Estadística descriptiva
- Media
- x̄ = Σx/n
- Desviación típica muestral
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- valor central de los datos ordenados
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Distribución normal
- 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ
Introducción a la estadística: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Probabilidad
- Complementario
- P(not A) = 1 − P(A)
- Regla de la suma
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Sucesos independientes
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Probabilidad condicionada
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribución normal
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Por debajo de x
- P(X < x) = Φ(z)
- Por encima de x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Entre dos valores
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentil
- x = μ + z·σ
Método
- Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
- Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
- Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
- Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.
Intervalos de confianza
- σ conocida
- x̄ ± z·σ/√n
- σ desconocida
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z crítico
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Tamaño muestral
- n = (z·σ/E)², rounded up
Método
- Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
- Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
- Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
- Intervalo: x̄ ± E.
Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
- Contraste z para una media
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Contraste t para una media
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Bilateral al 5%
- rechaza H0 si |z| > 1,96
- Intervalo de confianza
- x̄ ± z·σ/√n
Método
- Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
- Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
- Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
- Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.
Regresión lineal y correlación
- Sumas de cuadrados
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Pendiente
- b = Sxy/Sxx
- Ordenada en el origen
- a = ȳ − b·x̄
- Correlación
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residuo
- e = y − ŷ
2Problemas de práctica
1.Estadística descriptivaMedia
Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 54, 58, 16, 12, 10, 35.
n = 6
s =
2.Estadística descriptivaDifícil
Las notas de un examen siguen una distribución normal con media 170 y desviación típica 8. Calcula la puntuación z z de una nota de 180.
μ = 170σ = 8x = 180
z =
3.ProbabilidadMedia
Para la distribución mostrada, halla la varianza Var(X) de X.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,05, 0,35, 0,35, 0,25
Var(X) =
4.ProbabilidadDifícil
X tiene la distribución mostrada, y Y = 5X − 3. Halla la desviación típica σY de Y.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,2, 0,3, 0,2, 0,3Y = 5X − 3
σY =
5.Distribución normalMedia
Las masas de pasajeros con equipaje son independientes y normales con media 85 kg y desviación típica 12 kg. Halla la probabilidad P de que la masa total de 12 de ellos sea inferior a 1103 kg. Redondea z a dos decimales.
μ = 85 kgσ = 12 kgn = 12< 1103 kg
P =
6.Distribución normalDifícil
Supón que los pesos de las bolsas siguen una distribución normal con media 250 g y desviación típica 5 g. Halla el valor x por debajo del cual queda el 95 % de los datos (el percentil 95).
μ = 250σ = 5P = 95%
x = g
7.Intervalos de confianzaMedia
Una muestra de 13 elementos tiene media 74 y desviación típica s = 15,5. La población es aproximadamente normal. Calcula el margen de error E de un intervalo de confianza del 99 % para la media.
n = 13x̄ = 74s = 15,599%t(12) = 3,055
E =
8.Intervalos de confianzaDifícil
La desviación típica poblacional es 29. ¿Qué tamaño muestral n necesitas para que un intervalo de confianza del 99 % para la media tenga un margen de error de como máximo 0,5?
σ = 29E = 0,599%
n =
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia
Se afirma que la media de una población es 120; se sabe que la desviación típica poblacional es 24. Una muestra aleatoria de 64 observaciones tiene una media de 123,96. Contrasta H₀: μ = 120 frente a H₁: μ ≠ 120. Halla el p-valor p.
μ₀ = 120σ = 24n = 64x̄ = 123,96H₁: μ ≠ μ₀
p =
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil
Una muestra de 49 medidas tiene media 56. La desviación típica poblacional es 20. Calcula el límite inferior L del intervalo de confianza del 99 % para la media.
x̄ = 56σ = 20n = 4999%
L =
11.Regresión lineal y correlaciónMedia
La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = antigüedad del coche en años e y = precio en miles de €. Halla el coeficiente de correlación de Pearson r.
n = 5
r =
12.Regresión lineal y correlaciónDifícil
La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = antigüedad del coche en años e y = precio en miles de €. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. ¿Para qué valor x predice la recta ŷ = 23?
n = 6ŷ = 23
x =
3Disoluciones
1.Estadística descriptiva
Respuesta: s = 21,45
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Media
x̄ = 185/6 = 30,83
Desviaciones al cuadrado
Σ(x − x̄)² = 23,17² + 27,17² + (−14,83)² + (−18,83)² + (−20,83)² + 4,167² = 2301
Desviación típica
s = √(2301/5) = 21,45
Respuesta
s = 21,45
2.Estadística descriptiva
Respuesta: z = 1,25
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Tipificar
z = (180 − 170)/8 = 1,25
Respuesta
z = 1,25
3.Probabilidad
Respuesta: Var(X) = 76
Variables aleatorias discretas: una distribución de probabilidad enumera cada valor x que puede tomar una variable con su probabilidad p(x); las probabilidades están entre 0 y 1 y suman 1. El valor esperado (media) es E(X) = Σx·p(x), el promedio a largo plazo. La varianza es Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², y la desviación típica es σ = √Var(X). Para un cambio lineal Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) y σY = |a|·σX; sumar una constante no cambia la dispersión.
Media
μ = 10·0,05 + 20·0,35 + 30·0,35 + 40·0,25 = 28
Media de los cuadrados
E(X²) = 100·0,05 + 400·0,35 + 900·0,35 + 1600·0,25 = 860
Varianza
Var(X) = 860 − 28² = 76
Respuesta
Var(X) = 76
4.Probabilidad
Respuesta: σY = 5,568
Variables aleatorias discretas: una distribución de probabilidad enumera cada valor x que puede tomar una variable con su probabilidad p(x); las probabilidades están entre 0 y 1 y suman 1. El valor esperado (media) es E(X) = Σx·p(x), el promedio a largo plazo. La varianza es Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², y la desviación típica es σ = √Var(X). Para un cambio lineal Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) y σY = |a|·σX; sumar una constante no cambia la dispersión.
Dispersión de X
μ = 2,6, Var(X) = 1,24, σX = 1,114
Cambio lineal
σY = |5|·1,114 = 5,568
Respuesta
σY = 5,568
La media sí se desplaza: E(Y) = 5·2,6 − 3 = 10.
5.Distribución normal
Respuesta: P = 0,9772
Sumas y diferencias de variables normales: si X e Y son independientes y normales, X + Y y X − Y también son normales. Las medias se suman o se restan: E(X ± Y) = μX ± μY. Las varianzas siempre se suman, también en una diferencia: Var(X ± Y) = σX² + σY², así que σ = √(σX² + σY²). Las desviaciones típicas nunca se suman directamente. El total de n elementos independientes con la misma distribución tiene media n·μ y desviación típica σ·√n. Después estandariza como de costumbre: z = (x − media)/σ y lee Φ(z).
Distribución del total
μT = 1020 kg, σT = 12·√12 = 41,57 kg
Tipificar
z = (1103 − 1020)/41,57 = 2
Probabilidad
P = Φ(2) = 0,9772
Respuesta
P = 0,9772
6.Distribución normal
Respuesta: x = 258,2 g
Distribución normal: convierte un valor x en una puntuación z, z = (x − μ)/σ, que indica a cuántas desviaciones típicas está de la media. Una tabla z (o Φ(z)) da el área a la izquierda de z, que es P(X < x). El área a la derecha es 1 − Φ(z), y el área entre dos valores es la diferencia de sus dos áreas.
z del percentil
Φ(z) = 0,95 → z = 1,645
Vuelta a x
x = 250 + 1,645·5 = 258,22 g
Respuesta
x = 258,22 g
7.Intervalos de confianza
Respuesta: E = 13,13
Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.
Valor crítico
df = n − 1 = 12, t = 3,055
Margen de error
E = 3,055·15,5/√13 = 13,13
Respuesta
E = 13,13
8.Intervalos de confianza
Respuesta: n = 22323
Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.
Despejar n
n = (2,576·29/0,5)² = 22323
Redondear hacia arriba
El tamaño muestral es un número entero, y redondear hacia abajo haría el margen demasiado grande.
n = 22323
Respuesta
n = 22323
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: p = 0,1868
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Estadístico de contraste
SE = σ/√n = 24/√64 = 3
z = (123,96 − 120)/3 = 1,32
Área de la cola
Φ(1,32) = 0,9066
1 − Φ(1,32) = 0,0934
p-valor
p = 2·0,0934 = 0,1868
Respuesta
p = 0,1868
p > 0,05, así que no se rechaza H₀ al nivel del 5 %.
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: L = 48,64
Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).
Margen de error
E = 2,576·20/√49 = 7,36
Límite del intervalo
L = 56 − 7,36 = 48,64
Respuesta
L = 48,64
11.Regresión lineal y correlación
Respuesta: r = −0,9773
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Medias
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 97/5 = 19,4
Sumas de cuadrados y de productos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −38
Syy = Σ(y − ȳ)² = 151,2
Coeficiente de correlación
r = −38/√(10·151,2) = −0,9773
Respuesta
r = −0,9773
12.Regresión lineal y correlación
Respuesta: x = 3,865
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Medias
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 142/6 = 23,67
Sumas de cuadrados y de productos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −32
Recta de regresión
b = −32/17,5 = −1,829
a = 23,67 − (−1,829)·3,5 = 30,07
ŷ = 30,07 − 1,829·x
Despeja x
x = (23 − 30,07)/(−1,829) = 3,865
Respuesta
x = 3,865
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