Estadística descriptiva
- Media
- x̄ = Σx/n
- Desviación típica muestral
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- valor central de los datos ordenados
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Distribución normal
- 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ
Introducción a la estadística: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Probabilidad
- Complementario
- P(not A) = 1 − P(A)
- Regla de la suma
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Sucesos independientes
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Probabilidad condicionada
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribución normal
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Por debajo de x
- P(X < x) = Φ(z)
- Por encima de x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Entre dos valores
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentil
- x = μ + z·σ
Método
- Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
- Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
- Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
- Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.
Intervalos de confianza
- σ conocida
- x̄ ± z·σ/√n
- σ desconocida
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z crítico
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Tamaño muestral
- n = (z·σ/E)², rounded up
Método
- Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
- Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
- Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
- Intervalo: x̄ ± E.
Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
- Contraste z para una media
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Contraste t para una media
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Bilateral al 5%
- rechaza H0 si |z| > 1,96
- Intervalo de confianza
- x̄ ± z·σ/√n
Método
- Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
- Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
- Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
- Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.
Regresión lineal y correlación
- Sumas de cuadrados
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Pendiente
- b = Sxy/Sxx
- Ordenada en el origen
- a = ȳ − b·x̄
- Correlación
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residuo
- e = y − ŷ
2Problemas de práctica
1.Estadística descriptivaMedia
Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 40, 51, 33, 27, 27.
n = 5
s =
2.Estadística descriptivaDifícil
Una magnitud sigue una distribución normal con media 70 y desviación típica 5. ¿Qué proporción P de valores está por encima de 60?
μ = 70σ = 5x = 60
P =
3.ProbabilidadMedia
Para la distribución mostrada, halla la desviación típica σ de X.
x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35
σ =
4.ProbabilidadDifícil
X tiene la distribución mostrada, y Y = 0,5X + 4. Halla la desviación típica σY de Y.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,1, 0,35, 0,25, 0,25, 0,05Y = 0,5X + 4
σY =
5.Distribución normalMedia
Supón que los tiempos de entrega siguen una distribución normal con media 32 min y desviación típica 6 min. ¿Qué fracción está entre 23 y 41,3 min? Da P como número decimal.
μ = 32σ = 6x1 = 23x2 = 41,3
P =
6.Distribución normalDifícil
Para las notas de un examen, la distribución es normal, con media 65 puntos y desviación típica 10 puntos. Arrastra el punto de corte para que el 60 % inferior sombreado quede a su izquierda. Halla el punto de corte x.
μ = 65 puntosσ = 10 puntos60%
x = puntos
7.Intervalos de confianzaMedia
Una muestra de 8 elementos tiene media 54,5 y desviación típica s = 15,5. La población es aproximadamente normal. Calcula el margen de error E de un intervalo de confianza del 90 % para la media.
n = 8x̄ = 54,5s = 15,590%t(7) = 1,895
E =
8.Intervalos de confianzaDifícil
La desviación típica poblacional es 30. ¿Qué tamaño muestral n necesitas para que un intervalo de confianza del 99 % para la media tenga un margen de error de como máximo 2?
σ = 30E = 299%
n =
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia
Una muestra de 81 estudiantes tiene una nota media de 503,5 y una desviación típica muestral de 15. Calcula el estadístico de contraste t para H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 503,5s = 15n = 81
t =
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil
En un ensayo se recuperan 50 de 250 pacientes con el tratamiento A y 68 de 250 pacientes con el tratamiento B. Usando la proporción combinada, halla el estadístico de contraste z para H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 50n₁ = 250x₂ = 68n₂ = 250
z =
11.Regresión lineal y correlaciónMedia
La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = antigüedad del coche en años e y = precio en miles de €. Halla el coeficiente de determinación r² de la recta de mínimos cuadrados.
n = 6
r² =
12.Regresión lineal y correlaciónDifícil
La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = carga en kN e y = alargamiento en mm. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. Se hace una nueva observación (3, 2). Halla su residuo e = y − ŷ.
n = 5(3, 2)
e =
3Disoluciones
1.Estadística descriptiva
Respuesta: s = 10,14
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Media
x̄ = 178/5 = 35,6
Desviaciones al cuadrado
Σ(x − x̄)² = 4,4² + 15,4² + (−2,6)² + (−8,6)² + (−8,6)² = 411,2
Desviación típica
s = √(411,2/4) = 10,14
Respuesta
s = 10,14
2.Estadística descriptiva
Respuesta: P = 0,9772
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Tipificar
z = −2
Tabla de la normal estándar
Φ(−2) = 0,02275
P = 1 − 0,02275 = 0,9772
Respuesta
P = 0,9772
3.Probabilidad
Respuesta: σ = 0,8367
Variables aleatorias discretas: una distribución de probabilidad enumera cada valor x que puede tomar una variable con su probabilidad p(x); las probabilidades están entre 0 y 1 y suman 1. El valor esperado (media) es E(X) = Σx·p(x), el promedio a largo plazo. La varianza es Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², y la desviación típica es σ = √Var(X). Para un cambio lineal Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) y σY = |a|·σX; sumar una constante no cambia la dispersión.
Media
μ = 0·0,35 + 1·0,3 + 2·0,35 = 1
Media de los cuadrados
E(X²) = 0·0,35 + 1·0,3 + 4·0,35 = 1,7
Varianza
Var(X) = 1,7 − 1² = 0,7
σ = √0,7 = 0,8367
Respuesta
σ = 0,8367
4.Probabilidad
Respuesta: σY = 0,5385
Variables aleatorias discretas: una distribución de probabilidad enumera cada valor x que puede tomar una variable con su probabilidad p(x); las probabilidades están entre 0 y 1 y suman 1. El valor esperado (media) es E(X) = Σx·p(x), el promedio a largo plazo. La varianza es Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², y la desviación típica es σ = √Var(X). Para un cambio lineal Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) y σY = |a|·σX; sumar una constante no cambia la dispersión.
Dispersión de X
μ = 2,8, Var(X) = 1,16, σX = 1,077
Cambio lineal
σY = |0,5|·1,077 = 0,5385
Respuesta
σY = 0,5385
La media sí se desplaza: E(Y) = 0,5·2,8 + 4 = 5,4.
5.Distribución normal
Respuesta: P = 0,8726
Distribución normal: convierte un valor x en una puntuación z, z = (x − μ)/σ, que indica a cuántas desviaciones típicas está de la media. Una tabla z (o Φ(z)) da el área a la izquierda de z, que es P(X < x). El área a la derecha es 1 − Φ(z), y el área entre dos valores es la diferencia de sus dos áreas.
Puntuaciones z
z₁ = (23 − 32)/6 = −1,5
z₂ = (41,3 − 32)/6 = 1,55
Área entre ambos valores
P = Φ(1,55) − Φ(−1,5) = 0,9394 − 0,06681 = 0,8726
Respuesta
P = 0,8726
6.Distribución normal
Respuesta: x = 67,5 puntos
De un área de vuelta a z: Φ(z) es el área a la izquierda de z. Para un área A en la cola izquierda, busca en la tabla la z con Φ(z) = A. Un área A en la cola derecha significa Φ(z) = 1 − A. Un área central A entre −z y z deja (1 − A)/2 en cada cola, así que Φ(z) = (1 + A)/2. Para un valor x, usa x = μ + zσ.
Área a la izquierda
Φ(z) = 0,6
z según la tabla
z ≈ 0,25
De vuelta a las unidades originales
x = 65 + 0,25·10 = 67,5 puntos
Respuesta
x = 67,5 puntos
7.Intervalos de confianza
Respuesta: E = 10,38
Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.
Valor crítico
df = n − 1 = 7, t = 1,895
Margen de error
E = 1,895·15,5/√8 = 10,38
Respuesta
E = 10,38
8.Intervalos de confianza
Respuesta: n = 1494
Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.
Despejar n
n = (2,576·30/2)² = 1493
Redondear hacia arriba
El tamaño muestral es un número entero, y redondear hacia abajo haría el margen demasiado grande.
n = 1494
Respuesta
n = 1494
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: t = 2,1
Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).
Error típico
SE = 15/√81 = 15/9 = 1,667
Estadístico de contraste
t = (503,5 − 500)/1,667 = 2,1
Respuesta
t = 2,1
t0,025; df = 80 = 1,99
|t| > 1,99, así que se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: z = −1,896
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Proporciones muestrales
p̂₁ = 50/250 = 0,2
p̂₂ = 68/250 = 0,272
p̂ = 118/500 = 0,236
Error típico bajo H₀
SE = √(0,236·0,764·(1/250 + 1/250)) = 0,03798
Estadístico de contraste
z = (0,2 − 0,272)/0,03798 = −1,896
Respuesta
z = −1,896
|z| < 1.96, así que no se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).
11.Regresión lineal y correlación
Respuesta: r² = 0,9796
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Medias
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 106/6 = 17,67
Sumas de cuadrados y de productos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −40
Syy = Σ(y − ȳ)² = 93,33
Coeficiente de determinación
r² = −40²/(17,5·93,33) = 0,9796
Respuesta
r² = 0,9796
Aproximadamente el 97,96 % de la variación de y queda explicada por la recta.
12.Regresión lineal y correlación
Respuesta: e = −2,7
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Medias
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 49/5 = 9,8
Sumas de cuadrados y de productos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 68
Recta de regresión
b = 68/40 = 1,7
a = 9,8 − 1,7·6 = −0,4
ŷ = −0,4 + 1,7·x
Valor predicho
ŷ = −0,4 + 1,7·3 = 4,7
Residuo
e = 2 − 4,7 = −2,7
Respuesta
e = −2,7
El punto está por debajo de la recta.
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