Estadística descriptiva
- Media
- x̄ = Σx/n
- Desviación típica muestral
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- valor central de los datos ordenados
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Distribución normal
- 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ
Introducción a la estadística: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Probabilidad
- Complementario
- P(not A) = 1 − P(A)
- Regla de la suma
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Sucesos independientes
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Probabilidad condicionada
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribución normal
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Por debajo de x
- P(X < x) = Φ(z)
- Por encima de x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Entre dos valores
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentil
- x = μ + z·σ
Método
- Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
- Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
- Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
- Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.
Intervalos de confianza
- σ conocida
- x̄ ± z·σ/√n
- σ desconocida
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z crítico
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Tamaño muestral
- n = (z·σ/E)², rounded up
Método
- Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
- Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
- Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
- Intervalo: x̄ ± E.
Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
- Contraste z para una media
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Contraste t para una media
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Bilateral al 5%
- rechaza H0 si |z| > 1,96
- Intervalo de confianza
- x̄ ± z·σ/√n
Método
- Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
- Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
- Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
- Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.
Regresión lineal y correlación
- Sumas de cuadrados
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Pendiente
- b = Sxy/Sxx
- Ordenada en el origen
- a = ȳ − b·x̄
- Correlación
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residuo
- e = y − ŷ
2Problemas de práctica
1.Estadística descriptivaMedia
Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 52, 40, 27, 59, 46.
n = 5
s =
2.Estadística descriptivaDifícil
Una magnitud sigue una distribución normal con media 500 y desviación típica 60. ¿Qué proporción P de valores está por encima de 410?
μ = 500σ = 60x = 410
P =
3.ProbabilidadMedia
¿De cuántas formas N se puede elegir un comité de 5 personas entre un grupo de 8? El orden no importa.
n = 8k = 5
N =
4.ProbabilidadDifícil
Un examen tiene 10 preguntas de opción múltiple. Una estudiante que contesta al azar acierta cada una con probabilidad 0,3, de forma independiente. ¿Cuál es la probabilidad P de acertar exactamente 5?
n = 10p = 0,3k = 5
P =
5.Distribución normalMedia
X es normal con media 250 g y desviación típica 4 g; Y es independiente y normal con media 500 g y desviación típica 9 g. Halla la probabilidad P de que X + Y sea mayor que 762,3 g. Redondea z a dos decimales.
μX = 250, σX = 4μY = 500, σY = 9X + Y > 762,3 g
P =
6.Distribución normalDifícil
Los diámetros D de los agujeros son normales con media 25,03 mm y desviación típica 0,015 mm. Los diámetros d de los ejes son independientes y normales con media 25 mm y desviación típica 0,015 mm. Un eje elegido al azar encaja cuando D − d > 0. Halla la probabilidad P de que encaje. Redondea z a dos decimales.
agujero: μ = 25,03 mm, σ = 0,015 mmeje: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm
P =
7.Intervalos de confianzaMedia
Una muestra de 9 elementos tiene media 45 y desviación típica s = 18. La población es aproximadamente normal. Calcula el límite superior del intervalo de confianza del 90 % para la media.
n = 9x̄ = 45s = 1890%t(8) = 1,86
límite superior =
8.Intervalos de confianzaDifícil
La desviación típica poblacional es 21. ¿Qué tamaño muestral n necesitas para que un intervalo de confianza del 99 % para la media tenga un margen de error de como máximo 5?
σ = 21E = 599%
n =
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia
Una muestra de 16 estudiantes tiene una nota media de 212 y una desviación típica muestral de 20. Calcula el estadístico de contraste t para H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 212s = 20n = 16
t =
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil
Una muestra de 64 medidas tiene media 74,8. La desviación típica poblacional es 4. Calcula el límite superior U del intervalo de confianza del 90 % para la media.
x̄ = 74,8σ = 4n = 6490%
U =
11.Regresión lineal y correlaciónMedia
La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = temperatura en °C e y = helados vendidos. Se dan sus sumas. Halla el coeficiente de correlación de Pearson r a partir de estas sumas.
n = 6Σx = 126Σy = 678Σx² = 2716Σy² = 79130Σxy = 14652
r =
12.Regresión lineal y correlaciónDifícil
La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = horas de estudio e y = nota del examen. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. ¿Para qué valor x predice la recta ŷ = 71?
n = 5ŷ = 71
x =
3Disoluciones
1.Estadística descriptiva
Respuesta: s = 12,19
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Media
x̄ = 224/5 = 44,8
Desviaciones al cuadrado
Σ(x − x̄)² = 7,2² + (−4,8)² + (−17,8)² + 14,2² + 1,2² = 594,8
Desviación típica
s = √(594,8/4) = 12,19
Respuesta
s = 12,19
2.Estadística descriptiva
Respuesta: P = 0,9332
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Tipificar
z = −1,5
Tabla de la normal estándar
Φ(−1,5) = 0,06681
P = 1 − 0,06681 = 0,9332
Respuesta
P = 0,9332
3.Probabilidad
Respuesta: N = 56
Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Combinaciones
C(8, 5) = (8·7·6·5·4)/(5·4·3·2·1) = 56
Respuesta
N = 56
4.Probabilidad
Respuesta: P = 0,1029
Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Fórmula binomial
P(X = 5) = 252·0,35·0,75 = 252·0,00243·0,1681 = 0,1029
Respuesta
P = 0,1029
5.Distribución normal
Respuesta: P = 0,1056
Sumas y diferencias de variables normales: si X e Y son independientes y normales, X + Y y X − Y también son normales. Las medias se suman o se restan: E(X ± Y) = μX ± μY. Las varianzas siempre se suman, también en una diferencia: Var(X ± Y) = σX² + σY², así que σ = √(σX² + σY²). Las desviaciones típicas nunca se suman directamente. El total de n elementos independientes con la misma distribución tiene media n·μ y desviación típica σ·√n. Después estandariza como de costumbre: z = (x − media)/σ y lee Φ(z).
Distribución de la suma
μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g
Tipificar
z = (762,3 − 750)/9,849 = 1,25
Cola superior
P = 1 − Φ(1,25) = 1 − 0,8944 = 0,1056
Respuesta
P = 0,1056
6.Distribución normal
Respuesta: P = 0,9207
Sumas y diferencias de variables normales: si X e Y son independientes y normales, X + Y y X − Y también son normales. Las medias se suman o se restan: E(X ± Y) = μX ± μY. Las varianzas siempre se suman, también en una diferencia: Var(X ± Y) = σX² + σY², así que σ = √(σX² + σY²). Las desviaciones típicas nunca se suman directamente. El total de n elementos independientes con la misma distribución tiene media n·μ y desviación típica σ·√n. Después estandariza como de costumbre: z = (x − media)/σ y lee Φ(z).
Distribución de la diferencia
μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,02121 mm
Tipificar
z = (0 − 0,03)/0,02121 = −1,41
Probabilidad
P = 1 − Φ(−1,41) = 0,9207
Respuesta
P = 0,9207
7.Intervalos de confianza
Respuesta: límite superior = 56,16
Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.
Valor crítico
df = n − 1 = 8, t = 1,86
Margen de error
E = 1,86·18/√9 = 11,16
Intervalo
45 ± 11,16 → [33,84, 56,16]
Respuesta
límite superior = 56,16
8.Intervalos de confianza
Respuesta: n = 118
Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.
Despejar n
n = (2,576·21/5)² = 117,1
Redondear hacia arriba
El tamaño muestral es un número entero, y redondear hacia abajo haría el margen demasiado grande.
n = 118
Respuesta
n = 118
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: t = 2,4
Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).
Error típico
SE = 20/√16 = 20/4 = 5
Estadístico de contraste
t = (212 − 200)/5 = 2,4
Respuesta
t = 2,4
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| > 2,131, así que se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: U = 75,62
Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).
Margen de error
E = 1,645·4/√64 = 0,8225
Límite del intervalo
U = 74,8 + 0,8225 = 75,62
Respuesta
U = 75,62
11.Regresión lineal y correlación
Respuesta: r = 0,9865
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Sumas centradas
Sxy = 14652 − 126·678/6 = 414
Sxx = 2716 − 126²/6 = 70
Syy = 79130 − 678²/6 = 2516
Coeficiente de correlación
r = 414/√(70·2516) = 0,9865
Respuesta
r = 0,9865
12.Regresión lineal y correlación
Respuesta: x = 4,423
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Medias
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 370/5 = 74
Sumas de cuadrados y de productos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 52
Recta de regresión
b = 52/10 = 5,2
a = 74 − 5,2·5 = 48
ŷ = 48 + 5,2·x
Despeja x
x = (71 − 48)/5,2 = 4,423
Respuesta
x = 4,423
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