Estadística descriptiva
- Media
- x̄ = Σx/n
- Desviación típica muestral
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- valor central de los datos ordenados
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Distribución normal
- 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ
Introducción a la estadística: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Probabilidad
- Complementario
- P(not A) = 1 − P(A)
- Regla de la suma
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Sucesos independientes
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Probabilidad condicionada
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribución normal
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Por debajo de x
- P(X < x) = Φ(z)
- Por encima de x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Entre dos valores
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentil
- x = μ + z·σ
Método
- Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
- Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
- Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
- Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.
Intervalos de confianza
- σ conocida
- x̄ ± z·σ/√n
- σ desconocida
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z crítico
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Tamaño muestral
- n = (z·σ/E)², rounded up
Método
- Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
- Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
- Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
- Intervalo: x̄ ± E.
Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
- Contraste z para una media
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Contraste t para una media
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Bilateral al 5%
- rechaza H0 si |z| > 1,96
- Intervalo de confianza
- x̄ ± z·σ/√n
Método
- Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
- Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
- Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
- Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.
Regresión lineal y correlación
- Sumas de cuadrados
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Pendiente
- b = Sxy/Sxx
- Ordenada en el origen
- a = ȳ − b·x̄
- Correlación
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residuo
- e = y − ŷ
2Problemas de práctica
1.Estadística descriptivaMedia
Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 46, 25, 56, 45, 29.
n = 5
s =
2.Estadística descriptivaDifícil
Una magnitud sigue una distribución normal con media 60 y desviación típica 12. ¿Qué proporción P de valores está por encima de 78?
μ = 60σ = 12x = 78
P =
3.ProbabilidadMedia
Para la distribución mostrada, halla la desviación típica σ de X.
x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35
σ =
4.ProbabilidadDifícil
X tiene la distribución mostrada, y Y = 10X − 3. Halla la desviación típica σY de Y.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,35, 0,3, 0,05, 0,3Y = 10X − 3
σY =
5.Distribución normalMedia
Arrastra z para que el área sombreada entre −z y z bajo la curva normal estándar sea 0,6319. Halla z con dos decimales.
A = 0,6319
z =
6.Distribución normalDifícil
Supón que los tiempos de entrega siguen una distribución normal con media 32 min y desviación típica 6 min. Halla el valor x por debajo del cual queda el 95 % de los datos (el percentil 95).
μ = 32σ = 6P = 95%
x = min
7.Intervalos de confianzaMedia
Una muestra de 6 elementos tiene media 75,5 y desviación típica s = 17,5. La población es aproximadamente normal. Calcula el límite superior del intervalo de confianza del 99 % para la media.
n = 6x̄ = 75,5s = 17,599%t(5) = 4,032
límite superior =
8.Intervalos de confianzaDifícil
Un estudio piloto indica que aproximadamente 0,15 de los productos son defectuosos. ¿Cuántos productos n hay que inspeccionar para que un intervalo de confianza del 95 % para la proporción tenga un margen de error de como máximo 0,025?
p ≈ 0,15E = 0,02595%
n =
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia
Una muestra de 25 estudiantes tiene una nota media de 52,8 y una desviación típica muestral de 20. Calcula el estadístico de contraste t para H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 52,8s = 20n = 25
t =
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil
Un contraste z unilateral con α = 0,01 debe detectar un desplazamiento de la media de 4 unidades con una potencia del 80 %. La desviación típica es 12. Halla el tamaño muestral mínimo n.
α = 0,01potencia = 80%δ = 4σ = 12zα = 2,326zβ = 0,842
n =
11.Regresión lineal y correlaciónMedia
La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = antigüedad del coche en años e y = precio en miles de €. Se dan sus sumas. Halla el coeficiente de correlación de Pearson r a partir de estas sumas.
n = 6Σx = 21Σy = 121Σx² = 91Σy² = 2491Σxy = 395
r =
12.Regresión lineal y correlaciónDifícil
La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = temperatura en °C e y = helados vendidos. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. Predice ŷ para x = 16,5.
n = 6x = 16,5
ŷ =
3Disoluciones
1.Estadística descriptiva
Respuesta: s = 12,87
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Media
x̄ = 201/5 = 40,2
Desviaciones al cuadrado
Σ(x − x̄)² = 5,8² + (−15,2)² + 15,8² + 4,8² + (−11,2)² = 662,8
Desviación típica
s = √(662,8/4) = 12,87
Respuesta
s = 12,87
2.Estadística descriptiva
Respuesta: P = 0,06681
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Tipificar
z = 1,5
Tabla de la normal estándar
Φ(1,5) = 0,9332
P = 1 − 0,9332 = 0,06681
Respuesta
P = 0,06681
3.Probabilidad
Respuesta: σ = 0,8367
Variables aleatorias discretas: una distribución de probabilidad enumera cada valor x que puede tomar una variable con su probabilidad p(x); las probabilidades están entre 0 y 1 y suman 1. El valor esperado (media) es E(X) = Σx·p(x), el promedio a largo plazo. La varianza es Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², y la desviación típica es σ = √Var(X). Para un cambio lineal Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) y σY = |a|·σX; sumar una constante no cambia la dispersión.
Media
μ = 0·0,35 + 1·0,3 + 2·0,35 = 1
Media de los cuadrados
E(X²) = 0·0,35 + 1·0,3 + 4·0,35 = 1,7
Varianza
Var(X) = 1,7 − 1² = 0,7
σ = √0,7 = 0,8367
Respuesta
σ = 0,8367
4.Probabilidad
Respuesta: σY = 12,29
Variables aleatorias discretas: una distribución de probabilidad enumera cada valor x que puede tomar una variable con su probabilidad p(x); las probabilidades están entre 0 y 1 y suman 1. El valor esperado (media) es E(X) = Σx·p(x), el promedio a largo plazo. La varianza es Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², y la desviación típica es σ = √Var(X). Para un cambio lineal Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) y σY = |a|·σX; sumar una constante no cambia la dispersión.
Dispersión de X
μ = 1,3, Var(X) = 1,51, σX = 1,229
Cambio lineal
σY = |10|·1,229 = 12,29
Respuesta
σY = 12,29
La media sí se desplaza: E(Y) = 10·1,3 − 3 = 10.
5.Distribución normal
Respuesta: z = 0,9
De un área de vuelta a z: Φ(z) es el área a la izquierda de z. Para un área A en la cola izquierda, busca en la tabla la z con Φ(z) = A. Un área A en la cola derecha significa Φ(z) = 1 − A. Un área central A entre −z y z deja (1 − A)/2 en cada cola, así que Φ(z) = (1 + A)/2. Para un valor x, usa x = μ + zσ.
Área a la izquierda de z
Φ(z) = (1 + 0,6319)/2 = 0,8159
Lee la tabla de z al revés
Busca 0,8159 dentro de la tabla y lee z.
z = 0,90
Respuesta
z = 0,90
6.Distribución normal
Respuesta: x = 41,87 min
Distribución normal: convierte un valor x en una puntuación z, z = (x − μ)/σ, que indica a cuántas desviaciones típicas está de la media. Una tabla z (o Φ(z)) da el área a la izquierda de z, que es P(X < x). El área a la derecha es 1 − Φ(z), y el área entre dos valores es la diferencia de sus dos áreas.
z del percentil
Φ(z) = 0,95 → z = 1,645
Vuelta a x
x = 32 + 1,645·6 = 41,87 min
Respuesta
x = 41,87 min
7.Intervalos de confianza
Respuesta: límite superior = 104,3
Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.
Valor crítico
df = n − 1 = 5, t = 4,032
Margen de error
E = 4,032·17,5/√6 = 28,81
Intervalo
75,5 ± 28,81 → [46,69, 104,3]
Respuesta
límite superior = 104,3
8.Intervalos de confianza
Respuesta: n = 784
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Despejar n
n = 1,96²·0,15·0,85/0,025² = 783,7
Redondear hacia arriba
n = 784
Respuesta
n = 784
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: t = 0,7
Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).
Error típico
SE = 20/√25 = 20/5 = 4
Estadístico de contraste
t = (52,8 − 50)/4 = 0,7
Respuesta
t = 0,7
t0,025; df = 24 = 2,064
|t| < 2.064, así que no se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: n = 91
Tamaño muestral para un contraste: para detectar un desplazamiento real δ con potencia 1 − β en un contraste z unilateral de nivel α, el error típico debe cumplir δ = (z_α + z_β)·σ/√n, así que n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², redondeado hacia arriba.
Despejar n
n = ((2,326 + 0,842)·12/4)² = 90,33
Redondear hacia arriba
n = 91
Respuesta
n = 91
11.Regresión lineal y correlación
Respuesta: r = −0,9555
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Sumas centradas
Sxy = 395 − 21·121/6 = −28,5
Sxx = 91 − 21²/6 = 17,5
Syy = 2491 − 121²/6 = 50,83
Coeficiente de correlación
r = −28,5/√(17,5·50,83) = −0,9555
Respuesta
r = −0,9555
12.Regresión lineal y correlación
Respuesta: ŷ = 83,44
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Medias
x̄ = 135/6 = 22,5
ȳ = 718/6 = 119,7
Sumas de cuadrados y de productos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 951
Recta de regresión
b = 951/157,5 = 6,038
a = 119,7 − 6,038·22,5 = −16,19
ŷ = −16,19 + 6,038·x
Predicción
ŷ = −16,19 + 6,038·16,5 = 83,44
Respuesta
ŷ = 83,44
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