Introducción a la estadística: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Estadística descriptiva

Media: x̄ = Σx/n
Desviación típica muestral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor central de los datos ordenados
Puntuación z: z = (x − μ)/σ
Distribución normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidad

Complementario: P(not A) = 1 − P(A)
Regla de la suma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Sucesos independientes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidad condicionada: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribución normal

Puntuación z: z = (x − μ)/σ
Por debajo de x: P(X < x) = Φ(z)
Por encima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre dos valores: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.

Intervalos de confianza

σ conocida: x̄ ± z·σ/√n
σ desconocida: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamaño muestral: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Contraste z para una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Contraste t para una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral al 5%: rechaza H₀ si |z| > 1,96
Intervalo de confianza: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.

Regresión lineal y correlación

Sumas de cuadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendiente: b = S_xy/S_xx
Ordenada en el origen: a = ȳ − b·x̄
Correlación: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Problemas de práctica

1.Estadística descriptivaMedia

Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 51, 59, 31, 58, 10, 26.

n = 6

s =

2.Estadística descriptivaDifícil

Una magnitud sigue una distribución normal con media 500 y desviación típica 50. ¿Qué proporción P de valores está por encima de 600?

μ = 500σ = 50x = 600

P =

3.ProbabilidadMedia

Se lanza un dado equilibrado 5 veces. ¿Cuál es la probabilidad P de sacar al menos un seis?

n = 5

P =

4.ProbabilidadDifícil

Un examen tiene 11 preguntas de opción múltiple. Una estudiante que contesta al azar acierta cada una con probabilidad 0,25, de forma independiente. ¿Cuál es la probabilidad P de acertar exactamente 2?

n = 11p = 0,25k = 2

P =

5.Distribución normalMedia

Supón que los tiempos de entrega siguen una distribución normal con media 32 min y desviación típica 6 min. ¿Qué fracción está entre 26 y 33,5 min? Da P como número decimal.

μ = 32σ = 6x₁ = 26x₂ = 33,5

P =

6.Distribución normalDifícil

Supón que los pesos de las bolsas siguen una distribución normal con media 250 g y desviación típica 5 g. Halla el valor x por debajo del cual queda el 90 % de los datos (el percentil 90).

μ = 250σ = 5P = 90%

x = g

7.Intervalos de confianzaMedia

Un intervalo de confianza del 99 % para una media, basado en 50 observaciones y una σ conocida, tiene un margen de error de 9,9. ¿Cuál es el margen de error E₂ de un intervalo del 95 % con los mismos datos?

99%n₁ = 50E₁ = 9,995%

E₂ =

8.Intervalos de confianzaDifícil

La desviación típica poblacional es 7. ¿Qué tamaño muestral n necesitas para que un intervalo de confianza del 90 % para la media tenga un margen de error de como máximo 0,5?

σ = 7E = 0,590%

n =

9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia

Una muestra de 64 estudiantes tiene una nota media de 197,4 y una desviación típica muestral de 15. Calcula el estadístico de contraste t para H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 197,4s = 15n = 64

t =

10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil

Un contraste z unilateral con α = 0,01 debe detectar un desplazamiento de la media de 2,5 unidades con una potencia del 95 %. La desviación típica es 5. Halla el tamaño muestral mínimo n.

α = 0,01potencia = 95%δ = 2,5σ = 5z_α = 2,326z_β = 1,645

n =

11.Regresión lineal y correlaciónMedia

La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = carga en kN e y = alargamiento en mm. Halla el coeficiente de correlación de Pearson r.

n = 6

r =

12.Regresión lineal y correlaciónDifícil

La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = carga en kN e y = alargamiento en mm. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. ¿Para qué valor x predice la recta ŷ = 14?

n = 6ŷ = 14

x =

3Disoluciones

1.Estadística descriptiva

Respuesta: s = 19,89

Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.

Media

x̄ = 235/6 = 39,17

Desviaciones al cuadrado

Σ(x − x̄)² = 11,83² + 19,83² + (−8,167)² + 18,83² + (−29,17)² + (−13,17)² = 1979

Desviación típica

s = √(1979/5) = 19,89

Respuesta

s = 19,89

2.Estadística descriptiva

Respuesta: P = 0,02275

Tipificar

z = 2

Tabla de la normal estándar

Φ(2) = 0,9772

P = 1 − 0,9772 = 0,02275

Respuesta

P = 0,02275

3.Probabilidad

Respuesta: P = 0,5981

Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Complementario

P(ningún seis) = (5/6)⁵ = 0,4019

P = 1 − 0,4019 = 0,5981

Respuesta

P = 0,5981

4.Probabilidad

Respuesta: P = 0,2581

Fórmula binomial

P(X = 2) = 55·0,25²·0,75⁹ = 55·0,0625·0,07508 = 0,2581

Respuesta

P = 0,2581

5.Distribución normal

Respuesta: P = 0,4401

Distribución normal: convierte un valor x en una puntuación z, z = (x − μ)/σ, que indica a cuántas desviaciones típicas está de la media. Una tabla z (o Φ(z)) da el área a la izquierda de z, que es P(X < x). El área a la derecha es 1 − Φ(z), y el área entre dos valores es la diferencia de sus dos áreas.

Puntuaciones z

z₁ = (26 − 32)/6 = −1

z₂ = (33,5 − 32)/6 = 0,25

Área entre ambos valores

P = Φ(0,25) − Φ(−1) = 0,5987 − 0,1587 = 0,4401

Respuesta

P = 0,4401

6.Distribución normal

Respuesta: x = 256,4 g

z del percentil

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

Vuelta a x

x = 250 + 1,282·5 = 256,41 g

Respuesta

x = 256,41 g

7.Intervalos de confianza

Respuesta: E₂ = 7,533

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Relación de márgenes

E₂/E₁ = (1,96/2,576)·√(50/50) = 0,7609

Nuevo margen

E₂ = 9,9·0,7609 = 7,533

Respuesta

E₂ = 7,533

8.Intervalos de confianza

Respuesta: n = 531

Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.

Despejar n

n = (1,645·7/0,5)² = 530,4

Redondear hacia arriba

El tamaño muestral es un número entero, y redondear hacia abajo haría el margen demasiado grande.

n = 531

Respuesta

n = 531

9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Respuesta: t = −1,387

Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).

Error típico

SE = 15/√64 = 15/8 = 1,875

Estadístico de contraste

t = (197,4 − 200)/1,875 = −1,387

Respuesta

t = −1,387

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| < 1.998, así que no se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).

10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Respuesta: n = 64

Tamaño muestral para un contraste: para detectar un desplazamiento real δ con potencia 1 − β en un contraste z unilateral de nivel α, el error típico debe cumplir δ = (z_α + z_β)·σ/√n, así que n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², redondeado hacia arriba.

Despejar n

n = ((2,326 + 1,645)·5/2,5)² = 63,08

Redondear hacia arriba

n = 64

Respuesta

n = 64

11.Regresión lineal y correlación

Respuesta: r = 0,9936

Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.

Medias

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 149/6 = 24,83

Sumas de cuadrados y de productos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 247

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 882,8

Coeficiente de correlación

r = 247/√(70·882,8) = 0,9936

Respuesta

r = 0,9936

12.Regresión lineal y correlación

Respuesta: x = 3,07

Medias

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 147/6 = 24,5

Sumas de cuadrados y de productos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 187

Recta de regresión

b = 187/70 = 2,671

a = 24,5 − 2,671·7 = 5,8

ŷ = 5,8 + 2,671·x

Despeja x

x = (14 − 5,8)/2,671 = 3,07

Respuesta

x = 3,07

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