Introducción a la estadística: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Estadística descriptiva

Media: x̄ = Σx/n
Desviación típica muestral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor central de los datos ordenados
Puntuación z: z = (x − μ)/σ
Distribución normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidad

Complementario: P(not A) = 1 − P(A)
Regla de la suma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Sucesos independientes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidad condicionada: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribución normal

Puntuación z: z = (x − μ)/σ
Por debajo de x: P(X < x) = Φ(z)
Por encima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre dos valores: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.

Intervalos de confianza

σ conocida: x̄ ± z·σ/√n
σ desconocida: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamaño muestral: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Contraste z para una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Contraste t para una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral al 5%: rechaza H₀ si |z| > 1,96
Intervalo de confianza: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.

Regresión lineal y correlación

Sumas de cuadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendiente: b = S_xy/S_xx
Ordenada en el origen: a = ȳ − b·x̄
Correlación: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Problemas de práctica

1.Estadística descriptivaMedia

Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 10, 23, 34, 35, 18, 58, 26.

n = 7

s =

2.Estadística descriptivaDifícil

Una magnitud sigue una distribución normal con media 500 y desviación típica 25. ¿Qué proporción P de valores está por debajo de 525?

μ = 500σ = 25x = 525

P =

3.ProbabilidadMedia

¿De cuántas formas N se puede elegir un comité de 2 personas entre un grupo de 8? El orden no importa.

n = 8k = 2

N =

4.ProbabilidadDifícil

Un examen tiene 9 preguntas de opción múltiple. Una estudiante que contesta al azar acierta cada una con probabilidad 0,4, de forma independiente. ¿Cuál es la probabilidad P de acertar exactamente 5?

n = 9p = 0,4k = 5

P =

5.Distribución normalMedia

Arrastra z para que el área sombreada bajo la curva normal estándar, a la derecha de z, sea 0,0559. Halla z con dos decimales.

A = 0,0559

z =

6.Distribución normalDifícil

Supón que los tiempos de entrega siguen una distribución normal con media 32 min y desviación típica 6 min. Halla el valor x por debajo del cual queda el 99 % de los datos (el percentil 99).

μ = 32σ = 6P = 99%

x = min

7.Intervalos de confianzaMedia

Se mide la tensión arterial de 12 pacientes antes y después de un tratamiento. Las diferencias d = antes − después (mmHg) tienen media 2,6 y desviación típica 5,5. Halla el límite inferior del intervalo de confianza del 99 % para la diferencia media.

n = 12d̄ = 2,6s_d = 5,599%t(11) = 3,106

límite inferior = mmHg

8.Intervalos de confianzaDifícil

Un estudio piloto indica que aproximadamente 0,15 de los productos son defectuosos. ¿Cuántos productos n hay que inspeccionar para que un intervalo de confianza del 95 % para la proporción tenga un margen de error de como máximo 0,01?

p ≈ 0,15E = 0,0195%

n =

9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia

Una muestra de 16 estudiantes tiene una nota media de 114,8 y una desviación típica muestral de 8. Calcula el estadístico de contraste t para H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 114,8s = 8n = 16

t =

10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil

Se hace un contraste z unilateral de H₀: μ = 80 frente a H₁: μ > 80 con α = 0,01 y una muestra de 100; se sabe que la desviación típica es 30. En realidad la media es 92. Halla la probabilidad de un error de tipo II β en porcentaje.

μ₀ = 80μ = 92σ = 30n = 100α = 0,01

β = %

11.Regresión lineal y correlaciónMedia

La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = carga en kN e y = alargamiento en mm. Halla el coeficiente de determinación r² de la recta de mínimos cuadrados.

n = 6

r² =

12.Regresión lineal y correlaciónDifícil

La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = carga en kN e y = alargamiento en mm. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. Predice ŷ para x = 5.

n = 5x = 5

ŷ =

3Disoluciones

1.Estadística descriptiva

Respuesta: s = 15,43

Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.

Media

x̄ = 204/7 = 29,14

Desviaciones al cuadrado

Σ(x − x̄)² = (−19,14)² + (−6,143)² + 4,857² + 5,857² + (−11,14)² + 28,86² + (−3,143)² = 1429

Desviación típica

s = √(1429/6) = 15,43

Respuesta

s = 15,43

2.Estadística descriptiva

Respuesta: P = 0,8413

Tipificar

z = 1

Tabla de la normal estándar

Φ(1) = 0,8413

P = 0,8413

Respuesta

P = 0,8413

3.Probabilidad

Respuesta: N = 28

Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Combinaciones

C(8, 2) = (8·7)/(2·1) = 28

Respuesta

N = 28

4.Probabilidad

Respuesta: P = 0,1672

Fórmula binomial

P(X = 5) = 126·0,4⁵·0,6⁴ = 126·0,01024·0,1296 = 0,1672

Respuesta

P = 0,1672

5.Distribución normal

Respuesta: z = 1,59

De un área de vuelta a z: Φ(z) es el área a la izquierda de z. Para un área A en la cola izquierda, busca en la tabla la z con Φ(z) = A. Un área A en la cola derecha significa Φ(z) = 1 − A. Un área central A entre −z y z deja (1 − A)/2 en cada cola, así que Φ(z) = (1 + A)/2. Para un valor x, usa x = μ + zσ.

Área a la izquierda de z

Φ(z) = 1 − 0,0559 = 0,9441

Lee la tabla de z al revés

Busca 0,9441 dentro de la tabla y lee z.

z = 1,59

Respuesta

z = 1,59

6.Distribución normal

Respuesta: x = 45,96 min

Distribución normal: convierte un valor x en una puntuación z, z = (x − μ)/σ, que indica a cuántas desviaciones típicas está de la media. Una tabla z (o Φ(z)) da el área a la izquierda de z, que es P(X < x). El área a la derecha es 1 − Φ(z), y el área entre dos valores es la diferencia de sus dos áreas.

z del percentil

Φ(z) = 0,99 → z = 2,326

Vuelta a x

x = 32 + 2,326·6 = 45,96 min

Respuesta

x = 45,96 min

7.Intervalos de confianza

Respuesta: límite inferior = −2,331 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Valor crítico

df = 11, t = 3,106

Margen de error

E = 3,106·5,5/√12 = 4,931

Intervalo

2,6 ± 4,931 → [−2,331, 7,531]

Respuesta

límite inferior = −2,331 mmHg

8.Intervalos de confianza

Respuesta: n = 4899

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Despejar n

n = 1,96²·0,15·0,85/0,01² = 4898

Redondear hacia arriba

n = 4899

Respuesta

n = 4899

9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Respuesta: t = −2,6

Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).

Error típico

SE = 8/√16 = 8/4 = 2

Estadístico de contraste

t = (114,8 − 120)/2 = −2,6

Respuesta

t = −2,6

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| > 2,131, así que se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).

10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Respuesta: β = 4,707 %

Potencia de un contraste: potencia = 1 − β es la probabilidad de rechazar H₀ cuando es falsa. Halla el valor de corte x̄c a partir de μ₀ y z_α y después calcula la probabilidad de caer más allá de x̄c usando la media verdadera: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Media muestral crítica

SE = 30/√100 = 3

x̄_c = 80 + 2,326·3 = 86,98

z con la media verdadera

z = (86,98 − 92)/3 = −1,674

Error de tipo II

potencia = P(Z > −1,674) = 95,29%

β = 100% − 95,29% = 4,707%

Respuesta

β = 4,707%

11.Regresión lineal y correlación

Respuesta: r² = 0,9847

Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.

Medias

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 156/6 = 26

Sumas de cuadrados y de productos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 236

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 808

Coeficiente de determinación

r² = 236²/(70·808) = 0,9847

Respuesta

r² = 0,9847

Aproximadamente el 98,47 % de la variación de y queda explicada por la recta.

12.Regresión lineal y correlación

Respuesta: ŷ = 8,5

Medias

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 49/5 = 9,8

Sumas de cuadrados y de productos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 52

Recta de regresión

b = 52/40 = 1,3

a = 9,8 − 1,3·6 = 2

ŷ = 2 + 1,3·x

Predicción

ŷ = 2 + 1,3·5 = 8,5

Respuesta

ŷ = 8,5

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