la probabilidad P de que las dos sean rojas?
3 / 7
P =
6.ProbabilidadDifícil
Un examen tiene 9 preguntas de opción múltiple. Una estudiante que contesta al azar acierta cada una con probabilidad 0,3, de forma independiente. ¿Cuál es la probabilidad P de acertar exactamente 4?
n = 9p = 0,3k = 4
P =
7.Distribución normalMedia
Arrastra z para que el área sombreada entre −z y z bajo la curva normal estándar sea 0,4647. Halla z con dos decimales.
A = 0,4647
z =
8.Distribución normalDifícil
Para las puntuaciones de CI, la distribución es normal, con media 100 puntos y desviación típica 15 puntos. Arrastra el punto de corte para que el 5 % superior sombreado quede a su derecha. Halla el punto de corte x.
μ = 100 puntosσ = 15 puntos5%
x = puntos
9.Intervalos de confianzaMedia
Se compara la duración de la batería de dos modelos de móvil. Modelo 1: 80 móviles, media 116 h, desviación típica conocida 16 h. Modelo 2: 60 móviles, media 110 h, desviación típica conocida 17 h. Halla el límite inferior del intervalo de confianza del 99 % para μ₁ − μ₂.
n₁ = 80x̄₁ = 116 hσ₁ = 16 hn₂ = 60x̄₂ = 110 hσ₂ = 17 h99%
límite inferior = h
10.Intervalos de confianzaDifícil
La desviación típica poblacional es 24. ¿Qué tamaño muestral n necesitas para que un intervalo de confianza del 95 % para la media tenga un margen de error de como máximo 2?
σ = 24E = 295%
n =
11.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia
Una muestra de 25 estudiantes tiene una nota media de 197,9 y una desviación típica muestral de 4. Calcula el estadístico de contraste t para H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 197,9s = 4n = 25
t =
12.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil
Una muestra de 100 medidas tiene media 499,1. La desviación típica poblacional es 4. Calcula el límite superior U del intervalo de confianza del 90 % para la media.
x̄ = 499,1σ = 4n = 10090%
U =
13.Regresión lineal y correlaciónMedia
La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = antigüedad del coche en años e y = precio en miles de €. Halla el coeficiente de correlación de Pearson r.
n = 6
r =
14.Regresión lineal y correlaciónDifícil
La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = temperatura en °C e y = helados vendidos. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. ¿Para qué valor x predice la recta ŷ = 75?
n = 6ŷ = 75
x =
15.Pruebas de chi cuadradoMedia
La tabla de contingencia muestra las frecuencias observadas. Calcula el estadístico de chi cuadrado χ² para la prueba de independencia entre las variables de filas y columnas. No uses corrección por continuidad.
N = 1602 × 2
χ² =
16.Pruebas de chi cuadradoDifícil
La tabla muestra las frecuencias observadas. Contrasta con α = 0,01 si las dos variables son independientes (sin corrección por continuidad). Calcula el estadístico de contraste χ² y compáralo después con el valor crítico de la tabla.
N = 2203 × 2α = 0,01
χ² =
3Disoluciones
1.Métodos de investigación en psicología
Respuesta: C · La VI es una característica preexistente, por lo que no se puede asignar aleatoriamente a los participantes a ella
Por qué esta es la respuesta
En un cuasiexperimento la VI es una diferencia natural entre las personas. Sin asignación aleatoria, otras diferencias entre los grupos pueden confundir los resultados.
Respuesta
C · La VI es una característica preexistente, por lo que no se puede asignar aleatoriamente a los participantes a ella
2.Métodos de investigación en psicología
Respuesta: B · 0,01
Por qué esta es la respuesta
La corrección de Bonferroni divide α por el número de comparaciones: 0,05 / 5 = 0,01. Es sencilla pero conservadora, lo que aumenta el riesgo de errores de tipo II.
Respuesta
B · 0,01
3.Estadística descriptiva
Respuesta: s = 9,094
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Media
x̄ = 239/5 = 47,8
Desviaciones al cuadrado
Σ(x − x̄)² = 1,2² + (−9,8)² + 10,2² + 7,2² + (−8,8)² = 330,8
Desviación típica
s = √(330,8/4) = 9,094
Respuesta
s = 9,094
4.Estadística descriptiva
Respuesta: z = −1,2
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Tipificar
z = (42 − 60)/15 = −1,2
Respuesta
z = −1,2
5.Probabilidad
Respuesta: P = 0,06667
Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Primera y segunda extracción
P = 3/10 · 2/9 = 6/90 = 0,06667
Respuesta
P = 0,06667
6.Probabilidad
Respuesta: P = 0,1715
Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Fórmula binomial
P(X = 4) = 126·0,34·0,75 = 126·0,0081·0,1681 = 0,1715
Respuesta
P = 0,1715
7.Distribución normal
Respuesta: z = 0,62
De un área de vuelta a z: Φ(z) es el área a la izquierda de z. Para un área A en la cola izquierda, busca en la tabla la z con Φ(z) = A. Un área A en la cola derecha significa Φ(z) = 1 − A. Un área central A entre −z y z deja (1 − A)/2 en cada cola, así que Φ(z) = (1 + A)/2. Para un valor x, usa x = μ + zσ.
Área a la izquierda de z
Φ(z) = (1 + 0,4647)/2 = 0,7324
Lee la tabla de z al revés
Busca 0,7324 dentro de la tabla y lee z.
z = 0,62
Respuesta
z = 0,62
8.Distribución normal
Respuesta: x = 124,6 puntos
De un área de vuelta a z: Φ(z) es el área a la izquierda de z. Para un área A en la cola izquierda, busca en la tabla la z con Φ(z) = A. Un área A en la cola derecha significa Φ(z) = 1 − A. Un área central A entre −z y z deja (1 − A)/2 en cada cola, así que Φ(z) = (1 + A)/2. Para un valor x, usa x = μ + zσ.
Área a la izquierda
Φ(z) = 0,95
z según la tabla
z ≈ 1,64
De vuelta a las unidades originales
x = 100 + 1,64·15 = 124,6 puntos
Respuesta
x = 124,6 puntos
9.Intervalos de confianza
Respuesta: límite inferior = −1,294 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estimación puntual
x̄₁ − x̄₂ = 116 − 110 = 6
Error típico
SE = √(16²/80 + 17²/60) = 2,831
Margen de error
E = 2,576·2,831 = 7,294
Intervalo
6 ± 7,294 → [−1,294, 13,29]
Respuesta
límite inferior = −1,294 h
El intervalo contiene el 0, así que los datos no muestran una diferencia significativa.
10.Intervalos de confianza
Respuesta: n = 554
Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.
Despejar n
n = (1,96·24/2)² = 553,2
Redondear hacia arriba
El tamaño muestral es un número entero, y redondear hacia abajo haría el margen demasiado grande.
n = 554
Respuesta
n = 554
11.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: t = −2,625
Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).
Error típico
SE = 4/√25 = 4/5 = 0,8
Estadístico de contraste
t = (197,9 − 200)/0,8 = −2,625
Respuesta
t = −2,625
t0,025; df = 24 = 2,064
|t| > 2,064, así que se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).
12.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: U = 499,8
Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).
Margen de error
E = 1,645·4/√100 = 0,658
Límite del intervalo
U = 499,1 + 0,658 = 499,8
Respuesta
U = 499,8
13.Regresión lineal y correlación
Respuesta: r = −0,9957
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Medias
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 112/6 = 18,67
Sumas de cuadrados y de productos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −47
Syy = Σ(y − ȳ)² = 127,3
Coeficiente de correlación
r = −47/√(17,5·127,3) = −0,9957
Respuesta
r = −0,9957
14.Regresión lineal y correlación
Respuesta: x = 26,98
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Medias
x̄ = 138/6 = 23
ȳ = 364/6 = 60,67
Sumas de cuadrados y de productos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 252
Recta de regresión
b = 252/70 = 3,6
a = 60,67 − 3,6·23 = −22,13
ŷ = −22,13 + 3,6·x
Despeja x
x = (75 − (−22,13))/3,6 = 26,98
Respuesta
x = 26,98
15.Pruebas de chi cuadrado
Respuesta: χ² = 18,29
Pruebas de chi cuadrado: compara las frecuencias observadas O con las frecuencias E esperadas bajo H₀ mediante χ² = Σ(O − E)²/E. Bondad de ajuste: E = n·p para cada categoría, gl = k − 1 (menos uno más por cada parámetro estimado a partir de los datos). Independencia en una tabla r × c: E = total de fila × total de columna / total general, gl = (r − 1)(c − 1). Rechaza H₀ cuando χ² supera el valor crítico para el α elegido.
Frecuencias esperadas
fumadores: 100·112/160 = 70, 100·48/160 = 30
no fumadores: 60·112/160 = 42, 60·48/160 = 18
Estadístico de chi cuadrado
χ² = (58 − 70)²/70 + (42 − 30)²/30 + (54 − 42)²/42 + (6 − 18)²/18
χ² = 18,29
Respuesta
χ² = 18,29
gl = 1. Con α = 0,05 el valor crítico es 3,841, así que H₀ (independencia) se rechaza.
16.Pruebas de chi cuadrado
Respuesta: χ² = 19,99
Pruebas de chi cuadrado: compara las frecuencias observadas O con las frecuencias E esperadas bajo H₀ mediante χ² = Σ(O − E)²/E. Bondad de ajuste: E = n·p para cada categoría, gl = k − 1 (menos uno más por cada parámetro estimado a partir de los datos). Independencia en una tabla r × c: E = total de fila × total de columna / total general, gl = (r − 1)(c − 1). Rechaza H₀ cuando χ² supera el valor crítico para el α elegido.
Frecuencias esperadas
edad 18–30: 40, 60
edad 31–50: 16, 24
edad 51+: 32, 48
Estadístico de chi cuadrado
χ² = (54 − 40)²/40 + (46 − 60)²/60 + (17 − 16)²/16 + (23 − 24)²/24 + (17 − 32)²/32 + (63 − 48)²/48
χ² = 19,99
Decisión
df = 2, χ²crit = 9,210
19,99 > 9,210
Respuesta
χ² = 19,99
χ² está por encima del valor crítico, así que se rechaza H₀: las variables parecen estar relacionadas.
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