Estadística descriptiva
- Media
- x̄ = Σx/n
- Desviación típica muestral
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- valor central de los datos ordenados
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Distribución normal
- 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ
Introducción a la estadística: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Probabilidad
- Complementario
- P(not A) = 1 − P(A)
- Regla de la suma
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Sucesos independientes
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Probabilidad condicionada
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribución normal
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Por debajo de x
- P(X < x) = Φ(z)
- Por encima de x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Entre dos valores
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentil
- x = μ + z·σ
Método
- Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
- Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
- Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
- Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.
Intervalos de confianza
- σ conocida
- x̄ ± z·σ/√n
- σ desconocida
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z crítico
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Tamaño muestral
- n = (z·σ/E)², rounded up
Método
- Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
- Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
- Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
- Intervalo: x̄ ± E.
Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
- Contraste z para una media
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Contraste t para una media
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Bilateral al 5%
- rechaza H0 si |z| > 1,96
- Intervalo de confianza
- x̄ ± z·σ/√n
Método
- Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
- Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
- Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
- Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.
Regresión lineal y correlación
- Sumas de cuadrados
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Pendiente
- b = Sxy/Sxx
- Ordenada en el origen
- a = ȳ − b·x̄
- Correlación
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residuo
- e = y − ŷ
2Problemas de práctica
1.Estadística descriptivaMedia
Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 48, 51, 16, 19, 23, 20, 37.
n = 7
s =
2.Estadística descriptivaDifícil
Las notas de un examen siguen una distribución normal con media 170 y desviación típica 8. Calcula la puntuación z z de una nota de 162.
μ = 170σ = 8x = 162
z =
3.ProbabilidadMedia
Una bolsa tiene 7 bolas rojas y 4 azules. Sacas dos bolas sin devolver la primera. ¿Cuál es la probabilidad P de que las dos sean rojas?
7 / 4
P =
4.ProbabilidadDifícil
Un examen tiene 6 preguntas de opción múltiple. Una estudiante que contesta al azar acierta cada una con probabilidad 0,6, de forma independiente. ¿Cuál es la probabilidad P de acertar exactamente 2?
n = 6p = 0,6k = 2
P =
5.Distribución normalMedia
Supón que las notas de un examen siguen una distribución normal con media 65 puntos y desviación típica 10 puntos. ¿Qué fracción está entre 49,5 y 67,5 puntos? Da P como número decimal.
μ = 65σ = 10x1 = 49,5x2 = 67,5
P =
6.Distribución normalDifícil
Las alturas X de los hombres e Y de las mujeres de un grupo son independientes y normales: X tiene media 180 cm y desviación típica 10 cm, Y tiene media 170 cm y desviación típica 12 cm. Halla la probabilidad P de que X sea mayor que Y. Redondea z a dos decimales.
μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
7.Intervalos de confianzaMedia
Una muestra de 10 elementos tiene media 56,5 y desviación típica s = 1,5. La población es aproximadamente normal. Calcula el límite superior del intervalo de confianza del 95 % para la media.
n = 10x̄ = 56,5s = 1,595%t(9) = 2,262
límite superior =
8.Intervalos de confianzaDifícil
La desviación típica poblacional es 21. ¿Qué tamaño muestral n necesitas para que un intervalo de confianza del 95 % para la media tenga un margen de error de como máximo 1?
σ = 21E = 195%
n =
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia
Dos líneas de producción fabrican la misma pieza. Línea 1: una muestra de 30 piezas tiene una longitud media de 94,5 mm, y la desviación típica conocida de la línea es 8 mm. Línea 2: una muestra de 60 piezas tiene una media de 96,5 mm, con desviación típica conocida de 13 mm. Halla el estadístico de contraste z para H₀: μ₁ = μ₂, tomando la diferencia como x̄₁ − x̄₂ (línea 1 menos línea 2).
n₁ = 30x̄₁ = 94,5 mmσ₁ = 8 mmn₂ = 60x̄₂ = 96,5 mmσ₂ = 13 mm
z =
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil
Un contraste z unilateral con α = 0,01 debe detectar un desplazamiento de la media de 5 unidades con una potencia del 95 %. La desviación típica es 21. Halla el tamaño muestral mínimo n.
α = 0,01potencia = 95%δ = 5σ = 21zα = 2,326zβ = 1,645
n =
11.Regresión lineal y correlaciónMedia
La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = carga en kN e y = alargamiento en mm. Halla el coeficiente de determinación r² de la recta de mínimos cuadrados.
n = 6
r² =
12.Regresión lineal y correlaciónDifícil
La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = temperatura en °C e y = helados vendidos. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. Predice ŷ para x = 25,5.
n = 5x = 25,5
ŷ =
3Disoluciones
1.Estadística descriptiva
Respuesta: s = 14,59
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Media
x̄ = 214/7 = 30,57
Desviaciones al cuadrado
Σ(x − x̄)² = 17,43² + 20,43² + (−14,57)² + (−11,57)² + (−7,571)² + (−10,57)² + 6,429² = 1278
Desviación típica
s = √(1278/6) = 14,59
Respuesta
s = 14,59
2.Estadística descriptiva
Respuesta: z = −1
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Tipificar
z = (162 − 170)/8 = −1
Respuesta
z = −1
3.Probabilidad
Respuesta: P = 0,3818
Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Primera y segunda extracción
P = 7/11 · 6/10 = 42/110 = 0,3818
Respuesta
P = 0,3818
4.Probabilidad
Respuesta: P = 0,1382
Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Fórmula binomial
P(X = 2) = 15·0,62·0,44 = 15·0,36·0,0256 = 0,1382
Respuesta
P = 0,1382
5.Distribución normal
Respuesta: P = 0,5381
Distribución normal: convierte un valor x en una puntuación z, z = (x − μ)/σ, que indica a cuántas desviaciones típicas está de la media. Una tabla z (o Φ(z)) da el área a la izquierda de z, que es P(X < x). El área a la derecha es 1 − Φ(z), y el área entre dos valores es la diferencia de sus dos áreas.
Puntuaciones z
z₁ = (49,5 − 65)/10 = −1,55
z₂ = (67,5 − 65)/10 = 0,25
Área entre ambos valores
P = Φ(0,25) − Φ(−1,55) = 0,5987 − 0,06057 = 0,5381
Respuesta
P = 0,5381
6.Distribución normal
Respuesta: P = 0,7389
Sumas y diferencias de variables normales: si X e Y son independientes y normales, X + Y y X − Y también son normales. Las medias se suman o se restan: E(X ± Y) = μX ± μY. Las varianzas siempre se suman, también en una diferencia: Var(X ± Y) = σX² + σY², así que σ = √(σX² + σY²). Las desviaciones típicas nunca se suman directamente. El total de n elementos independientes con la misma distribución tiene media n·μ y desviación típica σ·√n. Después estandariza como de costumbre: z = (x − media)/σ y lee Φ(z).
Distribución de la diferencia
μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm
Tipificar
z = (0 − 10)/15,62 = −0,64
Probabilidad
P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389
Respuesta
P = 0,7389
7.Intervalos de confianza
Respuesta: límite superior = 57,57
Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.
Valor crítico
df = n − 1 = 9, t = 2,262
Margen de error
E = 2,262·1,5/√10 = 1,073
Intervalo
56,5 ± 1,073 → [55,43, 57,57]
Respuesta
límite superior = 57,57
8.Intervalos de confianza
Respuesta: n = 1695
Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.
Despejar n
n = (1,96·21/1)² = 1694
Redondear hacia arriba
El tamaño muestral es un número entero, y redondear hacia abajo haría el margen demasiado grande.
n = 1695
Respuesta
n = 1695
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: z = −0,8989
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Error típico de la diferencia
SE = √(8²/30 + 13²/60) = √4,95 = 2,225
Estadístico de contraste
z = (94,5 − 96,5)/2,225 = −0,8989
Respuesta
z = −0,8989
|z| < 1.96, así que no se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: n = 279
Tamaño muestral para un contraste: para detectar un desplazamiento real δ con potencia 1 − β en un contraste z unilateral de nivel α, el error típico debe cumplir δ = (z_α + z_β)·σ/√n, así que n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², redondeado hacia arriba.
Despejar n
n = ((2,326 + 1,645)·21/5)² = 278,2
Redondear hacia arriba
n = 279
Respuesta
n = 279
11.Regresión lineal y correlación
Respuesta: r² = 0,9923
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Medias
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 142/6 = 23,67
Sumas de cuadrados y de productos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 264
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1003
Coeficiente de determinación
r² = 264²/(70·1003) = 0,9923
Respuesta
r² = 0,9923
Aproximadamente el 99,23 % de la variación de y queda explicada por la recta.
12.Regresión lineal y correlación
Respuesta: ŷ = 76,3
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Medias
x̄ = 120/5 = 24
ȳ = 366/5 = 73,2
Sumas de cuadrados y de productos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 186
Recta de regresión
b = 186/90 = 2,067
a = 73,2 − 2,067·24 = 23,6
ŷ = 23,6 + 2,067·x
Predicción
ŷ = 23,6 + 2,067·25,5 = 76,3
Respuesta
ŷ = 76,3
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