Métodos de investigación y estadística en psicología: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 16 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Estadística descriptiva

Media: x̄ = Σx/n
Desviación típica muestral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor central de los datos ordenados
Puntuación z: z = (x − μ)/σ
Distribución normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidad

Complementario: P(not A) = 1 − P(A)
Regla de la suma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Sucesos independientes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidad condicionada: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribución normal

Puntuación z: z = (x − μ)/σ
Por debajo de x: P(X < x) = Φ(z)
Por encima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre dos valores: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.

Intervalos de confianza

σ conocida: x̄ ± z·σ/√n
σ desconocida: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamaño muestral: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Contraste z para una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Contraste t para una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral al 5%: rechaza H₀ si |z| > 1,96
Intervalo de confianza: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.

Regresión lineal y correlación

Sumas de cuadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendiente: b = S_xy/S_xx
Ordenada en el origen: a = ȳ − b·x̄
Correlación: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

Pruebas de chi cuadrado

Estadístico de contraste: χ² = Σ(O − E)²/E
Bondad de ajuste: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Independencia: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Valores críticos (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Decisión: rechaza H₀ si χ² > χ²_crit

2Problemas de práctica

1.Métodos de investigación en psicologíaMedia

Un investigador estudia el efecto del género en las puntuaciones de memoria. ¿Por qué es un cuasiexperimento y no un experimento verdadero?

ANo se mide la VD
BEl estudio se realiza en un laboratorio
CLa VI es una característica preexistente, por lo que no se puede asignar aleatoriamente a los participantes a ella
DSolo hay dos condiciones, y un experimento verdadero necesita al menos tres niveles de la VI

2.Métodos de investigación en psicologíaDifícil

La «crisis de replicación» en psicología se refiere a:

ALa copia de cuestionarios sin permiso
BQue las revistas estén obligadas legalmente a rechazar todos los estudios de replicación que reciban
CUna escasez de participantes para los experimentos
DQue muchos hallazgos publicados no se reproducen en estudios nuevos

3.Estadística descriptivaMedia

Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 54, 30, 15, 10, 19, 47, 18.

n = 7

s =

4.Estadística descriptivaDifícil

Las notas de un examen siguen una distribución normal con media 50 y desviación típica 8. Calcula la puntuación z z de una nota de 43,6.

μ = 50σ = 8x = 43,6

z =

5.ProbabilidadMedia

Para la distribución mostrada, halla la varianza Var(X) de X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,15, 0,35, 0,25

Var(X) =

6.ProbabilidadDifícil

X tiene la distribución mostrada, y Y = 10X − 3. Halla la desviación típica σ_Y de Y.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,1, 0,2, 0,35, 0,35Y = 10X − 3

σ_Y =

7.Distribución normalMedia

Supón que las estaturas de los hombres adultos siguen una distribución normal con media 178 cm y desviación típica 7 cm. ¿Qué fracción está entre 169,6 y 188,5 cm? Da P como número decimal.

μ = 178σ = 7x₁ = 169,6x₂ = 188,5

P =

8.Distribución normalDifícil

Supón que las duraciones de las baterías siguen una distribución normal con media 500 h y desviación típica 40 h. Halla el valor x por debajo del cual queda el 97,5 % de los datos (el percentil 97,5).

μ = 500σ = 40P = 97,5%

x = h

9.Intervalos de confianzaMedia

Una muestra de 8 elementos tiene media 73,5 y desviación típica s = 13,5. La población es aproximadamente normal. Calcula el límite inferior del intervalo de confianza del 99 % para la media.

n = 8x̄ = 73,5s = 13,599%t(7) = 3,499

límite inferior =

10.Intervalos de confianzaDifícil

La desviación típica poblacional es 9. ¿Qué tamaño muestral n necesitas para que un intervalo de confianza del 95 % para la media tenga un margen de error de como máximo 3?

σ = 9E = 395%

n =

11.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia

Una muestra de 16 estudiantes tiene una nota media de 117,8 y una desviación típica muestral de 5. Calcula el estadístico de contraste t para H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 117,8s = 5n = 16

t =

12.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil

Se hace un contraste z unilateral de H₀: μ = 500 frente a H₁: μ < 500 con α = 0.05 y una muestra de 100; se sabe que la desviación típica es 20. En realidad la media es 496.8. Halla la probabilidad de un error de tipo II β en porcentaje.

μ₀ = 500μ = 496,8σ = 20n = 100α = 0,05

β = %

13.Regresión lineal y correlaciónMedia

La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = antigüedad del coche en años e y = precio en miles de €. Halla el coeficiente de correlación de Pearson r.

n = 6

r =

14.Regresión lineal y correlaciónDifícil

La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = antigüedad del coche en años e y = precio en miles de €. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. ¿Para qué valor x predice la recta ŷ = 20?

n = 6ŷ = 20

x =

15.Pruebas de chi cuadradoMedia

La tabla de contingencia muestra las frecuencias observadas. Calcula el estadístico de chi cuadrado χ² para la prueba de independencia entre las variables de filas y columnas. No uses corrección por continuidad.

N = 1002 × 3

χ² =

16.Pruebas de chi cuadradoDifícil

Una prueba de chi cuadrado de bondad de ajuste comprueba si las frecuencias en 6 categorías siguen una distribución de Poisson cuya media se estima a partir de los mismos datos. ¿Cuántos grados de libertad df tiene la prueba?

k = 6

df =

3Disoluciones

1.Métodos de investigación en psicología

Respuesta: C · La VI es una característica preexistente, por lo que no se puede asignar aleatoriamente a los participantes a ella

Por qué esta es la respuesta

En un cuasiexperimento la VI es una diferencia natural entre las personas. Sin asignación aleatoria, otras diferencias entre los grupos pueden confundir los resultados.

Respuesta

C · La VI es una característica preexistente, por lo que no se puede asignar aleatoriamente a los participantes a ella

2.Métodos de investigación en psicología

Respuesta: D · Que muchos hallazgos publicados no se reproducen en estudios nuevos

Por qué esta es la respuesta

Grandes proyectos de replicación encontraron muchos efectos más pequeños o ausentes, en relación con el sesgo de publicación, muestras pequeñas y análisis flexibles. El prerregistro es una respuesta.

Respuesta

D · Que muchos hallazgos publicados no se reproducen en estudios nuevos

3.Estadística descriptiva

Respuesta: s = 16,9

Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.

Media

x̄ = 193/7 = 27,57

Desviaciones al cuadrado

Σ(x − x̄)² = 26,43² + 2,429² + (−12,57)² + (−17,57)² + (−8,571)² + 19,43² + (−9,571)² = 1714

Desviación típica

s = √(1714/6) = 16,9

Respuesta

s = 16,9

4.Estadística descriptiva

Respuesta: z = −0,8

Tipificar

z = (43,6 − 50)/8 = −0,8

Respuesta

z = −0,8

5.Probabilidad

Respuesta: Var(X) = 1,24

Variables aleatorias discretas: una distribución de probabilidad enumera cada valor x que puede tomar una variable con su probabilidad p(x); las probabilidades están entre 0 y 1 y suman 1. El valor esperado (media) es E(X) = Σx·p(x), el promedio a largo plazo. La varianza es Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², y la desviación típica es σ = √Var(X). Para un cambio lineal Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) y σ_Y = |a|·σ_X; sumar una constante no cambia la dispersión.

Media

μ = 1·0,25 + 2·0,15 + 3·0,35 + 4·0,25 = 2,6

Media de los cuadrados

E(X²) = 1·0,25 + 4·0,15 + 9·0,35 + 16·0,25 = 8

Varianza

Var(X) = 8 − 2,6² = 1,24

Respuesta

Var(X) = 1,24

6.Probabilidad

Respuesta: σ_Y = 9,734

Dispersión de X

μ = 2,95, Var(X) = 0,9475, σ_X = 0,9734

Cambio lineal

σ_Y = |10|·0,9734 = 9,734

Respuesta

σ_Y = 9,734

La media sí se desplaza: E(Y) = 10·2,95 − 3 = 26,5.

7.Distribución normal

Respuesta: P = 0,8181

Distribución normal: convierte un valor x en una puntuación z, z = (x − μ)/σ, que indica a cuántas desviaciones típicas está de la media. Una tabla z (o Φ(z)) da el área a la izquierda de z, que es P(X < x). El área a la derecha es 1 − Φ(z), y el área entre dos valores es la diferencia de sus dos áreas.

Puntuaciones z

z₁ = (169,6 − 178)/7 = −1,2

z₂ = (188,5 − 178)/7 = 1,5

Área entre ambos valores

P = Φ(1,5) − Φ(−1,2) = 0,9332 − 0,1151 = 0,8181

Respuesta

P = 0,8181

8.Distribución normal

Respuesta: x = 578,4 h

z del percentil

Φ(z) = 0,975 → z = 1,96

Vuelta a x

x = 500 + 1,96·40 = 578,4 h

Respuesta

x = 578,4 h

9.Intervalos de confianza

Respuesta: límite inferior = 56,8

Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.

Valor crítico

df = n − 1 = 7, t = 3,499

Margen de error

E = 3,499·13,5/√8 = 16,7

Intervalo

73,5 ± 16,7 → [56,8, 90,2]

Respuesta

límite inferior = 56,8

10.Intervalos de confianza

Respuesta: n = 35

Despejar n

n = (1,96·9/3)² = 34,57

Redondear hacia arriba

El tamaño muestral es un número entero, y redondear hacia abajo haría el margen demasiado grande.

n = 35

Respuesta

n = 35

11.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Respuesta: t = −1,76

Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).

Error típico

SE = 5/√16 = 5/4 = 1,25

Estadístico de contraste

t = (117,8 − 120)/1,25 = −1,76

Respuesta

t = −1,76

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| < 2.131, así que no se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).

12.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Respuesta: β = 51,79 %

Potencia de un contraste: potencia = 1 − β es la probabilidad de rechazar H₀ cuando es falsa. Halla el valor de corte x̄c a partir de μ₀ y z_α y después calcula la probabilidad de caer más allá de x̄c usando la media verdadera: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Media muestral crítica

SE = 20/√100 = 2

x̄_c = 500 − 1,645·2 = 496,7

z con la media verdadera

z = (496,7 − 496,8)/2 = −0,045

Error de tipo II

potencia = P(Z < −0.045) = 48.21%

β = 100% − 48,21% = 51,79%

Respuesta

β = 51,79%

13.Regresión lineal y correlación

Respuesta: r = −0,9896

Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.

Medias

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 95/6 = 15,83

Sumas de cuadrados y de productos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −52,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 160,8

Coeficiente de correlación

r = −52,5/√(17,5·160,8) = −0,9896

Respuesta

r = −0,9896

14.Regresión lineal y correlación

Respuesta: x = 3,692

Medias

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 123/6 = 20,5

Sumas de cuadrados y de productos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −45,5

Recta de regresión

b = −45,5/17,5 = −2,6

a = 20,5 − (−2,6)·3,5 = 29,6

ŷ = 29,6 − 2,6·x

Despeja x

x = (20 − 29,6)/(−2,6) = 3,692

Respuesta

x = 3,692

15.Pruebas de chi cuadrado

Respuesta: χ² = 1,583

Pruebas de chi cuadrado: compara las frecuencias observadas O con las frecuencias E esperadas bajo H₀ mediante χ² = Σ(O − E)²/E. Bondad de ajuste: E = n·p para cada categoría, gl = k − 1 (menos uno más por cada parámetro estimado a partir de los datos). Independencia en una tabla r × c: E = total de fila × total de columna / total general, gl = (r − 1)(c − 1). Rechaza H₀ cuando χ² supera el valor crítico para el α elegido.

Frecuencias esperadas

turno de día: 40·50/100 = 20, 40·25/100 = 10, 40·25/100 = 10

turno de noche: 60·50/100 = 30, 60·25/100 = 15, 60·25/100 = 15

Estadístico de chi cuadrado

χ² = (23 − 20)²/20 + (8 − 10)²/10 + (9 − 10)²/10 + (27 − 30)²/30 + (17 − 15)²/15 + (16 − 15)²/15

χ² = 1,583

Respuesta

χ² = 1,583

gl = 2. Con α = 0,05 el valor crítico es 5,991, así que H₀ (independencia) no se rechaza.

16.Pruebas de chi cuadrado

Respuesta: df = 4

Grados de libertad

df = 6 − 1 − 1 = 4

Respuesta

df = 4

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