Estadística descriptiva
- Media
- x̄ = Σx/n
- Desviación típica muestral
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- valor central de los datos ordenados
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Distribución normal
- 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ
Introducción a la estadística: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Probabilidad
- Complementario
- P(not A) = 1 − P(A)
- Regla de la suma
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Sucesos independientes
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Probabilidad condicionada
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribución normal
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Por debajo de x
- P(X < x) = Φ(z)
- Por encima de x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Entre dos valores
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentil
- x = μ + z·σ
Método
- Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
- Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
- Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
- Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.
Intervalos de confianza
- σ conocida
- x̄ ± z·σ/√n
- σ desconocida
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z crítico
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Tamaño muestral
- n = (z·σ/E)², rounded up
Método
- Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
- Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
- Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
- Intervalo: x̄ ± E.
Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
- Contraste z para una media
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Contraste t para una media
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Bilateral al 5%
- rechaza H0 si |z| > 1,96
- Intervalo de confianza
- x̄ ± z·σ/√n
Método
- Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
- Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
- Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
- Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.
Regresión lineal y correlación
- Sumas de cuadrados
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Pendiente
- b = Sxy/Sxx
- Ordenada en el origen
- a = ȳ − b·x̄
- Correlación
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residuo
- e = y − ŷ
2Problemas de práctica
1.Estadística descriptivaMedia
Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 19, 60, 58, 39, 42.
n = 5
s =
2.Estadística descriptivaDifícil
Una magnitud sigue una distribución normal con media 500 y desviación típica 100. ¿Qué proporción P de valores está por debajo de 560?
μ = 500σ = 100x = 560
P =
3.ProbabilidadMedia
¿De cuántas formas N se puede elegir un comité de 2 personas entre un grupo de 8? El orden no importa.
n = 8k = 2
N =
4.ProbabilidadDifícil
Un examen tiene 9 preguntas de opción múltiple. Una estudiante que contesta al azar acierta cada una con probabilidad 0,7, de forma independiente. ¿Cuál es la probabilidad P de acertar exactamente 2?
n = 9p = 0,7k = 2
P =
5.Distribución normalMedia
Arrastra z para que el área sombreada bajo la curva normal estándar, a la derecha de z, sea 0,0606. Halla z con dos decimales.
A = 0,0606
z =
6.Distribución normalDifícil
Supón que los pesos de las bolsas siguen una distribución normal con media 250 g y desviación típica 5 g. Halla el valor x por debajo del cual queda el 20 % de los datos (el percentil 20).
μ = 250σ = 5P = 20%
x = g
7.Intervalos de confianzaMedia
Se mide la tensión arterial de 15 pacientes antes y después de un tratamiento. Las diferencias d = antes − después (mmHg) tienen media 0,8 y desviación típica 2,3. Halla el margen de error E del intervalo de confianza del 90 % para la diferencia media.
n = 15d̄ = 0,8sd = 2,390%t(14) = 1,761
E = mmHg
8.Intervalos de confianzaDifícil
La desviación típica poblacional es 5. ¿Qué tamaño muestral n necesitas para que un intervalo de confianza del 90 % para la media tenga un margen de error de como máximo 1?
σ = 5E = 190%
n =
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia
Una muestra de 81 estudiantes tiene una nota media de 203,2 y una desviación típica muestral de 10. Calcula el estadístico de contraste t para H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 203,2s = 10n = 81
t =
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil
Una muestra de 49 medidas tiene media 121,9. La desviación típica poblacional es 10. Calcula el límite inferior L del intervalo de confianza del 90 % para la media.
x̄ = 121,9σ = 10n = 4990%
L =
11.Regresión lineal y correlaciónMedia
La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = horas de estudio e y = nota del examen. Halla el coeficiente de correlación de Pearson r.
n = 6
r =
12.Regresión lineal y correlaciónDifícil
La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = gasto en publicidad en miles de € e y = ventas en miles de €. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. Se hace una nueva observación (6, 42). Halla su residuo e = y − ŷ.
n = 5(6, 42)
e =
3Disoluciones
1.Estadística descriptiva
Respuesta: s = 16,62
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Media
x̄ = 218/5 = 43,6
Desviaciones al cuadrado
Σ(x − x̄)² = (−24,6)² + 16,4² + 14,4² + (−4,6)² + (−1,6)² = 1105
Desviación típica
s = √(1105/4) = 16,62
Respuesta
s = 16,62
2.Estadística descriptiva
Respuesta: P = 0,7257
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Tipificar
z = 0,6
Tabla de la normal estándar
Φ(0,6) = 0,7257
P = 0,7257
Respuesta
P = 0,7257
3.Probabilidad
Respuesta: N = 28
Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Combinaciones
C(8, 2) = (8·7)/(2·1) = 28
Respuesta
N = 28
4.Probabilidad
Respuesta: P = 0,003858
Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Fórmula binomial
P(X = 2) = 36·0,72·0,37 = 36·0,49·0,0002187 = 0,003858
Respuesta
P = 0,003858
5.Distribución normal
Respuesta: z = 1,55
De un área de vuelta a z: Φ(z) es el área a la izquierda de z. Para un área A en la cola izquierda, busca en la tabla la z con Φ(z) = A. Un área A en la cola derecha significa Φ(z) = 1 − A. Un área central A entre −z y z deja (1 − A)/2 en cada cola, así que Φ(z) = (1 + A)/2. Para un valor x, usa x = μ + zσ.
Área a la izquierda de z
Φ(z) = 1 − 0,0606 = 0,9394
Lee la tabla de z al revés
Busca 0,9394 dentro de la tabla y lee z.
z = 1,55
Respuesta
z = 1,55
6.Distribución normal
Respuesta: x = 245,8 g
Distribución normal: convierte un valor x en una puntuación z, z = (x − μ)/σ, que indica a cuántas desviaciones típicas está de la media. Una tabla z (o Φ(z)) da el área a la izquierda de z, que es P(X < x). El área a la derecha es 1 − Φ(z), y el área entre dos valores es la diferencia de sus dos áreas.
z del percentil
Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416
Vuelta a x
x = 250 + −0,8416·5 = 245,79 g
Respuesta
x = 245,79 g
7.Intervalos de confianza
Respuesta: E = 1,046 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Valor crítico
df = 14, t = 1,761
Margen de error
E = 1,761·2,3/√15 = 1,046
Respuesta
E = 1,046 mmHg
8.Intervalos de confianza
Respuesta: n = 68
Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.
Despejar n
n = (1,645·5/1)² = 67,65
Redondear hacia arriba
El tamaño muestral es un número entero, y redondear hacia abajo haría el margen demasiado grande.
n = 68
Respuesta
n = 68
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: t = 2,88
Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).
Error típico
SE = 10/√81 = 10/9 = 1,111
Estadístico de contraste
t = (203,2 − 200)/1,111 = 2,88
Respuesta
t = 2,88
t0,025; df = 80 = 1,99
|t| > 1,99, así que se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: L = 119,6
Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).
Margen de error
E = 1,645·10/√49 = 2,35
Límite del intervalo
L = 121,9 − 2,35 = 119,6
Respuesta
L = 119,6
11.Regresión lineal y correlación
Respuesta: r = 0,8605
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Medias
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 372/6 = 62
Sumas de cuadrados y de productos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 56
Syy = Σ(y − ȳ)² = 242
Coeficiente de correlación
r = 56/√(17,5·242) = 0,8605
Respuesta
r = 0,8605
12.Regresión lineal y correlación
Respuesta: e = −5,25
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Medias
x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 250/5 = 50
Sumas de cuadrados y de productos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 110
Recta de regresión
b = 110/40 = 2,75
a = 50 − 2,75·7 = 30,75
ŷ = 30,75 + 2,75·x
Valor predicho
ŷ = 30,75 + 2,75·6 = 47,25
Residuo
e = 42 − 47,25 = −5,25
Respuesta
e = −5,25
El punto está por debajo de la recta.
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