Introducción a la estadística: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Estadística descriptiva

Media: x̄ = Σx/n
Desviación típica muestral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor central de los datos ordenados
Puntuación z: z = (x − μ)/σ
Distribución normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidad

Complementario: P(not A) = 1 − P(A)
Regla de la suma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Sucesos independientes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidad condicionada: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribución normal

Puntuación z: z = (x − μ)/σ
Por debajo de x: P(X < x) = Φ(z)
Por encima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre dos valores: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.

Intervalos de confianza

σ conocida: x̄ ± z·σ/√n
σ desconocida: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamaño muestral: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Contraste z para una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Contraste t para una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral al 5%: rechaza H₀ si |z| > 1,96
Intervalo de confianza: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.

Regresión lineal y correlación

Sumas de cuadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendiente: b = S_xy/S_xx
Ordenada en el origen: a = ȳ − b·x̄
Correlación: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Problemas de práctica

1.Estadística descriptivaMedia

Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 14, 52, 25, 22, 38, 35.

n = 6

s =

2.Estadística descriptivaDifícil

Las notas de un examen siguen una distribución normal con media 60 y desviación típica 8. Calcula la puntuación z z de una nota de 72.

μ = 60σ = 8x = 72

z =

3.ProbabilidadMedia

Para la distribución mostrada, halla la varianza Var(X) de X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,25, 0,2, 0,25, 0,3

Var(X) =

4.ProbabilidadDifícil

Jugar una partida cuesta 1 €. Ganas 4 € con probabilidad 0,1 y 10 € con probabilidad 0,02; en otro caso no ganas nada. La apuesta no se devuelve. Halla la ganancia neta esperada E(G) por partida.

apuesta = €1€4: p = 0,1€10: p = 0,02

E(G) = €

5.Distribución normalMedia

Supón que los pesos de las bolsas siguen una distribución normal con media 250 g y desviación típica 5 g. ¿Qué fracción está entre 246 y 257,5 g? Da P como número decimal.

μ = 250σ = 5x₁ = 246x₂ = 257,5

P =

6.Distribución normalDifícil

Supón que las puntuaciones de CI siguen una distribución normal con media 100 puntos y desviación típica 15 puntos. Halla el valor x por debajo del cual queda el 99 % de los datos (el percentil 99).

μ = 100σ = 15P = 99%

x = puntos

7.Intervalos de confianzaMedia

Una muestra de 12 elementos tiene media 72,5 y desviación típica s = 13. La población es aproximadamente normal. Calcula el límite superior del intervalo de confianza del 90 % para la media.

n = 12x̄ = 72,5s = 1390%t(11) = 1,796

límite superior =

8.Intervalos de confianzaDifícil

La desviación típica poblacional es 27. ¿Qué tamaño muestral n necesitas para que un intervalo de confianza del 95 % para la media tenga un margen de error de como máximo 3?

σ = 27E = 395%

n =

9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia

Dos líneas de producción fabrican la misma pieza. Línea 1: una muestra de 30 piezas tiene una longitud media de 146 mm, y la desviación típica conocida de la línea es 12 mm. Línea 2: una muestra de 30 piezas tiene una media de 140,4 mm, con desviación típica conocida de 15 mm. Halla el estadístico de contraste z para H₀: μ₁ = μ₂, tomando la diferencia como x̄₁ − x̄₂ (línea 1 menos línea 2).

n₁ = 30x̄₁ = 146 mmσ₁ = 12 mmn₂ = 30x̄₂ = 140,4 mmσ₂ = 15 mm

z =

10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil

Un contraste z unilateral con α = 0,05 debe detectar un desplazamiento de la media de 4 unidades con una potencia del 95 %. La desviación típica es 27. Halla el tamaño muestral mínimo n.

α = 0,05potencia = 95%δ = 4σ = 27z_α = 1,645z_β = 1,645

n =

11.Regresión lineal y correlaciónMedia

La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = antigüedad del coche en años e y = precio en miles de €. Halla el coeficiente de determinación r² de la recta de mínimos cuadrados.

n = 5

r² =

12.Regresión lineal y correlaciónDifícil

La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = carga en kN e y = alargamiento en mm. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. Predice ŷ para x = 3.

n = 5x = 3

ŷ =

3Disoluciones

1.Estadística descriptiva

Respuesta: s = 13,51

Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.

Media

x̄ = 186/6 = 31

Desviaciones al cuadrado

Σ(x − x̄)² = (−17)² + 21² + (−6)² + (−9)² + 7² + 4² = 912

Desviación típica

s = √(912/5) = 13,51

Respuesta

s = 13,51

2.Estadística descriptiva

Respuesta: z = 1,5

Tipificar

z = (72 − 60)/8 = 1,5

Respuesta

z = 1,5

3.Probabilidad

Respuesta: Var(X) = 1,34

Variables aleatorias discretas: una distribución de probabilidad enumera cada valor x que puede tomar una variable con su probabilidad p(x); las probabilidades están entre 0 y 1 y suman 1. El valor esperado (media) es E(X) = Σx·p(x), el promedio a largo plazo. La varianza es Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², y la desviación típica es σ = √Var(X). Para un cambio lineal Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) y σ_Y = |a|·σ_X; sumar una constante no cambia la dispersión.

Media

μ = 0·0,25 + 1·0,2 + 2·0,25 + 3·0,3 = 1,6

Media de los cuadrados

E(X²) = 0·0,25 + 1·0,2 + 4·0,25 + 9·0,3 = 3,9

Varianza

Var(X) = 3,9 − 1,6² = 1,34

Respuesta

Var(X) = 1,34

4.Probabilidad

Respuesta: E(G) = −0,4 €

Resultados netos

G: 3 (p = 0,1), 9 (p = 0,02), −1 (p = 0,88)

Valor esperado

E(G) = 3·0,1 + 9·0,02 − 1·0,88 = −0,4 €

Respuesta

E(G) = −0,4 €

Un valor negativo significa que pierdes dinero de media.

5.Distribución normal

Respuesta: P = 0,7213

Distribución normal: convierte un valor x en una puntuación z, z = (x − μ)/σ, que indica a cuántas desviaciones típicas está de la media. Una tabla z (o Φ(z)) da el área a la izquierda de z, que es P(X < x). El área a la derecha es 1 − Φ(z), y el área entre dos valores es la diferencia de sus dos áreas.

Puntuaciones z

z₁ = (246 − 250)/5 = −0,8

z₂ = (257,5 − 250)/5 = 1,5

Área entre ambos valores

P = Φ(1,5) − Φ(−0,8) = 0,9332 − 0,2119 = 0,7213

Respuesta

P = 0,7213

6.Distribución normal

Respuesta: x = 134,9 puntos

z del percentil

Φ(z) = 0,99 → z = 2,326

Vuelta a x

x = 100 + 2,326·15 = 134,89 puntos

Respuesta

x = 134,89 puntos

7.Intervalos de confianza

Respuesta: límite superior = 79,24

Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.

Valor crítico

df = n − 1 = 11, t = 1,796

Margen de error

E = 1,796·13/√12 = 6,74

Intervalo

72,5 ± 6,74 → [65,76, 79,24]

Respuesta

límite superior = 79,24

8.Intervalos de confianza

Respuesta: n = 312

Despejar n

n = (1,96·27/3)² = 311,2

Redondear hacia arriba

El tamaño muestral es un número entero, y redondear hacia abajo haría el margen demasiado grande.

n = 312

Respuesta

n = 312

9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Respuesta: z = 1,597

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Error típico de la diferencia

SE = √(12²/30 + 15²/30) = √12,3 = 3,507

Estadístico de contraste

z = (146 − 140,4)/3,507 = 1,597

Respuesta

z = 1,597

|z| < 1.96, así que no se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).

10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Respuesta: n = 494

Tamaño muestral para un contraste: para detectar un desplazamiento real δ con potencia 1 − β en un contraste z unilateral de nivel α, el error típico debe cumplir δ = (z_α + z_β)·σ/√n, así que n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², redondeado hacia arriba.

Despejar n

n = ((1,645 + 1,645)·27/4)² = 493,2

Redondear hacia arriba

n = 494

Respuesta

n = 494

11.Regresión lineal y correlación

Respuesta: r² = 0,8989

Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.

Medias

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 134/5 = 26,8

Sumas de cuadrados y de productos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −13

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 18,8

Coeficiente de determinación

r² = −13²/(10·18,8) = 0,8989

Respuesta

r² = 0,8989

Aproximadamente el 89,89 % de la variación de y queda explicada por la recta.

12.Regresión lineal y correlación

Respuesta: ŷ = 10,05

Medias

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 90/5 = 18

Sumas de cuadrados y de productos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 106

Recta de regresión

b = 106/40 = 2,65

a = 18 − 2,65·6 = 2,1

ŷ = 2,1 + 2,65·x

Predicción

ŷ = 2,1 + 2,65·3 = 10,05

Respuesta

ŷ = 10,05

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