Introducción a la estadística: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Estadística descriptiva

Media: x̄ = Σx/n
Desviación típica muestral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor central de los datos ordenados
Puntuación z: z = (x − μ)/σ
Distribución normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidad

Complementario: P(not A) = 1 − P(A)
Regla de la suma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Sucesos independientes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidad condicionada: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribución normal

Puntuación z: z = (x − μ)/σ
Por debajo de x: P(X < x) = Φ(z)
Por encima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre dos valores: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.

Intervalos de confianza

σ conocida: x̄ ± z·σ/√n
σ desconocida: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamaño muestral: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Contraste z para una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Contraste t para una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral al 5%: rechaza H₀ si |z| > 1,96
Intervalo de confianza: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.

Regresión lineal y correlación

Sumas de cuadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendiente: b = S_xy/S_xx
Ordenada en el origen: a = ȳ − b·x̄
Correlación: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Problemas de práctica

1.Estadística descriptivaMedia

Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 55, 48, 49, 22, 22, 54, 59.

n = 7

s =

2.Estadística descriptivaDifícil

Una magnitud sigue una distribución normal con media 70 y desviación típica 20. ¿Qué proporción P de valores está por debajo de 50?

μ = 70σ = 20x = 50

P =

3.ProbabilidadMedia

Para la distribución mostrada, halla la desviación típica σ de X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,3, 0,15, 0,15, 0,15

σ =

4.ProbabilidadDifícil

X tiene la distribución mostrada, y Y = 3X + 10. Halla la desviación típica σ_Y de Y.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,2, 0,3, 0,1, 0,25, 0,15Y = 3X + 10

σ_Y =

5.Distribución normalMedia

Supón que las puntuaciones de CI siguen una distribución normal con media 100 puntos y desviación típica 15 puntos. ¿Qué fracción está entre 76 y 122,5 puntos? Da P como número decimal.

μ = 100σ = 15x₁ = 76x₂ = 122,5

P =

6.Distribución normalDifícil

Supón que los pesos de las bolsas siguen una distribución normal con media 250 g y desviación típica 5 g. Halla el valor x por debajo del cual queda el 95 % de los datos (el percentil 95).

μ = 250σ = 5P = 95%

x = g

7.Intervalos de confianzaMedia

Se compara la duración de la batería de dos modelos de móvil. Modelo 1: 40 móviles, media 61 h, desviación típica conocida 17 h. Modelo 2: 40 móviles, media 60,5 h, desviación típica conocida 12 h. Halla el límite superior del intervalo de confianza del 90 % para μ₁ − μ₂.

n₁ = 40x̄₁ = 61 hσ₁ = 17 hn₂ = 40x̄₂ = 60,5 hσ₂ = 12 h90%

límite superior = h

8.Intervalos de confianzaDifícil

La desviación típica poblacional es 18. ¿Qué tamaño muestral n necesitas para que un intervalo de confianza del 95 % para la media tenga un margen de error de como máximo 3?

σ = 18E = 395%

n =

9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia

Se comparan dos métodos de enseñanza. Grupo 1: 9 estudiantes, nota media 82,5, desviación típica 11. Grupo 2: 13 estudiantes, nota media 68,1, desviación típica 10,5. Supón varianzas poblacionales iguales y usa el contraste t de dos muestras con varianza combinada. Halla el estadístico de contraste t para H₀: μ₁ = μ₂, tomando la diferencia como x̄₁ − x̄₂ (grupo 1 menos grupo 2).

n₁ = 9x̄₁ = 82,5s₁ = 11n₂ = 13x̄₂ = 68,1s₂ = 10,5

t =

10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil

Una muestra de 25 medidas tiene media 202,2. La desviación típica poblacional es 5. Calcula el límite inferior L del intervalo de confianza del 99 % para la media.

x̄ = 202,2σ = 5n = 2599%

L =

11.Regresión lineal y correlaciónMedia

La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = gasto en publicidad en miles de € e y = ventas en miles de €. Halla el coeficiente de determinación r² de la recta de mínimos cuadrados.

n = 5

r² =

12.Regresión lineal y correlaciónDifícil

La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = antigüedad del coche en años e y = precio en miles de €. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. Predice ŷ para x = 4,5.

n = 6x = 4,5

ŷ =

3Disoluciones

1.Estadística descriptiva

Respuesta: s = 15,57

Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.

Media

x̄ = 309/7 = 44,14

Desviaciones al cuadrado

Σ(x − x̄)² = 10,86² + 3,857² + 4,857² + (−22,14)² + (−22,14)² + 9,857² + 14,86² = 1455

Desviación típica

s = √(1455/6) = 15,57

Respuesta

s = 15,57

2.Estadística descriptiva

Respuesta: P = 0,1587

Tipificar

z = −1

Tabla de la normal estándar

Φ(−1) = 0,1587

P = 0,1587

Respuesta

P = 0,1587

3.Probabilidad

Respuesta: σ = 1,388

Variables aleatorias discretas: una distribución de probabilidad enumera cada valor x que puede tomar una variable con su probabilidad p(x); las probabilidades están entre 0 y 1 y suman 1. El valor esperado (media) es E(X) = Σx·p(x), el promedio a largo plazo. La varianza es Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², y la desviación típica es σ = √Var(X). Para un cambio lineal Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) y σ_Y = |a|·σ_X; sumar una constante no cambia la dispersión.

Media

μ = 0·0,25 + 1·0,3 + 2·0,15 + 3·0,15 + 4·0,15 = 1,65

Media de los cuadrados

E(X²) = 0·0,25 + 1·0,3 + 4·0,15 + 9·0,15 + 16·0,15 = 4,65

Varianza

Var(X) = 4,65 − 1,65² = 1,928

σ = √1,928 = 1,388

Respuesta

σ = 1,388

4.Probabilidad

Respuesta: σ_Y = 4,165

Dispersión de X

μ = 2,85, Var(X) = 1,928, σ_X = 1,388

Cambio lineal

σ_Y = |3|·1,388 = 4,165

Respuesta

σ_Y = 4,165

La media sí se desplaza: E(Y) = 3·2,85 + 10 = 18,55.

5.Distribución normal

Respuesta: P = 0,8784

Distribución normal: convierte un valor x en una puntuación z, z = (x − μ)/σ, que indica a cuántas desviaciones típicas está de la media. Una tabla z (o Φ(z)) da el área a la izquierda de z, que es P(X < x). El área a la derecha es 1 − Φ(z), y el área entre dos valores es la diferencia de sus dos áreas.

Puntuaciones z

z₁ = (76 − 100)/15 = −1,6

z₂ = (122,5 − 100)/15 = 1,5

Área entre ambos valores

P = Φ(1,5) − Φ(−1,6) = 0,9332 − 0,0548 = 0,8784

Respuesta

P = 0,8784

6.Distribución normal

Respuesta: x = 258,2 g

z del percentil

Φ(z) = 0,95 → z = 1,645

Vuelta a x

x = 250 + 1,645·5 = 258,22 g

Respuesta

x = 258,22 g

7.Intervalos de confianza

Respuesta: límite superior = 5,912 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Estimación puntual

x̄₁ − x̄₂ = 61 − 60,5 = 0,5

Error típico

SE = √(17²/40 + 12²/40) = 3,29

Margen de error

E = 1,645·3,29 = 5,412

Intervalo

0,5 ± 5,412 → [−4,912, 5,912]

Respuesta

límite superior = 5,912 h

El intervalo contiene el 0, así que los datos no muestran una diferencia significativa.

8.Intervalos de confianza

Respuesta: n = 139

Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.

Despejar n

n = (1,96·18/3)² = 138,3

Redondear hacia arriba

El tamaño muestral es un número entero, y redondear hacia abajo haría el margen demasiado grande.

n = 139

Respuesta

n = 139

9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Respuesta: t = 3,103

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Varianza combinada

s_p² = (8·11² + 12·10,5²)/20 = 114,5

s_p = 10,7

Error típico

SE = 10,7·√(1/9 + 1/13) = 4,641

Estadístico de contraste

t = (82,5 − 68,1)/4,641 = 3,103

Respuesta

t = 3,103

Con gl = 20, el valor crítico bilateral al 5 % es 2,086; |t| es mayor, así que se rechaza H₀.

10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Respuesta: L = 199,6

Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).

Margen de error

E = 2,576·5/√25 = 2,576

Límite del intervalo

L = 202,2 − 2,576 = 199,6

Respuesta

L = 199,6

11.Regresión lineal y correlación

Respuesta: r² = 0,5664

Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.

Medias

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 202/5 = 40,4

Sumas de cuadrados y de productos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 18

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 57,2

Coeficiente de determinación

r² = 18²/(10·57,2) = 0,5664

Respuesta

r² = 0,5664

Aproximadamente el 56,64 % de la variación de y queda explicada por la recta.

12.Regresión lineal y correlación

Respuesta: ŷ = 13,82

Medias

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 98/6 = 16,33

Sumas de cuadrados y de productos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −44

Recta de regresión

b = −44/17,5 = −2,514

a = 16,33 − (−2,514)·3,5 = 25,13

ŷ = 25,13 − 2,514·x

Predicción

ŷ = 25,13 + (−2,514)·4,5 = 13,82

Respuesta

ŷ = 13,82

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