Estadística descriptiva
- Media
- x̄ = Σx/n
- Desviación típica muestral
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- valor central de los datos ordenados
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Distribución normal
- 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ
Introducción a la estadística: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Probabilidad
- Complementario
- P(not A) = 1 − P(A)
- Regla de la suma
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Sucesos independientes
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Probabilidad condicionada
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribución normal
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Por debajo de x
- P(X < x) = Φ(z)
- Por encima de x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Entre dos valores
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentil
- x = μ + z·σ
Método
- Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
- Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
- Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
- Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.
Intervalos de confianza
- σ conocida
- x̄ ± z·σ/√n
- σ desconocida
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z crítico
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Tamaño muestral
- n = (z·σ/E)², rounded up
Método
- Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
- Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
- Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
- Intervalo: x̄ ± E.
Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
- Contraste z para una media
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Contraste t para una media
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Bilateral al 5%
- rechaza H0 si |z| > 1,96
- Intervalo de confianza
- x̄ ± z·σ/√n
Método
- Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
- Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
- Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
- Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.
Regresión lineal y correlación
- Sumas de cuadrados
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Pendiente
- b = Sxy/Sxx
- Ordenada en el origen
- a = ȳ − b·x̄
- Correlación
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residuo
- e = y − ŷ
2Problemas de práctica
1.Estadística descriptivaMedia
Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 55, 15, 13, 58, 34, 24.
n = 6
s =
2.Estadística descriptivaDifícil
Las notas de un examen siguen una distribución normal con media 100 y desviación típica 5. Calcula la puntuación z z de una nota de 95.
μ = 100σ = 5x = 95
z =
3.ProbabilidadMedia
Para la distribución mostrada, halla la varianza Var(X) de X.
x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35
Var(X) =
4.ProbabilidadDifícil
X tiene la distribución mostrada, y Y = 3X + 20. Halla la desviación típica σY de Y.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,25, 0,35, 0,3, 0,1Y = 3X + 20
σY =
5.Distribución normalMedia
Arrastra z para que el área sombreada bajo la curva normal estándar, a la derecha de z, sea 0,8810. Halla z con dos decimales.
A = 0,8810
z =
6.Distribución normalDifícil
Para las duraciones de las baterías, la distribución es normal, con media 500 h y desviación típica 40 h. Arrastra el punto de corte para que el 15 % superior sombreado quede a su derecha. Halla el punto de corte x.
μ = 500 hσ = 40 h15%
x = h
7.Intervalos de confianzaMedia
Se compara la duración de la batería de dos modelos de móvil. Modelo 1: 50 móviles, media 89 h, desviación típica conocida 12 h. Modelo 2: 40 móviles, media 99,5 h, desviación típica conocida 18 h. Halla el límite inferior del intervalo de confianza del 95 % para μ₁ − μ₂.
n₁ = 50x̄₁ = 89 hσ₁ = 12 hn₂ = 40x̄₂ = 99,5 hσ₂ = 18 h95%
límite inferior = h
8.Intervalos de confianzaDifícil
No se sabe nada de antemano sobre la proporción de productos defectuosos. ¿Cuántos productos n hay que inspeccionar para que un intervalo de confianza del 99 % para la proporción tenga un margen de error de como máximo 0,05?
p = 0,5E = 0,0599%
n =
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia
Se comparan dos métodos de enseñanza. Grupo 1: 5 estudiantes, nota media 85, desviación típica 6. Grupo 2: 17 estudiantes, nota media 80,1, desviación típica 8,5. Supón varianzas poblacionales iguales y usa el contraste t de dos muestras con varianza combinada. Halla el estadístico de contraste t para H₀: μ₁ = μ₂, tomando la diferencia como x̄₁ − x̄₂ (grupo 1 menos grupo 2).
n₁ = 5x̄₁ = 85s₁ = 6n₂ = 17x̄₂ = 80,1s₂ = 8,5
t =
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil
Una muestra de 16 medidas tiene media 123. La desviación típica poblacional es 10. Calcula el límite inferior L del intervalo de confianza del 99 % para la media.
x̄ = 123σ = 10n = 1699%
L =
11.Regresión lineal y correlaciónMedia
La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = antigüedad del coche en años e y = precio en miles de €. Se dan sus sumas. Halla el coeficiente de correlación de Pearson r a partir de estas sumas.
n = 6Σx = 21Σy = 102Σx² = 91Σy² = 1942Σxy = 297
r =
12.Regresión lineal y correlaciónDifícil
La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = temperatura en °C e y = helados vendidos. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. Se hace una nueva observación (24, 77). Halla su residuo e = y − ŷ.
n = 6(24, 77)
e =
3Disoluciones
1.Estadística descriptiva
Respuesta: s = 19,57
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Media
x̄ = 199/6 = 33,17
Desviaciones al cuadrado
Σ(x − x̄)² = 21,83² + (−18,17)² + (−20,17)² + 24,83² + 0,8333² + (−9,167)² = 1915
Desviación típica
s = √(1915/5) = 19,57
Respuesta
s = 19,57
2.Estadística descriptiva
Respuesta: z = −1
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Tipificar
z = (95 − 100)/5 = −1
Respuesta
z = −1
3.Probabilidad
Respuesta: Var(X) = 0,7
Variables aleatorias discretas: una distribución de probabilidad enumera cada valor x que puede tomar una variable con su probabilidad p(x); las probabilidades están entre 0 y 1 y suman 1. El valor esperado (media) es E(X) = Σx·p(x), el promedio a largo plazo. La varianza es Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², y la desviación típica es σ = √Var(X). Para un cambio lineal Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) y σY = |a|·σX; sumar una constante no cambia la dispersión.
Media
μ = 0·0,35 + 1·0,3 + 2·0,35 = 1
Media de los cuadrados
E(X²) = 0·0,35 + 1·0,3 + 4·0,35 = 1,7
Varianza
Var(X) = 1,7 − 1² = 0,7
Respuesta
Var(X) = 0,7
4.Probabilidad
Respuesta: σY = 28,26
Variables aleatorias discretas: una distribución de probabilidad enumera cada valor x que puede tomar una variable con su probabilidad p(x); las probabilidades están entre 0 y 1 y suman 1. El valor esperado (media) es E(X) = Σx·p(x), el promedio a largo plazo. La varianza es Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², y la desviación típica es σ = √Var(X). Para un cambio lineal Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) y σY = |a|·σX; sumar una constante no cambia la dispersión.
Dispersión de X
μ = 22,5, Var(X) = 88,75, σX = 9,421
Cambio lineal
σY = |3|·9,421 = 28,26
Respuesta
σY = 28,26
La media sí se desplaza: E(Y) = 3·22,5 + 20 = 87,5.
5.Distribución normal
Respuesta: z = −1,18
De un área de vuelta a z: Φ(z) es el área a la izquierda de z. Para un área A en la cola izquierda, busca en la tabla la z con Φ(z) = A. Un área A en la cola derecha significa Φ(z) = 1 − A. Un área central A entre −z y z deja (1 − A)/2 en cada cola, así que Φ(z) = (1 + A)/2. Para un valor x, usa x = μ + zσ.
Área a la izquierda de z
Φ(z) = 1 − 0,8810 = 0,1190
Lee la tabla de z al revés
Busca 0,1190 dentro de la tabla y lee z.
z = −1,18
Respuesta
z = −1,18
6.Distribución normal
Respuesta: x = 542 h
De un área de vuelta a z: Φ(z) es el área a la izquierda de z. Para un área A en la cola izquierda, busca en la tabla la z con Φ(z) = A. Un área A en la cola derecha significa Φ(z) = 1 − A. Un área central A entre −z y z deja (1 − A)/2 en cada cola, así que Φ(z) = (1 + A)/2. Para un valor x, usa x = μ + zσ.
Área a la izquierda
Φ(z) = 0,85
z según la tabla
z ≈ 1,04
De vuelta a las unidades originales
x = 500 + 1,04·40 = 542 h
Respuesta
x = 542 h
7.Intervalos de confianza
Respuesta: límite inferior = −16,99 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estimación puntual
x̄₁ − x̄₂ = 89 − 99,5 = −10,5
Error típico
SE = √(12²/50 + 18²/40) = 3,314
Margen de error
E = 1,96·3,314 = 6,495
Intervalo
−10,5 ± 6,495 → [−16,99, −4,005]
Respuesta
límite inferior = −16,99 h
El intervalo no contiene el 0, así que las medias difieren significativamente.
8.Intervalos de confianza
Respuesta: n = 664
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Despejar n
n = 2,576²·0,5·0,5/0,05² = 663,6
Redondear hacia arriba
n = 664
Respuesta
n = 664
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: t = 1,195
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Varianza combinada
sp² = (4·6² + 16·8,5²)/20 = 65
sp = 8,062
Error típico
SE = 8,062·√(1/5 + 1/17) = 4,102
Estadístico de contraste
t = (85 − 80,1)/4,102 = 1,195
Respuesta
t = 1,195
Con gl = 20, el valor crítico bilateral al 5 % es 2,086; |t| es menor, así que no se rechaza H₀.
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: L = 116,6
Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).
Margen de error
E = 2,576·10/√16 = 6,44
Límite del intervalo
L = 123 − 6,44 = 116,6
Respuesta
L = 116,6
11.Regresión lineal y correlación
Respuesta: r = −0,9945
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Sumas centradas
Sxy = 297 − 21·102/6 = −60
Sxx = 91 − 21²/6 = 17,5
Syy = 1942 − 102²/6 = 208
Coeficiente de correlación
r = −60/√(17,5·208) = −0,9945
Respuesta
r = −0,9945
12.Regresión lineal y correlación
Respuesta: e = 4,876
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Medias
x̄ = 132/6 = 22
ȳ = 394/6 = 65,67
Sumas de cuadrados y de productos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 226
Recta de regresión
b = 226/70 = 3,229
a = 65,67 − 3,229·22 = −5,362
ŷ = −5,362 + 3,229·x
Valor predicho
ŷ = −5,362 + 3,229·24 = 72,12
Residuo
e = 77 − 72,12 = 4,876
Respuesta
e = 4,876
El punto está por encima de la recta.
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