Introducción a la estadística: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Estadística descriptiva

Media: x̄ = Σx/n
Desviación típica muestral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor central de los datos ordenados
Puntuación z: z = (x − μ)/σ
Distribución normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidad

Complementario: P(not A) = 1 − P(A)
Regla de la suma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Sucesos independientes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidad condicionada: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribución normal

Puntuación z: z = (x − μ)/σ
Por debajo de x: P(X < x) = Φ(z)
Por encima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre dos valores: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.

Intervalos de confianza

σ conocida: x̄ ± z·σ/√n
σ desconocida: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamaño muestral: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Contraste z para una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Contraste t para una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral al 5%: rechaza H₀ si |z| > 1,96
Intervalo de confianza: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.

Regresión lineal y correlación

Sumas de cuadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendiente: b = S_xy/S_xx
Ordenada en el origen: a = ȳ − b·x̄
Correlación: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Problemas de práctica

1.Estadística descriptivaMedia

Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 25, 38, 12, 37, 33, 33, 19.

n = 7

s =

2.Estadística descriptivaDifícil

Una magnitud sigue una distribución normal con media 500 y desviación típica 25. ¿Qué proporción P de valores está por encima de 487,5?

μ = 500σ = 25x = 487,5

P =

3.ProbabilidadMedia

Para la distribución mostrada, halla la desviación típica σ de X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,3, 0,1, 0,3

σ =

4.ProbabilidadDifícil

Un examen tiene 9 preguntas de opción múltiple. Una estudiante que contesta al azar acierta cada una con probabilidad 0,1, de forma independiente. ¿Cuál es la probabilidad P de acertar exactamente 1?

n = 9p = 0,1k = 1

P =

5.Distribución normalMedia

Supón que las duraciones de las baterías siguen una distribución normal con media 500 h y desviación típica 40 h. ¿Qué fracción está entre 442 y 582 h? Da P como número decimal.

μ = 500σ = 40x₁ = 442x₂ = 582

P =

6.Distribución normalDifícil

Supón que las duraciones de las baterías siguen una distribución normal con media 500 h y desviación típica 40 h. Halla el valor x por debajo del cual queda el 25 % de los datos (el percentil 25).

μ = 500σ = 40P = 25%

x = h

7.Intervalos de confianzaMedia

Una muestra de 15 elementos tiene media 79 y desviación típica s = 1. La población es aproximadamente normal. Calcula el margen de error E de un intervalo de confianza del 95 % para la media.

n = 15x̄ = 79s = 195%t(14) = 2,145

E =

8.Intervalos de confianzaDifícil

La desviación típica poblacional es 36. ¿Qué tamaño muestral n necesitas para que un intervalo de confianza del 99 % para la media tenga un margen de error de como máximo 1,5?

σ = 36E = 1,599%

n =

9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia

Una muestra de 100 estudiantes tiene una nota media de 121 y una desviación típica muestral de 4. Calcula el estadístico de contraste t para H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 121s = 4n = 100

t =

10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil

En un ensayo se recuperan 50 de 200 pacientes con el tratamiento A y 30 de 250 pacientes con el tratamiento B. Usando la proporción combinada, halla el estadístico de contraste z para H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 50n₁ = 200x₂ = 30n₂ = 250

z =

11.Regresión lineal y correlaciónMedia

La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = horas de estudio e y = nota del examen. Halla el coeficiente de determinación r² de la recta de mínimos cuadrados.

n = 5

r² =

12.Regresión lineal y correlaciónDifícil

La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = gasto en publicidad en miles de € e y = ventas en miles de €. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. ¿Para qué valor x predice la recta ŷ = 49?

n = 5ŷ = 49

x =

3Disoluciones

1.Estadística descriptiva

Respuesta: s = 9,805

Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.

Media

x̄ = 197/7 = 28,14

Desviaciones al cuadrado

Σ(x − x̄)² = (−3,143)² + 9,857² + (−16,14)² + 8,857² + 4,857² + 4,857² + (−9,143)² = 576,9

Desviación típica

s = √(576,9/6) = 9,805

Respuesta

s = 9,805

2.Estadística descriptiva

Respuesta: P = 0,6915

Tipificar

z = −0,5

Tabla de la normal estándar

Φ(−0,5) = 0,3085

P = 1 − 0,3085 = 0,6915

Respuesta

P = 0,6915

3.Probabilidad

Respuesta: σ = 2,4

Variables aleatorias discretas: una distribución de probabilidad enumera cada valor x que puede tomar una variable con su probabilidad p(x); las probabilidades están entre 0 y 1 y suman 1. El valor esperado (media) es E(X) = Σx·p(x), el promedio a largo plazo. La varianza es Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², y la desviación típica es σ = √Var(X). Para un cambio lineal Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) y σ_Y = |a|·σ_X; sumar una constante no cambia la dispersión.

Media

μ = 0·0,3 + 2·0,3 + 4·0,1 + 6·0,3 = 2,8

Media de los cuadrados

E(X²) = 0·0,3 + 4·0,3 + 16·0,1 + 36·0,3 = 13,6

Varianza

Var(X) = 13,6 − 2,8² = 5,76

σ = √5,76 = 2,4

Respuesta

σ = 2,4

4.Probabilidad

Respuesta: P = 0,3874

Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Fórmula binomial

P(X = 1) = 9·0,1¹·0,9⁸ = 9·0,1·0,4305 = 0,3874

Respuesta

P = 0,3874

5.Distribución normal

Respuesta: P = 0,9063

Distribución normal: convierte un valor x en una puntuación z, z = (x − μ)/σ, que indica a cuántas desviaciones típicas está de la media. Una tabla z (o Φ(z)) da el área a la izquierda de z, que es P(X < x). El área a la derecha es 1 − Φ(z), y el área entre dos valores es la diferencia de sus dos áreas.

Puntuaciones z

z₁ = (442 − 500)/40 = −1,45

z₂ = (582 − 500)/40 = 2,05

Área entre ambos valores

P = Φ(2,05) − Φ(−1,45) = 0,9798 − 0,07353 = 0,9063

Respuesta

P = 0,9063

6.Distribución normal

Respuesta: x = 473 h

z del percentil

Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745

Vuelta a x

x = 500 + −0,6745·40 = 473,02 h

Respuesta

x = 473,02 h

7.Intervalos de confianza

Respuesta: E = 0,5538

Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.

Valor crítico

df = n − 1 = 14, t = 2,145

Margen de error

E = 2,145·1/√15 = 0,5538

Respuesta

E = 0,5538

8.Intervalos de confianza

Respuesta: n = 3823

Despejar n

n = (2,576·36/1,5)² = 3822

Redondear hacia arriba

El tamaño muestral es un número entero, y redondear hacia abajo haría el margen demasiado grande.

n = 3823

Respuesta

n = 3823

9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Respuesta: t = 2,5

Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).

Error típico

SE = 4/√100 = 4/10 = 0,4

Estadístico de contraste

t = (121 − 120)/0,4 = 2,5

Respuesta

t = 2,5

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| > 1,984, así que se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).

10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Respuesta: z = 3,584

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Proporciones muestrales

p̂₁ = 50/200 = 0,25

p̂₂ = 30/250 = 0,12

p̂ = 80/450 = 0,1778

Error típico bajo H₀

SE = √(0,1778·0,8222·(1/200 + 1/250)) = 0,03627

Estadístico de contraste

z = (0,25 − 0,12)/0,03627 = 3,584

Respuesta

z = 3,584

|z| > 1,96, así que se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).

11.Regresión lineal y correlación

Respuesta: r² = 0,809

Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.

Medias

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 316/5 = 63,2

Sumas de cuadrados y de productos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 48

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 284,8

Coeficiente de determinación

r² = 48²/(10·284,8) = 0,809

Respuesta

r² = 0,809

Aproximadamente el 80,9 % de la variación de y queda explicada por la recta.

12.Regresión lineal y correlación

Respuesta: x = 4,531

Medias

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 228/5 = 45,6

Sumas de cuadrados y de productos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 64

Recta de regresión

b = 64/10 = 6,4

a = 45,6 − 6,4·4 = 20

ŷ = 20 + 6,4·x

Despeja x

x = (49 − 20)/6,4 = 4,531

Respuesta

x = 4,531

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