Estadística descriptiva
- Media
- x̄ = Σx/n
- Desviación típica muestral
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- valor central de los datos ordenados
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Distribución normal
- 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ
Introducción a la estadística: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Probabilidad
- Complementario
- P(not A) = 1 − P(A)
- Regla de la suma
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Sucesos independientes
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Probabilidad condicionada
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribución normal
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Por debajo de x
- P(X < x) = Φ(z)
- Por encima de x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Entre dos valores
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentil
- x = μ + z·σ
Método
- Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
- Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
- Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
- Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.
Intervalos de confianza
- σ conocida
- x̄ ± z·σ/√n
- σ desconocida
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z crítico
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Tamaño muestral
- n = (z·σ/E)², rounded up
Método
- Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
- Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
- Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
- Intervalo: x̄ ± E.
Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
- Contraste z para una media
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Contraste t para una media
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Bilateral al 5%
- rechaza H0 si |z| > 1,96
- Intervalo de confianza
- x̄ ± z·σ/√n
Método
- Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
- Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
- Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
- Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.
Regresión lineal y correlación
- Sumas de cuadrados
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Pendiente
- b = Sxy/Sxx
- Ordenada en el origen
- a = ȳ − b·x̄
- Correlación
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residuo
- e = y − ŷ
2Problemas de práctica
1.Estadística descriptivaMedia
Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 32, 34, 45, 54, 53, 59, 50.
n = 7
s =
2.Estadística descriptivaDifícil
Una magnitud sigue una distribución normal con media 500 y desviación típica 25. ¿Qué proporción P de valores está por encima de 510?
μ = 500σ = 25x = 510
P =
3.ProbabilidadMedia
¿De cuántas formas N se puede elegir un comité de 3 personas entre un grupo de 7? El orden no importa.
n = 7k = 3
N =
4.ProbabilidadDifícil
Se prueban 10 componentes y cada uno falla con probabilidad 0,1, de forma independiente. ¿Cuál es la probabilidad P de que falle como mucho uno?
n = 10p = 0,1
P =
5.Distribución normalMedia
Supón que los pesos de las bolsas siguen una distribución normal con media 250 g y desviación típica 5 g. ¿Qué fracción está entre 242,25 y 254 g? Da P como número decimal.
μ = 250σ = 5x1 = 242,25x2 = 254
P =
6.Distribución normalDifícil
Supón que los tiempos de entrega siguen una distribución normal con media 32 min y desviación típica 6 min. Halla el valor x por debajo del cual queda el 10 % de los datos (el percentil 10).
μ = 32σ = 6P = 10%
x = min
7.Intervalos de confianzaMedia
Se compara la duración de la batería de dos modelos de móvil. Modelo 1: 40 móviles, media 142 h, desviación típica conocida 10 h. Modelo 2: 80 móviles, media 134,5 h, desviación típica conocida 12 h. Halla el margen de error E del intervalo de confianza del 95 % para μ₁ − μ₂.
n₁ = 40x̄₁ = 142 hσ₁ = 10 hn₂ = 80x̄₂ = 134,5 hσ₂ = 12 h95%
E = h
8.Intervalos de confianzaDifícil
Se prueban dos fertilizantes. Grupo de parcelas 1: 11 parcelas, rendimiento medio 46 kg, desviación típica 7 kg. Grupo de parcelas 2: 5 parcelas, media 41 kg, desviación típica 2,5 kg. Supón varianzas iguales (t con varianza combinada, gl = n₁ + n₂ − 2). Halla el límite inferior del intervalo de confianza del 90 % para μ₁ − μ₂.
n₁ = 11x̄₁ = 46s₁ = 7n₂ = 5x̄₂ = 41s₂ = 2,590%t(14) = 1,761
límite inferior = kg
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia
Una muestra de 100 estudiantes tiene una nota media de 77,88 y una desviación típica muestral de 12. Calcula el estadístico de contraste t para H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 77,88s = 12n = 100
t =
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil
¿Qué tamaño debe tener una muestra para que el intervalo de confianza del 99 % para una media tenga un margen de error de como mucho 0,5? La desviación típica es 12. Calcula el menor tamaño muestral n.
σ = 12E = 0,599%
n =
11.Regresión lineal y correlaciónMedia
La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = horas de estudio e y = nota del examen. Halla el coeficiente de determinación r² de la recta de mínimos cuadrados.
n = 5
r² =
12.Regresión lineal y correlaciónDifícil
La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = horas de estudio e y = nota del examen. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. Se hace una nueva observación (3, 59). Halla su residuo e = y − ŷ.
n = 6(3, 59)
e =
3Disoluciones
1.Estadística descriptiva
Respuesta: s = 10,29
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Media
x̄ = 327/7 = 46,71
Desviaciones al cuadrado
Σ(x − x̄)² = (−14,71)² + (−12,71)² + (−1,714)² + 7,286² + 6,286² + 12,29² + 3,286² = 635,4
Desviación típica
s = √(635,4/6) = 10,29
Respuesta
s = 10,29
2.Estadística descriptiva
Respuesta: P = 0,3446
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Tipificar
z = 0,4
Tabla de la normal estándar
Φ(0,4) = 0,6554
P = 1 − 0,6554 = 0,3446
Respuesta
P = 0,3446
3.Probabilidad
Respuesta: N = 35
Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Combinaciones
C(7, 3) = (7·6·5)/(3·2·1) = 35
Respuesta
N = 35
4.Probabilidad
Respuesta: P = 0,7361
Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Cero y un fallo
P(X = 0) = 0,910 = 0,3487
P(X = 1) = 10·0,1·0,99 = 0,3874
Súmalas
P = 0,3487 + 0,3874 = 0,7361
Respuesta
P = 0,7361
5.Distribución normal
Respuesta: P = 0,7276
Distribución normal: convierte un valor x en una puntuación z, z = (x − μ)/σ, que indica a cuántas desviaciones típicas está de la media. Una tabla z (o Φ(z)) da el área a la izquierda de z, que es P(X < x). El área a la derecha es 1 − Φ(z), y el área entre dos valores es la diferencia de sus dos áreas.
Puntuaciones z
z₁ = (242,25 − 250)/5 = −1,55
z₂ = (254 − 250)/5 = 0,8
Área entre ambos valores
P = Φ(0,8) − Φ(−1,55) = 0,7881 − 0,06057 = 0,7276
Respuesta
P = 0,7276
6.Distribución normal
Respuesta: x = 24,31 min
Distribución normal: convierte un valor x en una puntuación z, z = (x − μ)/σ, que indica a cuántas desviaciones típicas está de la media. Una tabla z (o Φ(z)) da el área a la izquierda de z, que es P(X < x). El área a la derecha es 1 − Φ(z), y el área entre dos valores es la diferencia de sus dos áreas.
z del percentil
Φ(z) = 0,1 → z = −1,282
Vuelta a x
x = 32 + −1,282·6 = 24,31 min
Respuesta
x = 24,31 min
7.Intervalos de confianza
Respuesta: E = 4,064 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estimación puntual
x̄₁ − x̄₂ = 142 − 134,5 = 7,5
Error típico
SE = √(10²/40 + 12²/80) = 2,074
Margen de error
E = 1,96·2,074 = 4,064
Respuesta
E = 4,064 h
El intervalo no contiene el 0, así que las medias difieren significativamente.
8.Intervalos de confianza
Respuesta: límite inferior = −0,7607 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Desviación típica combinada
sp² = (10·7² + 4·2,5²)/14 = 36,79
sp = 6,065
Margen de error
E = 1,761·6,065·√(1/11 + 1/5) = 5,761
Intervalo
5 ± 5,761 → [−0,7607, 10,76]
Respuesta
límite inferior = −0,7607 kg
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: t = 2,4
Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).
Error típico
SE = 12/√100 = 12/10 = 1,2
Estadístico de contraste
t = (77,88 − 75)/1,2 = 2,4
Respuesta
t = 2,4
t0,025; df = 99 = 1,984
|t| > 1,984, así que se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: n = 3823
Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).
Despejar n
n = (2,576·12/0,5)² = 3822
Redondear hacia arriba
n = 3823
Respuesta
n = 3823
11.Regresión lineal y correlación
Respuesta: r² = 0,9734
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Medias
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 363/5 = 72,6
Sumas de cuadrados y de productos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 256
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1683
Coeficiente de determinación
r² = 256²/(40·1683) = 0,9734
Respuesta
r² = 0,9734
Aproximadamente el 97,34 % de la variación de y queda explicada por la recta.
12.Regresión lineal y correlación
Respuesta: e = 2,876
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Medias
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 430/6 = 71,67
Sumas de cuadrados y de productos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 272
Recta de regresión
b = 272/70 = 3,886
a = 71,67 − 3,886·7 = 44,47
ŷ = 44,47 + 3,886·x
Valor predicho
ŷ = 44,47 + 3,886·3 = 56,12
Residuo
e = 59 − 56,12 = 2,876
Respuesta
e = 2,876
El punto está por encima de la recta.
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