Estadística descriptiva
- Media
- x̄ = Σx/n
- Desviación típica muestral
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- valor central de los datos ordenados
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Distribución normal
- 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ
Introducción a la estadística: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Probabilidad
- Complementario
- P(not A) = 1 − P(A)
- Regla de la suma
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Sucesos independientes
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Probabilidad condicionada
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribución normal
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Por debajo de x
- P(X < x) = Φ(z)
- Por encima de x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Entre dos valores
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentil
- x = μ + z·σ
Método
- Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
- Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
- Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
- Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.
Intervalos de confianza
- σ conocida
- x̄ ± z·σ/√n
- σ desconocida
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z crítico
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Tamaño muestral
- n = (z·σ/E)², rounded up
Método
- Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
- Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
- Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
- Intervalo: x̄ ± E.
Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
- Contraste z para una media
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Contraste t para una media
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Bilateral al 5%
- rechaza H0 si |z| > 1,96
- Intervalo de confianza
- x̄ ± z·σ/√n
Método
- Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
- Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
- Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
- Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.
Regresión lineal y correlación
- Sumas de cuadrados
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Pendiente
- b = Sxy/Sxx
- Ordenada en el origen
- a = ȳ − b·x̄
- Correlación
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residuo
- e = y − ŷ
2Problemas de práctica
1.Estadística descriptivaMedia
Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 20, 39, 29, 22, 51, 20, 12.
n = 7
s =
2.Estadística descriptivaDifícil
Una magnitud sigue una distribución normal con media 170 y desviación típica 15. ¿Qué proporción P de valores está por debajo de 185?
μ = 170σ = 15x = 185
P =
3.ProbabilidadMedia
¿De cuántas formas N se puede elegir un comité de 4 personas entre un grupo de 12? El orden no importa.
n = 12k = 4
N =
4.ProbabilidadDifícil
Se prueban 9 componentes y cada uno falla con probabilidad 0,2, de forma independiente. ¿Cuál es la probabilidad P de que falle como mucho uno?
n = 9p = 0,2
P =
5.Distribución normalMedia
Supón que las puntuaciones de CI siguen una distribución normal con media 100 puntos y desviación típica 15 puntos. ¿Qué fracción está entre 92,5 y 112 puntos? Da P como número decimal.
μ = 100σ = 15x1 = 92,5x2 = 112
P =
6.Distribución normalDifícil
Supón que las puntuaciones de CI siguen una distribución normal con media 100 puntos y desviación típica 15 puntos. Halla el valor x por debajo del cual queda el 99 % de los datos (el percentil 99).
μ = 100σ = 15P = 99%
x = puntos
7.Intervalos de confianzaMedia
Se compara la duración de la batería de dos modelos de móvil. Modelo 1: 80 móviles, media 73 h, desviación típica conocida 18 h. Modelo 2: 80 móviles, media 81,5 h, desviación típica conocida 12 h. Halla el límite superior del intervalo de confianza del 99 % para μ₁ − μ₂.
n₁ = 80x̄₁ = 73 hσ₁ = 18 hn₂ = 80x̄₂ = 81,5 hσ₂ = 12 h99%
límite superior = h
8.Intervalos de confianzaDifícil
Se prueban dos fertilizantes. Grupo de parcelas 1: 10 parcelas, rendimiento medio 36 kg, desviación típica 1 kg. Grupo de parcelas 2: 6 parcelas, media 34 kg, desviación típica 4 kg. Supón varianzas iguales (t con varianza combinada, gl = n₁ + n₂ − 2). Halla el límite superior del intervalo de confianza del 99 % para μ₁ − μ₂.
n₁ = 10x̄₁ = 36s₁ = 1n₂ = 6x̄₂ = 34s₂ = 499%t(14) = 2,977
límite superior = kg
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia
Una muestra de 49 estudiantes tiene una nota media de 76,71 y una desviación típica muestral de 5. Calcula el estadístico de contraste t para H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 76,71s = 5n = 49
t =
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil
¿Qué tamaño debe tener una muestra para que el intervalo de confianza del 95 % para una media tenga un margen de error de como mucho 1? La desviación típica es 10. Calcula el menor tamaño muestral n.
σ = 10E = 195%
n =
11.Regresión lineal y correlaciónMedia
La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = antigüedad del coche en años e y = precio en miles de €. Halla el coeficiente de correlación de Pearson r.
n = 6
r =
12.Regresión lineal y correlaciónDifícil
La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = carga en kN e y = alargamiento en mm. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. ¿Para qué valor x predice la recta ŷ = 9?
n = 5ŷ = 9
x =
3Disoluciones
1.Estadística descriptiva
Respuesta: s = 13,35
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Media
x̄ = 193/7 = 27,57
Desviaciones al cuadrado
Σ(x − x̄)² = (−7,571)² + 11,43² + 1,429² + (−5,571)² + 23,43² + (−7,571)² + (−15,57)² = 1070
Desviación típica
s = √(1070/6) = 13,35
Respuesta
s = 13,35
2.Estadística descriptiva
Respuesta: P = 0,8413
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Tipificar
z = 1
Tabla de la normal estándar
Φ(1) = 0,8413
P = 0,8413
Respuesta
P = 0,8413
3.Probabilidad
Respuesta: N = 495
Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Combinaciones
C(12, 4) = (12·11·10·9)/(4·3·2·1) = 495
Respuesta
N = 495
4.Probabilidad
Respuesta: P = 0,4362
Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Cero y un fallo
P(X = 0) = 0,89 = 0,1342
P(X = 1) = 9·0,2·0,88 = 0,302
Súmalas
P = 0,1342 + 0,302 = 0,4362
Respuesta
P = 0,4362
5.Distribución normal
Respuesta: P = 0,4796
Distribución normal: convierte un valor x en una puntuación z, z = (x − μ)/σ, que indica a cuántas desviaciones típicas está de la media. Una tabla z (o Φ(z)) da el área a la izquierda de z, que es P(X < x). El área a la derecha es 1 − Φ(z), y el área entre dos valores es la diferencia de sus dos áreas.
Puntuaciones z
z₁ = (92,5 − 100)/15 = −0,5
z₂ = (112 − 100)/15 = 0,8
Área entre ambos valores
P = Φ(0,8) − Φ(−0,5) = 0,7881 − 0,3085 = 0,4796
Respuesta
P = 0,4796
6.Distribución normal
Respuesta: x = 134,9 puntos
Distribución normal: convierte un valor x en una puntuación z, z = (x − μ)/σ, que indica a cuántas desviaciones típicas está de la media. Una tabla z (o Φ(z)) da el área a la izquierda de z, que es P(X < x). El área a la derecha es 1 − Φ(z), y el área entre dos valores es la diferencia de sus dos áreas.
z del percentil
Φ(z) = 0,99 → z = 2,326
Vuelta a x
x = 100 + 2,326·15 = 134,89 puntos
Respuesta
x = 134,89 puntos
7.Intervalos de confianza
Respuesta: límite superior = −2,269 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estimación puntual
x̄₁ − x̄₂ = 73 − 81,5 = −8,5
Error típico
SE = √(18²/80 + 12²/80) = 2,419
Margen de error
E = 2,576·2,419 = 6,231
Intervalo
−8,5 ± 6,231 → [−14,73, −2,269]
Respuesta
límite superior = −2,269 h
El intervalo no contiene el 0, así que las medias difieren significativamente.
8.Intervalos de confianza
Respuesta: límite superior = 5,876 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Desviación típica combinada
sp² = (9·1² + 5·4²)/14 = 6,357
sp = 2,521
Margen de error
E = 2,977·2,521·√(1/10 + 1/6) = 3,876
Intervalo
2 ± 3,876 → [−1,876, 5,876]
Respuesta
límite superior = 5,876 kg
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: t = 2,394
Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).
Error típico
SE = 5/√49 = 5/7 = 0,7143
Estadístico de contraste
t = (76,71 − 75)/0,7143 = 2,394
Respuesta
t = 2,394
t0,025; df = 48 = 2,011
|t| > 2,011, así que se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: n = 385
Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).
Despejar n
n = (1,96·10/1)² = 384,2
Redondear hacia arriba
n = 385
Respuesta
n = 385
11.Regresión lineal y correlación
Respuesta: r = −0,9388
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Medias
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 80/6 = 13,33
Sumas de cuadrados y de productos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −52
Syy = Σ(y − ȳ)² = 175,3
Coeficiente de correlación
r = −52/√(17,5·175,3) = −0,9388
Respuesta
r = −0,9388
12.Regresión lineal y correlación
Respuesta: x = 3,164
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Medias
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 84/5 = 16,8
Sumas de cuadrados y de productos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 110
Recta de regresión
b = 110/40 = 2,75
a = 16,8 − 2,75·6 = 0,3
ŷ = 0,3 + 2,75·x
Despeja x
x = (9 − 0,3)/2,75 = 3,164
Respuesta
x = 3,164
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