Introducción a la estadística: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Estadística descriptiva

Media: x̄ = Σx/n
Desviación típica muestral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor central de los datos ordenados
Puntuación z: z = (x − μ)/σ
Distribución normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidad

Complementario: P(not A) = 1 − P(A)
Regla de la suma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Sucesos independientes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidad condicionada: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribución normal

Puntuación z: z = (x − μ)/σ
Por debajo de x: P(X < x) = Φ(z)
Por encima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre dos valores: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.

Intervalos de confianza

σ conocida: x̄ ± z·σ/√n
σ desconocida: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamaño muestral: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Contraste z para una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Contraste t para una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral al 5%: rechaza H₀ si |z| > 1,96
Intervalo de confianza: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.

Regresión lineal y correlación

Sumas de cuadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendiente: b = S_xy/S_xx
Ordenada en el origen: a = ȳ − b·x̄
Correlación: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Problemas de práctica

1.Estadística descriptivaMedia

Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 40, 21, 39, 21, 46, 51.

n = 6

s =

2.Estadística descriptivaDifícil

Las notas de un examen siguen una distribución normal con media 70 y desviación típica 10. Calcula la puntuación z z de una nota de 55.

μ = 70σ = 10x = 55

z =

3.ProbabilidadMedia

Para la distribución mostrada, halla la varianza Var(X) de X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,25, 0,3, 0,2, 0,25

Var(X) =

4.ProbabilidadDifícil

X tiene la distribución mostrada, y Y = 5X − 3. Halla la desviación típica σ_Y de Y.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,2, 0,35, 0,3, 0,15Y = 5X − 3

σ_Y =

5.Distribución normalMedia

X es normal con media 250 g y desviación típica 4 g; Y es independiente y normal con media 500 g y desviación típica 9 g. Halla la probabilidad P de que X + Y sea mayor que 759,8 g. Redondea z a dos decimales.

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 759,8 g

P =

6.Distribución normalDifícil

Para los pesos de las bolsas, la distribución es normal, con media 250 g y desviación típica 5 g. Arrastra el punto de corte para que el 90 % inferior sombreado quede a su izquierda. Halla el punto de corte x.

μ = 250 gσ = 5 g90%

x = g

7.Intervalos de confianzaMedia

Una muestra de 9 elementos tiene media 35 y desviación típica s = 17. La población es aproximadamente normal. Calcula el límite superior del intervalo de confianza del 99 % para la media.

n = 9x̄ = 35s = 1799%t(8) = 3,355

límite superior =

8.Intervalos de confianzaDifícil

La desviación típica poblacional es 16. ¿Qué tamaño muestral n necesitas para que un intervalo de confianza del 99 % para la media tenga un margen de error de como máximo 2,5?

σ = 16E = 2,599%

n =

9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia

Se comparan dos métodos de enseñanza. Grupo 1: 6 estudiantes, nota media 20, desviación típica 7. Grupo 2: 20 estudiantes, nota media 28,4, desviación típica 5,5. Supón varianzas poblacionales iguales y usa el contraste t de dos muestras con varianza combinada. Halla el estadístico de contraste t para H₀: μ₁ = μ₂, tomando la diferencia como x̄₁ − x̄₂ (grupo 1 menos grupo 2).

n₁ = 6x̄₁ = 20s₁ = 7n₂ = 20x̄₂ = 28,4s₂ = 5,5

t =

10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil

Un contraste z unilateral con α = 0,01 debe detectar un desplazamiento de la media de 5 unidades con una potencia del 80 %. La desviación típica es 21. Halla el tamaño muestral mínimo n.

α = 0,01potencia = 80%δ = 5σ = 21z_α = 2,326z_β = 0,842

n =

11.Regresión lineal y correlaciónMedia

La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = temperatura en °C e y = helados vendidos. Halla el coeficiente de determinación r² de la recta de mínimos cuadrados.

n = 6

r² =

12.Regresión lineal y correlaciónDifícil

La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = temperatura en °C e y = helados vendidos. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. Predice ŷ para x = 22,5.

n = 5x = 22,5

ŷ =

3Disoluciones

1.Estadística descriptiva

Respuesta: s = 12,64

Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.

Media

x̄ = 218/6 = 36,33

Desviaciones al cuadrado

Σ(x − x̄)² = 3,667² + (−15,33)² + 2,667² + (−15,33)² + 9,667² + 14,67² = 799,3

Desviación típica

s = √(799,3/5) = 12,64

Respuesta

s = 12,64

2.Estadística descriptiva

Respuesta: z = −1,5

Tipificar

z = (55 − 70)/10 = −1,5

Respuesta

z = −1,5

3.Probabilidad

Respuesta: Var(X) = 4,99

Variables aleatorias discretas: una distribución de probabilidad enumera cada valor x que puede tomar una variable con su probabilidad p(x); las probabilidades están entre 0 y 1 y suman 1. El valor esperado (media) es E(X) = Σx·p(x), el promedio a largo plazo. La varianza es Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², y la desviación típica es σ = √Var(X). Para un cambio lineal Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) y σ_Y = |a|·σ_X; sumar una constante no cambia la dispersión.

Media

μ = 0·0,25 + 2·0,3 + 4·0,2 + 6·0,25 = 2,9

Media de los cuadrados

E(X²) = 0·0,25 + 4·0,3 + 16·0,2 + 36·0,25 = 13,4

Varianza

Var(X) = 13,4 − 2,9² = 4,99

Respuesta

Var(X) = 4,99

4.Probabilidad

Respuesta: σ_Y = 4,848

Dispersión de X

μ = 1,4, Var(X) = 0,94, σ_X = 0,9695

Cambio lineal

σ_Y = |5|·0,9695 = 4,848

Respuesta

σ_Y = 4,848

La media sí se desplaza: E(Y) = 5·1,4 − 3 = 4.

5.Distribución normal

Respuesta: P = 0,1587

Sumas y diferencias de variables normales: si X e Y son independientes y normales, X + Y y X − Y también son normales. Las medias se suman o se restan: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Las varianzas siempre se suman, también en una diferencia: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², así que σ = √(σ_X² + σ_Y²). Las desviaciones típicas nunca se suman directamente. El total de n elementos independientes con la misma distribución tiene media n·μ y desviación típica σ·√n. Después estandariza como de costumbre: z = (x − media)/σ y lee Φ(z).

Distribución de la suma

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g

Tipificar

z = (759,8 − 750)/9,849 = 1

Cola superior

P = 1 − Φ(1) = 1 − 0,8413 = 0,1587

Respuesta

P = 0,1587

6.Distribución normal

Respuesta: x = 256,4 g

De un área de vuelta a z: Φ(z) es el área a la izquierda de z. Para un área A en la cola izquierda, busca en la tabla la z con Φ(z) = A. Un área A en la cola derecha significa Φ(z) = 1 − A. Un área central A entre −z y z deja (1 − A)/2 en cada cola, así que Φ(z) = (1 + A)/2. Para un valor x, usa x = μ + zσ.

Área a la izquierda

Φ(z) = 0,9

z según la tabla

z ≈ 1,28

De vuelta a las unidades originales

x = 250 + 1,28·5 = 256,4 g

Respuesta

x = 256,4 g

7.Intervalos de confianza

Respuesta: límite superior = 54,01

Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.

Valor crítico

df = n − 1 = 8, t = 3,355

Margen de error

E = 3,355·17/√9 = 19,01

Intervalo

35 ± 19,01 → [15,99, 54,01]

Respuesta

límite superior = 54,01

8.Intervalos de confianza

Respuesta: n = 272

Despejar n

n = (2,576·16/2,5)² = 271,8

Redondear hacia arriba

El tamaño muestral es un número entero, y redondear hacia abajo haría el margen demasiado grande.

n = 272

Respuesta

n = 272

9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Respuesta: t = −3,088

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Varianza combinada

s_p² = (5·7² + 19·5,5²)/24 = 34,16

s_p = 5,844

Error típico

SE = 5,844·√(1/6 + 1/20) = 2,72

Estadístico de contraste

t = (20 − 28,4)/2,72 = −3,088

Respuesta

t = −3,088

Con gl = 24, el valor crítico bilateral al 5 % es 2,064; |t| es mayor, así que se rechaza H₀.

10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Respuesta: n = 178

Tamaño muestral para un contraste: para detectar un desplazamiento real δ con potencia 1 − β en un contraste z unilateral de nivel α, el error típico debe cumplir δ = (z_α + z_β)·σ/√n, así que n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², redondeado hacia arriba.

Despejar n

n = ((2,326 + 0,842)·21/5)² = 177

Redondear hacia arriba

n = 178

Respuesta

n = 178

11.Regresión lineal y correlación

Respuesta: r² = 0,9814

Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.

Medias

x̄ = 129/6 = 21,5

ȳ = 549/6 = 91,5

Sumas de cuadrados y de productos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 784,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 3982

Coeficiente de determinación

r² = 784,5²/(157,5·3982) = 0,9814

Respuesta

r² = 0,9814

Aproximadamente el 98,14 % de la variación de y queda explicada por la recta.

12.Regresión lineal y correlación

Respuesta: ŷ = 108,2

Medias

x̄ = 105/5 = 21

ȳ = 505/5 = 101

Sumas de cuadrados y de productos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 429

Recta de regresión

b = 429/90 = 4,767

a = 101 − 4,767·21 = 0,9

ŷ = 0,9 + 4,767·x

Predicción

ŷ = 0,9 + 4,767·22,5 = 108,2

Respuesta

ŷ = 108,2

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