Estadística descriptiva
- Media
- x̄ = Σx/n
- Desviación típica muestral
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- valor central de los datos ordenados
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Distribución normal
- 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ
Introducción a la estadística: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Probabilidad
- Complementario
- P(not A) = 1 − P(A)
- Regla de la suma
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Sucesos independientes
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Probabilidad condicionada
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribución normal
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Por debajo de x
- P(X < x) = Φ(z)
- Por encima de x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Entre dos valores
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentil
- x = μ + z·σ
Método
- Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
- Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
- Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
- Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.
Intervalos de confianza
- σ conocida
- x̄ ± z·σ/√n
- σ desconocida
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z crítico
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Tamaño muestral
- n = (z·σ/E)², rounded up
Método
- Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
- Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
- Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
- Intervalo: x̄ ± E.
Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
- Contraste z para una media
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Contraste t para una media
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Bilateral al 5%
- rechaza H0 si |z| > 1,96
- Intervalo de confianza
- x̄ ± z·σ/√n
Método
- Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
- Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
- Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
- Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.
Regresión lineal y correlación
- Sumas de cuadrados
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Pendiente
- b = Sxy/Sxx
- Ordenada en el origen
- a = ȳ − b·x̄
- Correlación
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residuo
- e = y − ŷ
2Problemas de práctica
1.Estadística descriptivaMedia
Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 27, 26, 43, 18, 37, 55.
n = 6
s =
2.Estadística descriptivaDifícil
Las notas de un examen siguen una distribución normal con media 50 y desviación típica 15. Calcula la puntuación z z de una nota de 32.
μ = 50σ = 15x = 32
z =
3.ProbabilidadMedia
Para la distribución mostrada, halla la varianza Var(X) de X.
x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35
Var(X) =
4.ProbabilidadDifícil
X tiene la distribución mostrada, y Y = 10X + 20. Halla la desviación típica σY de Y.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,2, 0,15, 0,3Y = 10X + 20
σY =
5.Distribución normalMedia
Arrastra z para que el área sombreada entre −z y z bajo la curva normal estándar sea 0,3688. Halla z con dos decimales.
A = 0,3688
z =
6.Distribución normalDifícil
Supón que las duraciones de las baterías siguen una distribución normal con media 500 h y desviación típica 40 h. Halla el valor x por debajo del cual queda el 20 % de los datos (el percentil 20).
μ = 500σ = 40P = 20%
x = h
7.Intervalos de confianzaMedia
Un intervalo de confianza del 99 % para una media, basado en 100 observaciones y una σ conocida, tiene un margen de error de 1. ¿Cuál es el margen de error E₂ de un intervalo del 90 % con los mismos datos?
99%n₁ = 100E₁ = 190%
E₂ =
8.Intervalos de confianzaDifícil
La desviación típica poblacional es 38. ¿Qué tamaño muestral n necesitas para que un intervalo de confianza del 99 % para la media tenga un margen de error de como máximo 1,5?
σ = 38E = 1,599%
n =
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia
Una muestra de 64 estudiantes tiene una nota media de 498,4 y una desviación típica muestral de 4. Calcula el estadístico de contraste t para H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 498,4s = 4n = 64
t =
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil
¿Qué tamaño debe tener una muestra para que el intervalo de confianza del 90 % para una media tenga un margen de error de como mucho 1? La desviación típica es 8. Calcula el menor tamaño muestral n.
σ = 8E = 190%
n =
11.Regresión lineal y correlaciónMedia
La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = temperatura en °C e y = helados vendidos. Halla el coeficiente de correlación de Pearson r.
n = 5
r =
12.Regresión lineal y correlaciónDifícil
La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = antigüedad del coche en años e y = precio en miles de €. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. Se hace una nueva observación (3,5, 24). Halla su residuo e = y − ŷ.
n = 5(3,5, 24)
e =
3Disoluciones
1.Estadística descriptiva
Respuesta: s = 13,41
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Media
x̄ = 206/6 = 34,33
Desviaciones al cuadrado
Σ(x − x̄)² = (−7,333)² + (−8,333)² + 8,667² + (−16,33)² + 2,667² + 20,67² = 899,3
Desviación típica
s = √(899,3/5) = 13,41
Respuesta
s = 13,41
2.Estadística descriptiva
Respuesta: z = −1,2
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Tipificar
z = (32 − 50)/15 = −1,2
Respuesta
z = −1,2
3.Probabilidad
Respuesta: Var(X) = 0,6475
Variables aleatorias discretas: una distribución de probabilidad enumera cada valor x que puede tomar una variable con su probabilidad p(x); las probabilidades están entre 0 y 1 y suman 1. El valor esperado (media) es E(X) = Σx·p(x), el promedio a largo plazo. La varianza es Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², y la desviación típica es σ = √Var(X). Para un cambio lineal Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) y σY = |a|·σX; sumar una constante no cambia la dispersión.
Media
μ = 0·0,3 + 1·0,35 + 2·0,35 = 1,05
Media de los cuadrados
E(X²) = 0·0,3 + 1·0,35 + 4·0,35 = 1,75
Varianza
Var(X) = 1,75 − 1,05² = 0,6475
Respuesta
Var(X) = 0,6475
4.Probabilidad
Respuesta: σY = 12,41
Variables aleatorias discretas: una distribución de probabilidad enumera cada valor x que puede tomar una variable con su probabilidad p(x); las probabilidades están entre 0 y 1 y suman 1. El valor esperado (media) es E(X) = Σx·p(x), el promedio a largo plazo. La varianza es Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², y la desviación típica es σ = √Var(X). Para un cambio lineal Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) y σY = |a|·σX; sumar una constante no cambia la dispersión.
Dispersión de X
μ = 2,4, Var(X) = 1,54, σX = 1,241
Cambio lineal
σY = |10|·1,241 = 12,41
Respuesta
σY = 12,41
La media sí se desplaza: E(Y) = 10·2,4 + 20 = 44.
5.Distribución normal
Respuesta: z = 0,48
De un área de vuelta a z: Φ(z) es el área a la izquierda de z. Para un área A en la cola izquierda, busca en la tabla la z con Φ(z) = A. Un área A en la cola derecha significa Φ(z) = 1 − A. Un área central A entre −z y z deja (1 − A)/2 en cada cola, así que Φ(z) = (1 + A)/2. Para un valor x, usa x = μ + zσ.
Área a la izquierda de z
Φ(z) = (1 + 0,3688)/2 = 0,6844
Lee la tabla de z al revés
Busca 0,6844 dentro de la tabla y lee z.
z = 0,48
Respuesta
z = 0,48
6.Distribución normal
Respuesta: x = 466,3 h
Distribución normal: convierte un valor x en una puntuación z, z = (x − μ)/σ, que indica a cuántas desviaciones típicas está de la media. Una tabla z (o Φ(z)) da el área a la izquierda de z, que es P(X < x). El área a la derecha es 1 − Φ(z), y el área entre dos valores es la diferencia de sus dos áreas.
z del percentil
Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416
Vuelta a x
x = 500 + −0,8416·40 = 466,34 h
Respuesta
x = 466,34 h
7.Intervalos de confianza
Respuesta: E₂ = 0,6386
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Relación de márgenes
E₂/E₁ = (1,645/2,576)·√(100/100) = 0,6386
Nuevo margen
E₂ = 1·0,6386 = 0,6386
Respuesta
E₂ = 0,6386
8.Intervalos de confianza
Respuesta: n = 4259
Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.
Despejar n
n = (2,576·38/1,5)² = 4259
Redondear hacia arriba
El tamaño muestral es un número entero, y redondear hacia abajo haría el margen demasiado grande.
n = 4259
Respuesta
n = 4259
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: t = −3,2
Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).
Error típico
SE = 4/√64 = 4/8 = 0,5
Estadístico de contraste
t = (498,4 − 500)/0,5 = −3,2
Respuesta
t = −3,2
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| > 1,998, así que se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: n = 174
Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).
Despejar n
n = (1,645·8/1)² = 173,2
Redondear hacia arriba
n = 174
Respuesta
n = 174
11.Regresión lineal y correlación
Respuesta: r = 0,9815
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Medias
x̄ = 100/5 = 20
ȳ = 405/5 = 81
Sumas de cuadrados y de productos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 164
Syy = Σ(y − ȳ)² = 698
Coeficiente de correlación
r = 164/√(40·698) = 0,9815
Respuesta
r = 0,9815
12.Regresión lineal y correlación
Respuesta: e = 4,6
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Medias
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 104/5 = 20,8
Sumas de cuadrados y de productos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −28
Recta de regresión
b = −28/10 = −2,8
a = 20,8 − (−2,8)·3 = 29,2
ŷ = 29,2 − 2,8·x
Valor predicho
ŷ = 29,2 + (−2,8)·3,5 = 19,4
Residuo
e = 24 − 19,4 = 4,6
Respuesta
e = 4,6
El punto está por encima de la recta.
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