Estadística descriptiva
- Media
- x̄ = Σx/n
- Desviación típica muestral
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- valor central de los datos ordenados
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Distribución normal
- 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ
Introducción a la estadística: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Probabilidad
- Complementario
- P(not A) = 1 − P(A)
- Regla de la suma
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Sucesos independientes
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Probabilidad condicionada
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribución normal
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Por debajo de x
- P(X < x) = Φ(z)
- Por encima de x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Entre dos valores
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentil
- x = μ + z·σ
Método
- Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
- Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
- Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
- Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.
Intervalos de confianza
- σ conocida
- x̄ ± z·σ/√n
- σ desconocida
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z crítico
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Tamaño muestral
- n = (z·σ/E)², rounded up
Método
- Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
- Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
- Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
- Intervalo: x̄ ± E.
Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
- Contraste z para una media
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Contraste t para una media
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Bilateral al 5%
- rechaza H0 si |z| > 1,96
- Intervalo de confianza
- x̄ ± z·σ/√n
Método
- Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
- Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
- Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
- Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.
Regresión lineal y correlación
- Sumas de cuadrados
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Pendiente
- b = Sxy/Sxx
- Ordenada en el origen
- a = ȳ − b·x̄
- Correlación
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residuo
- e = y − ŷ
2Problemas de práctica
1.Estadística descriptivaMedia
Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 45, 38, 48, 31, 45, 50.
n = 6
s =
2.Estadística descriptivaDifícil
Una magnitud sigue una distribución normal con media 70 y desviación típica 10. ¿Qué proporción P de valores está por encima de 60?
μ = 70σ = 10x = 60
P =
3.ProbabilidadMedia
Se lanza un dado equilibrado 4 veces. ¿Cuál es la probabilidad P de sacar al menos un seis?
n = 4
P =
4.ProbabilidadDifícil
Un examen tiene 6 preguntas de opción múltiple. Una estudiante que contesta al azar acierta cada una con probabilidad 0,2, de forma independiente. ¿Cuál es la probabilidad P de acertar exactamente 1?
n = 6p = 0,2k = 1
P =
5.Distribución normalMedia
X es normal con media 12 min y desviación típica 1,5 min; Y es independiente y normal con media 20 min y desviación típica 2 min. Halla la probabilidad P de que X + Y sea mayor que 34,5 min. Redondea z a dos decimales.
μX = 12, σX = 1,5μY = 20, σY = 2X + Y > 34,5 min
P =
6.Distribución normalDifícil
Supón que los pesos de las bolsas siguen una distribución normal con media 250 g y desviación típica 5 g. Halla el valor x por debajo del cual queda el 25 % de los datos (el percentil 25).
μ = 250σ = 5P = 25%
x = g
7.Intervalos de confianzaMedia
Se compara la duración de la batería de dos modelos de móvil. Modelo 1: 30 móviles, media 114 h, desviación típica conocida 5 h. Modelo 2: 50 móviles, media 106,5 h, desviación típica conocida 17 h. Halla el límite superior del intervalo de confianza del 90 % para μ₁ − μ₂.
n₁ = 30x̄₁ = 114 hσ₁ = 5 hn₂ = 50x̄₂ = 106,5 hσ₂ = 17 h90%
límite superior = h
8.Intervalos de confianzaDifícil
Los diámetros de 20 ejes mecanizados tienen una desviación típica muestral de 2,8 µm. Suponiendo que los diámetros siguen una distribución normal, halla el límite superior σ del intervalo de confianza del 95 % para la desviación típica poblacional. Con gl = 19, el 2,5 % de la distribución χ² queda por debajo de 8,907 y el 2,5 % queda por encima de 32,852.
n = 20s = 2,8 µmχ² = 8,907, 32,852
σ = µm
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia
Una muestra de 64 estudiantes tiene una nota media de 71,7 y una desviación típica muestral de 12. Calcula el estadístico de contraste t para H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 71,7s = 12n = 64
t =
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil
Una muestra de 25 medidas tiene media 98. La desviación típica poblacional es 5. Calcula el límite inferior L del intervalo de confianza del 99 % para la media.
x̄ = 98σ = 5n = 2599%
L =
11.Regresión lineal y correlaciónMedia
La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = gasto en publicidad en miles de € e y = ventas en miles de €. Halla el coeficiente de correlación de Pearson r.
n = 6
r =
12.Regresión lineal y correlaciónDifícil
La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = antigüedad del coche en años e y = precio en miles de €. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. Predice ŷ para x = 4,5.
n = 5x = 4,5
ŷ =
3Disoluciones
1.Estadística descriptiva
Respuesta: s = 7,083
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Media
x̄ = 257/6 = 42,83
Desviaciones al cuadrado
Σ(x − x̄)² = 2,167² + (−4,833)² + 5,167² + (−11,83)² + 2,167² + 7,167² = 250,8
Desviación típica
s = √(250,8/5) = 7,083
Respuesta
s = 7,083
2.Estadística descriptiva
Respuesta: P = 0,8413
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Tipificar
z = −1
Tabla de la normal estándar
Φ(−1) = 0,1587
P = 1 − 0,1587 = 0,8413
Respuesta
P = 0,8413
3.Probabilidad
Respuesta: P = 0,5177
Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Complementario
P(ningún seis) = (5/6)4 = 0,4823
P = 1 − 0,4823 = 0,5177
Respuesta
P = 0,5177
4.Probabilidad
Respuesta: P = 0,3932
Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Fórmula binomial
P(X = 1) = 6·0,21·0,85 = 6·0,2·0,3277 = 0,3932
Respuesta
P = 0,3932
5.Distribución normal
Respuesta: P = 0,1587
Sumas y diferencias de variables normales: si X e Y son independientes y normales, X + Y y X − Y también son normales. Las medias se suman o se restan: E(X ± Y) = μX ± μY. Las varianzas siempre se suman, también en una diferencia: Var(X ± Y) = σX² + σY², así que σ = √(σX² + σY²). Las desviaciones típicas nunca se suman directamente. El total de n elementos independientes con la misma distribución tiene media n·μ y desviación típica σ·√n. Después estandariza como de costumbre: z = (x − media)/σ y lee Φ(z).
Distribución de la suma
μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min
Tipificar
z = (34,5 − 32)/2,5 = 1
Cola superior
P = 1 − Φ(1) = 1 − 0,8413 = 0,1587
Respuesta
P = 0,1587
6.Distribución normal
Respuesta: x = 246,6 g
Distribución normal: convierte un valor x en una puntuación z, z = (x − μ)/σ, que indica a cuántas desviaciones típicas está de la media. Una tabla z (o Φ(z)) da el área a la izquierda de z, que es P(X < x). El área a la derecha es 1 − Φ(z), y el área entre dos valores es la diferencia de sus dos áreas.
z del percentil
Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745
Vuelta a x
x = 250 + −0,6745·5 = 246,63 g
Respuesta
x = 246,63 g
7.Intervalos de confianza
Respuesta: límite superior = 11,73 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estimación puntual
x̄₁ − x̄₂ = 114 − 106,5 = 7,5
Error típico
SE = √(5²/30 + 17²/50) = 2,572
Margen de error
E = 1,645·2,572 = 4,23
Intervalo
7,5 ± 4,23 → [3,27, 11,73]
Respuesta
límite superior = 11,73 h
El intervalo no contiene el 0, así que las medias difieren significativamente.
8.Intervalos de confianza
Respuesta: σ = 4,089 µm
Intervalo para una varianza: (n − 1)s²/σ² sigue una distribución χ² con n − 1 grados de libertad. El intervalo del 95 % para σ² va desde (n − 1)s² dividido entre el valor χ² superior (con el 2,5 % por encima) hasta (n − 1)s² dividido entre el valor χ² inferior (con el 2,5 % por debajo); el intervalo para σ es la raíz cuadrada de ambos límites. No es simétrico respecto a s.
Suma de cuadrados
(n − 1)s² = 19·2,8² = 149
Límites para σ²
149/32,852 = 4,534
149/8,907 = 16,72
Límite para σ
σ = √16,72 = 4,089 µm
Respuesta
σ = 4,089 µm
Intervalo del 95 % para σ: [2,129, 4,089] µm.
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: t = −2,2
Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).
Error típico
SE = 12/√64 = 12/8 = 1,5
Estadístico de contraste
t = (71,7 − 75)/1,5 = −2,2
Respuesta
t = −2,2
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| > 1,998, así que se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: L = 95,42
Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).
Margen de error
E = 2,576·5/√25 = 2,576
Límite del intervalo
L = 98 − 2,576 = 95,42
Respuesta
L = 95,42
11.Regresión lineal y correlación
Respuesta: r = 0,9936
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Medias
x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 413/6 = 68,83
Sumas de cuadrados y de productos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 375
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2035
Coeficiente de correlación
r = 375/√(70·2035) = 0,9936
Respuesta
r = 0,9936
12.Regresión lineal y correlación
Respuesta: ŷ = 18,9
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Medias
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 99/5 = 19,8
Sumas de cuadrados y de productos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −6
Recta de regresión
b = −6/10 = −0,6
a = 19,8 − (−0,6)·3 = 21,6
ŷ = 21,6 − 0,6·x
Predicción
ŷ = 21,6 + (−0,6)·4,5 = 18,9
Respuesta
ŷ = 18,9
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